Schnittfläche Kugel mit Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 Di 08.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
bereite mich gerade aufs Abi vor, jetzt ist Algebra mal wieder dran... Folgendes: Ich habe eine Kugeloberflächengleichung gegeben, also (Punkt minus Mittelpunkt) zum Quadrat soll den Radius zum Quadrat ergeben. Dazu eine Ebene, die durch die Kugel durchgeht und dort natürlich einen Schnittkreis bildet. Dessen Mittelpunkt soll nun bestimmt werden.
Die einfache Methode wäre, einfach den Vektor zu bilden, der durch den Kugelmittelpunkt geht und senkrecht zur Ebene ist und diesen mit der Ebene zu schneiden - sprich die Gerade mit dem Kugelmittelpunkt als Aufpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor mit der Ebene zu schneiden.
Meine Idee war aber folgende, bitte schaut euch das mal an:
Kugel K: [mm] (\vec{x}-\vektor{4 \\ -4 \\ 3})^2=25
[/mm]
Ebene E: [mm] 2x_1-x_2+2x_3-9=0 [/mm]
E in PF bringen (die stimmt auch 100-prozentig noch):
E: [mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 4,5}+\alpha*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+\beta*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
E setze ich nun in K ein, fertig umgeformt also:
K: [mm] (\alpha*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+\beta*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\vektor{-4 \\ 4 \\ 1,5})^2=25
[/mm]
Diese Gleichung erfüllen doch nur die alpha-beta-Paare, für die die Punkte sowohl auf E als auch auf dem Schnittkreis (also auf dem Rand) liegen, oder? Nur habe ich hier leider noch keinen Mittelpunkt... Wie geht es denn ab hier am bestem weiter?
Habe auch schon [mm] \alpha=0 [/mm] gesetzt und dafür zwei verschiedene (logisch, ist ja ein Kreis und demnach ein Quadrat in der Gleichung) [mm] \beta [/mm] erhalten. So kann ich durch einsetzen der Paare in E auch beliebig viele Punkte auf dem Kreis erhalten... Aber weiter bringt mich das ja auch nicht...
Komme ich mit dieser Methode also überhaupt nicht weiter?
Danke,
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 08.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Ich find das zwar wirklich auch "interessant" aber leider ist mir spontan auch keine Lösung für dein Problem eingefallen.
Ich weiß nicht, wie man die Werte für alpha und beta, die in Abhängigkeit einer anderen Variable ständen, dann irgendwie so umformen oder auch nur benutzen könnte, um den Radius des Schnittkreises oder dergleichen zu bekommen; ich glaube ohne die Lotgerade durch den Kugelmittelpunkt ist hier nicht viel zu machen :/
Aber vllt hat ja wer mehr Ahnung als ich :o
Lg
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Hallo!
Mir fielen da zwei Wege ein:
1. Wenn man drei Punkte hat, kann man daraus den Mittelpunkt des Kreises berechnen, auf dem alle drei liegen. Zeichne dazu Graden senkrecht durch den Mittelpunkt der Verbindungsstrecken von je zwei Punkten. Alle Graden treffen sich im Mittelpunkt.
Diese Methode bedeutet aber viel rechnen.
2. Die Parameterform zusammen mit der Bendingung für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta, [/mm] die du aus deiner letzten Gleichung bekommst, definiert ja einen Kreis, der irgendwie im Raum hängt.
Die Idee: der höchste und tiefste Punkt auf dem Kreis liegen sich exakt gegenüber. Wenn man die hat, hat man den Mittelpunkt, der ja genau dazwischen liegt.
Dazu mußt du in der Parameterform z.B. für [mm] \beta [/mm] einen von [mm] \alpha [/mm] abhängigen Ausdruck einsetzen. (Ich wette, dieser Ausdruck enthält ein [mm] \pm [/mm] )
Jetzt schnapp dir eine einzelne Komponente, also z.B. die z-Komponente, und leite sie nach [mm] \alpha [/mm] ab. So bekommst du ein Minimum und Maximum, also das [mm] \alpha, [/mm] dessen Punkt am höchsten/tiefsten vom ganzen Kreis sitzt.
Diese Methode ist sicher schneller als die erste, wenn du schon so weit bist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 09.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi,
das scheint ja doch alles komplizierter zu sein, als ich dachte! Dennoch würde ich das natürlich jetzt auch so zu Ende führen...
Du meinst echt, ich soll
$ [mm] (\alpha\cdot{}\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+\beta\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\vektor{-4 \\ 4 \\ 1,5})^2=25 [/mm] $
mal nach [mm] \beta [/mm] auflösen und das dann für [mm] \beta [/mm] einsetzen? (a+b+c)² wird doch einen ellenlangen Term für [mm] \beta [/mm] bedeuten... Lohnt sich die Mühe oder setze ich hier falsch an, so wie du es meinst?
Danke!
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Hi!
Ich denke, dieser Rechenweg ist eine Sackgasse.
Man kann mit irgendwelchen Tricks die Lösung da rausprügeln, aber ne ernsthafte Lösung ist das nicht.
Du hast ja nen Normalenvektor der Ebene, nimmst dazu den Kreismittelpunkt als Aufpunktvektor, und bastelst daraus ne Grade. Diese verläuft dann duch die Mittelpunkte sowohl der Kugel als auch des Kreises. Du mußt dann nur den Schnittpunkt mit der Ebene ausrechnen. Das ist der eigentliche Weg.
Ich dachte, du wolltest mal schaun, was man sonst noch so machen kann, und dann kommt man auf so krumme Ideen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 09.01.2008 | | Autor: | oli_k |
Hi,
stell mich gerade was blöd an... Wie komme ich jetzt vom Mittelpunkt des Schnittkreises zu seinem Radius? Ich muss ja jetzt irgendeine Gerade, die auf dem Kreis liegt, mit der Kugel schneiden oder so...
Danke!
Ach, da war doch was... Schreit ja quasi nach Pythagoras! Sorry, bitte grün machen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mi 09.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hi,
> stell mich gerade was blöd an... Wie komme ich jetzt vom
> Mittelpunkt des Schnittkreises zu seinem Radius? Ich muss
> ja jetzt irgendeine Gerade, die auf dem Kreis liegt, mit
> der Kugel schneiden oder so...
>
> Danke!
>
> Ach, da war doch was... Schreit ja quasi nach Pythagoras!
> Sorry, bitte grün machen ;)
schreit nicht nur.
du kennst den abstand der beiden mittelpunkte und den radius der kugel
[mm] r²=R²-\overrightarrow{MM}_1²
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mi 09.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo,
> bereite mich gerade aufs Abi vor, jetzt ist Algebra mal
> wieder dran... Folgendes: Ich habe eine
> Kugeloberflächengleichung gegeben, also (Punkt minus
> Mittelpunkt) zum Quadrat soll den Radius zum Quadrat
> ergeben. Dazu eine Ebene, die durch die Kugel durchgeht und
> dort natürlich einen Schnittkreis bildet. Dessen
> Mittelpunkt soll nun bestimmt werden.
>
> Die einfache Methode wäre, einfach den Vektor zu bilden,
> der durch den Kugelmittelpunkt geht und senkrecht zur Ebene
> ist und diesen mit der Ebene zu schneiden - sprich die
> Gerade mit dem Kugelmittelpunkt als Aufpunkt und den
> Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor mit der Ebene
> zu schneiden.
>
>
> Meine Idee war aber folgende, bitte schaut euch das mal
> an:
> Kugel K: [mm](\vec{x}-\vektor{4 \\ -4 \\ 3})^2=25[/mm]
> Ebene E:
> [mm]2x_1-x_2+2x_3-9=0[/mm]
>
> E in PF bringen (die stimmt auch 100-prozentig noch):
> E: [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 4,5}+\alpha*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+\beta*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> E setze ich nun in K ein, fertig umgeformt also:
> K: [mm](\alpha*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}+\beta*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+\vektor{-4 \\ 4 \\ 1,5})^2=25[/mm]
>
> Diese Gleichung erfüllen doch nur die alpha-beta-Paare, für
> die die Punkte sowohl auf E als auch auf dem Schnittkreis
> (also auf dem Rand) liegen, oder? Nur habe ich hier leider
> noch keinen Mittelpunkt... Wie geht es denn ab hier am
> bestem weiter?
> Habe auch schon [mm]\alpha=0[/mm] gesetzt und dafür zwei
> verschiedene (logisch, ist ja ein Kreis und demnach ein
> Quadrat in der Gleichung) [mm]\beta[/mm] erhalten. So kann ich durch
> einsetzen der Paare in E auch beliebig viele Punkte auf dem
> Kreis erhalten... Aber weiter bringt mich das ja auch
> nicht...
>
> Komme ich mit dieser Methode also überhaupt nicht weiter?
>
> Danke,
> Oli
wenn du die kirche sehr oft ums kreuz trägst, kommst du auch mit "deiner" methode ans ziel.
zunächst die standardmethode
[mm] \vec{x}=\vektor{4\\-4\\3}+t\vektor{2\\-1\\2} [/mm] geschnitten mit E ergibt t = -1 und damit den
mittelpunkt des kreises M(-2/1/-2).
jetzt die einfache methode, suche punkte auf K, z.b. setze [mm] \alpha=0 [/mm] und anschließend [mm] \beta=0
[/mm]
das gibt
[mm] P_{1,2}(-4/\frac{2\pm2\sqrt{22}}{10}/\frac{-4\pm2\sqrt{22}}{10})
[/mm]
und
[mm] Q_{1,2}(\frac{-5\pm\sqrt{47}}{4}/4/\frac{-5\pm\sqrt{47}}{4})
[/mm]
die zugehörigen richtungsvektoren sind [mm] \vec{p}=\vektor{0\\2\\1} [/mm] und [mm] \vec{q}=\vektor{1\\0\\-1}, [/mm] die mittelpunkte [mm] M_P(-1.25/4/-1.25) [/mm] und [mm] M_Q(-4/0.2/-0.4)
[/mm]
nun findest du die richtungsvektoren der jeweiligen mittelsenkrechten über das kreuzprodukt - sie müssen ja auch in E liegen, und schneidest die beiden geraden, das ergibt:
[mm] \vektor{-1.25\\4\\-1.25}+t\vektor{1\\4\\1}=\vektor{-4\\0.2\\-0.4}+s\vektor{5\\2\\-4} [/mm] mit [mm]s = 0.4[/mm] bzw. [mm]t = -0.75[/mm].
daraus folgt [mm]M(-2/1/-2)[/mm].
ich würde die standardmethode vorziehen.
aber gehen tut´s.
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