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| Aufgabe | Die Ebenen E und F schneiden sich. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden g. Stellen Sie eine der Ebenen erforderlichenfalls in Parameterform dar.
a) E: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+s*\vektor{-1 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
F: 2x+y+2z=8 |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich die Schnittgerade finde.Wäre es sinnvoll, die Ebene F in die Parameterform umzuschreiben und dann mit E gleichzusetzen?
vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Sa 08.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Ebenen E und F schneiden sich. Bestimmen Sie eine
> Gleichung der Schnittgeraden g. Stellen Sie eine der Ebenen
> erforderlichenfalls in Parameterform dar.
>
> a) E: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}+s*\vektor{-1 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> F: 2x+y+2z=8
> Hallo,
>
> ich weiß nicht, wie ich die Schnittgerade finde.Wäre es
> sinnvoll, die Ebene F in die Parameterform umzuschreiben
> und dann mit E gleichzusetzen?
Das wäre möglich, ist aber viel zu vie Rechnerei. Dann bekommst du ein Lineares Gleichugssystem mit 3 Gleichungen, aber vier Variablen, und musst einen Zusammenhang zwischen r ud s oder den Parametern der anderen Ebene erstellen.
Der eleganteste Weg wäre hier, E umzuformen
[mm] E:\vec{x}=\vektor{2\\0\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+s\cdot\vektor{-1\\4\\0}=\vektor{2-r-s\\4s\\3r}
[/mm]
Setze diesen Vektor nun in F ein, dann bekommst du:
[mm] $2\cdot(2-r-s)+4s+2\cdot(3r)=8\Leftrightarrow [/mm] s=2r-2$
Setzt du das in E ein, bekommst du
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\0\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+(2r-2)\cdot\vektor{-1\\4\\0}
[/mm]
Dieses ist schon die Schnittgerade, forme sie nun noch in die Form [mm] g:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u} [/mm] um
>
> vielen Dank
Marius
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okay, vielen Dank! Darf ich hier auch nach r auflösen und das dann in E einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 08.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
> okay, vielen Dank! Darf ich hier auch nach r auflösen und
> das dann in E einsetzen?
Sicher ginge auch das, dann hast du nur in diesem Fall dann Brüche in der Umformung, un damit dann auch in den Komponenten.
Marius
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So bei a) habe ich nach s aufgelöst. Jetzt hatte die Aufgabe noch die Teilaufgabe b), wo ich nach r aufgelöst habe. Ich habe also:
[mm] E:\overrightarrow{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\vektor{-1+r \\ 0 \\ 6-6r}
[/mm]
So, wie mache ich jetzt hier weiter? Die Variablen r in dem letzten Vektor stören mich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Sa 08.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
> So bei a) habe ich nach s aufgelöst. Jetzt hatte die
> Aufgabe noch die Teilaufgabe b), wo ich nach r aufgelöst
> habe. Ich habe also:
>
> [mm]E:\overrightarrow{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{1 \\ 2 \\ 2}+\vektor{-1+r \\ 0 \\ 6-6r}[/mm]
Leider ist mir Unklar, woher diese Werte nun stammen
Daher nochmal meine angefangene Rechnung
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\0\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+(2r-2)\cdot\vektor{-1\\4\\0}[/mm]
[mm]=\vektor{2\\0\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+2r\cdot\vektor{-1\\4\\0}-2\cdot\vektor{-1\\4\\0} [/mm]
[mm]=\vektor{2\\0\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+r\cdot\vektor{-2\\8\\0}+\vektor{2\\-8\\0} [/mm]
[mm]=\vektor{2\\0\\0}+\vektor{2\\-8\\0}+r\cdot\vektor{-1\\0\\3}+r\cdot\vektor{-2\\8\\0} [/mm]
[mm]=\vektor{2\\0\\0}+\vektor{2\\-8\\0}+r\cdot\left(\vektor{-1\\0\\3}+\vektor{-2\\8\\0}\right) [/mm]
[mm]=\vektor{4\\-8\\0}+r\cdot\vektor{-3\\8\\3} [/mm]
>
> So, wie mache ich jetzt hier weiter? Die Variablen r in dem
> letzten Vektor stören mich...
Marius
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