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| Aufgabe | Zeichnen Sie die Eben [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] und ihre Schnittgerade in ein Koordinatensystem
a) [mm] E_{1}: 4=x_{1}+x_{2}+x_{3}
[/mm]
[mm] E_{2}: 30=15x_{1}+10x_{2}+6x_{3} [/mm] |
Hey Leute,
hab erstemal die Koordiantengleichungen in eine Parametergleichung umgewandelt.
Für [mm] E_{1} [/mm] hab ich nach [mm] x_{1} [/mm] aufgelöst: [mm] \vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{1\\ -1 \\ 0}+s*\vektor{1\\ 0 \\ -1}
[/mm]
Für [mm] E_{2} [/mm] hab ich nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+r*\vektor{1\\ -1,5 \\ 0}+s*\vektor{0\\ -0,6 \\ 2}
[/mm]
Nun muss ich zeichnen, weiß nicht wie?
Wie erechne ich die Schnittgerade?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 02.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der eleganteste Weg ist, die Parametergleichung der einen Ebene in die andere Koordinatenform einzusetzen.
Also hier:
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{4\\0\\0}+r\cdot{}\vektor{1\\-1\\0}+s\cdot{}\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}=4+r+s, x_{2}=-r, x_{3}=s
[/mm]
Das ganze mal in [mm] E_{2}: 15x_{1}+10x_{2}+6x_{3}=30 [/mm] einsetzen:
Also:
$15(4+r+s)-10r+6s=30$
[mm] \gdw [/mm] $-9r+7s=-30$
[mm] \gdw s=\bruch{9}{7}r-\bruch{30}{7}
[/mm]
Und das setze mal in [mm] E_{1} [/mm] ein.
Also:
[mm] \vektor{4\\0\\0}+r\cdot{}\vektor{1\\-1\\0}+\left(\bruch{9}{7}r-\bruch{30}{7}\right)\cdot{}\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{4\\0\\0}-\bruch{30}{7}\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+r\cdot{}\vektor{1\\-1\\0}+\bruch{9}{7}r\cdot{}\vektor{1\\0\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{4-\bruch{30}{7}\\0\\0-\bruch{30}{7}}+r*\vektor{1+\bruch{9}{7}\\-1+0\\0+\bruch{9}{7}}
[/mm]
[mm] =\vektor{-\bruch{2}{7}\\0\\-\bruch{30}{7}}+r*\vektor{\bruch{16}{7}\\-1\\\bruch{9}{7}}
[/mm]
Und das ist dann die gesuchte Schnittgerade.
Marius
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Danke dir!
hast mir sehr geholfen. Versuch jetzt grad die Ebenen und die Schnittgerade zu zeichnen, weiß aber nicht wie man das einzeichnet.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:42 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo defjam123,
meines Erachtens lassen sich die Ebenen am Besten zeichnen, wenn man die Ebenengleichungen zunächst in die Achsenabschnittsform
[mm] $1=\bruch{x_1}{A}+\bruch{x_2}{B}+\bruch{x_3}{C}$
[/mm]
umwandelt. $A, B, C$ geben dann die Schnittpunkte mit den jeweiligen Koordinatenachsen an. Wenn man dann diese Punkte verbindet und diese Strecken (am Besten dünner oder gestrichelt) verlängert, hat man die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen (Spurgeraden). Man bekommt so einen ganz guten Eindruck, wie die Ebene in der "Ecke" der K'ebenen liegt. Das dünnere Verlängern hilft dem Auge, das sind die Abschnitte der Spurgeraden, die aus Sicht des Betrachters hinter den K'ebenen liegen.
$ [mm] E_{1}: 4=x_{1}+x_{2}+x_{3} [/mm] $
$ [mm] E_{1}: 1=\bruch{1}{4}x_{1}+\bruch{1}{4}x_{2}+\bruch{1}{4}x_{3} [/mm] $
Die Achsen werden also jeweils bei 4 geschnitten
[m] \begin{array}{rrl}E_{2}:& 30&=15x_{1}+10x_{2}+6x_{3} \\
E_{2}:& 1&=\bruch{1}{2}x_{1}+\bruch{1}{3}x_{2}+\bruch{1}{5}x_{3}\end{array} [/m]
Die Schnittpunkte sind also: $A(2;0;0)\ B(0;3;0)\ C(0;0;5)$
Die Schnittgerade würde ich ähnlich einzeichnen.
Auf jeder K'ebene ist der Schnittpunkt der beiden Spurgeraden von [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] natürlich auch der Schnittpunkt der Schnittgerade mit dieser K'ebene.
Wenn man diese drei Punkte verbindet, erhält man die Schnittgerade. Auch hier ist es ggf. anschaulich, den "sichtbaren" Teil etwas stärker darzustellen.
Schöne Grüße
ardik
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