Schnitt zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass sich g un h schneiden, und gib eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der g und h liegen.
g: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{5 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
h: [mm] \overrightarrow{X} [/mm] = [mm] \vektor{14 \\ -8 \\ 17} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ -5 \\ 4} [/mm] |
Hallo!
für diese Aufgabe lauten die Lösungen (laut Lehrer):
[mm] \overrightarrow{GH} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ -9 \\ 20},
[/mm]
det [mm] (\overrightarrow{GH} [/mm] , [mm] \overrightarrow{g} [/mm] , [mm] \overrightarrow{h}) [/mm] =
= [mm] \vmat{ 16 & 5 & 2 \\ -9 & -2 & -5 \\ 20 & 8 & 4} [/mm] = 0
[mm] 32x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] - [mm] 21x_{3} [/mm] - 123 = 0
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Ich verstehe nicht, wie er auf den Wert
[mm] \overrightarrow{GH} [/mm] = [mm] \vektor{16 \\ -9 \\ 20}
[/mm]
kommt, da wir gelernt haben, man zieht entweder
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3} [/mm] von [mm] \vektor{14 \\ -8 \\ 17} [/mm] ab, oder andersrum.
Hier scheint der Lehrer jedoch beides nicht angewandt zu haben...
Bitte ganz dringend um Hilfe!
Vielen Dank im Voraus
Gruß
el_grecco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Do 13.12.2007 | | Autor: | weduwe |
lehrer sind (angeblich) auch menschen.
er hat sich halt in der 1. zeile verrechnet, da gehört 12 hin,
würde ich vermuten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Do 13.12.2007 | | Autor: | el_grecco |
> lehrer sind (angeblich) auch menschen.
> er hat sich halt in der 1. zeile verrechnet, da gehört 12
> hin,
> würde ich vermuten.
Dachte ich mir zunächst auch, dagegen spricht nur, dass er die Ergebnisse aus dem Lösungsbuch hat. Hab schon fast mit dem gesamten Kurs telefoniert, es haben aber ausnahmslos alle die gleichen Resultate...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 13.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Ich tippe eher auf eine -2 statt einer 2; sonst würde alles stimmen :)
Wobei man doch eigentlich eher hier den Schnittpunkt der beiden Geraden nehmen müsste und dann mit den beiden Richtungsvektoren der Geraden die Ebene aufspannen müsste?
Diese Lösung kommt mir ein wenig seltsam vor, wenngleich ich auch nicht überprüft habe, ob die Lösung so korrekt wäre.
Aber wenn es dein Lehrer halt sagt :o
Lg
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> Ich tippe eher auf eine -2 statt einer 2; sonst würde alles
> stimmen :)
>
> Wobei man doch eigentlich eher hier den Schnittpunkt der
> beiden Geraden nehmen müsste und dann mit den beiden
> Richtungsvektoren der Geraden die Ebene aufspannen müsste?
>
> Diese Lösung kommt mir ein wenig seltsam vor, wenngleich
> ich auch nicht überprüft habe, ob die Lösung so korrekt
> wäre.
> Aber wenn es dein Lehrer halt sagt :o
>
> Lg
Naja Menschen sind ja auch nur Lehrer...
Dachte nur, es gibt noch eine andere Möglichkeit als einen der beiden Aufpunktsvektoren zu nehmen...
Wie würde man eigentlich den Schnittpunkt dieser beiden Geraden berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 13.12.2007 | | Autor: | Maggons |
Geh einfach davon aus, dass in der ersten Geradengleichung die 2 des Aufpunktes eine -2 sein muss; dann wäre die Lösung auch "die selbe".
Um den Schnittpuntk der Geraden zu bestimmen, würde man ein lineares Gleichungssystem aufstellen, in welchem man einfach die beiden Geradengleichungen gleichesetzt.
Wenn nun für deine beiden Parameter eindeutige Werte rauskommen, liegt ein Schnitt vor. Falls sich alle Parameter wegkürzen würden und letztendes ein Ergebnis wie 4=4 stehenbleiben würde, gäbe es unendlich viele Lösungen, so dass eine Identität vorläge und dann gibt es noch die wohl häufigste Variante, nämlich, dass die Gerade windschief zueinander sind.
Dann erhält man keine eindeutige Lösung für die beiden Parameter :)
Um den Schnittpunkt dann festzulegen, musst du den Parameter, den du beim Gleichsetzen herausbekommen hast wieder zurück in die Gleichung einsetzen, damit du deinen Schnittpunkt erhälst.
Von da aus kannst du dann deine Ebene mit den 2 Richtungsvektoren der Geraden aufspannen, das wäre 100% richtig :)
Ciao, Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 13.12.2007 | | Autor: | el_grecco |
Ok. Besten Dank für die Hilfe 
lG
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Do 13.12.2007 | | Autor: | weduwe |
wenn man es anders rum macht, heißt die ebenengleichung:
[mm] E:\vec{x}=\vektor{2\\1\\-3}+\lambda\vektor{5\\-2\\8}+\mu\vektor{2\\-5\\4} [/mm]
daraus mit dem vektorprodukt den normalenvektor berechnet gibt [mm] \vec{n}=\vektor{32\\-4\\-21} [/mm] und damit
E: 32x-4y-21z-123=0
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