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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der Gruppenhomomorphismus [mm] \phi [/mm] bijektiv ist.
Warum reicht es hier, wenn ich zeige, dass der Kern trivial ist, d.h. [mm] \phi [/mm] injektiv ist?? |
Danke schon mal für die Erklärung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hast du genauere Angaben zur Aufgabe?
Wie ist denn [mm] \phi [/mm] definiert?
Spontan würde ich aber sagen: Wenn beide Gruppen die gleiche Elementanzahl besitzen, dann reicht es schon aus, wenn [mm] \phi [/mm] injektiv ist, da dann die n Elemente aus der Urbildmenge auf genau n verschiedene (also alle) Elemente der Bildmenge geworfen werden.
Nun gilt [mm] ker(\phi)=\{0\}.
[/mm]
Zur Injektivität: a [mm] \not= [/mm] b [mm] \Rightarrow a-b\not=0.
[/mm]
Nun wende [mm] \phi [/mm] auf beiden Seiten an und nutze aus, dass der Kern einelementig ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:25 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut am besten ich schreib die Abbildung doch mal hin. Also es handelt sich um die Abbildung des Abbildungsgrades, falls das jemand was sagt und ist definert wie folgt: deg: [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1]\mapsto \IZ
[/mm]
wobei [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] die Menge aller stetigen Abbildungen von [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] nach [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] bezüglich der Homotopierealation.
Da beide Gruppen nich wirklich endlich sind, wirds mit dem Nachweis der Bijektivität über die Injektivität etwas schwieriger. Was hat es mit dem trivialen Kern also auf sich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Okay gut am besten ich schreib die Abbildung doch mal hin.
> Also es handelt sich um die Abbildung des Abbildungsgrades,
> falls das jemand was sagt und ist definert wie folgt: deg:
> [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1]\mapsto \IZ[/mm]
> wobei
> [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] die Menge aller stetigen
> Abbildungen von [mm]\mathbb{S}^1[/mm] nach [mm]\mathbb{S}^1[/mm] bezüglich
> der Homotopierealation.
Was soll das denn für ne Definition sein? Du hast lediglich gesagt zwischen welchen Mengen (?) die Abbildung abbildet, aber nicht wie sie definiert ist. Ich versteh auch überhaupt nicht was du mit "Menge aller stetigen Abbildungen von [mm]\mathbb{S}^1[/mm] nach [mm]\mathbb{S}^1[/mm] bezüglich der Homotopierealation" meinst. Ich hab zwar eine Vermutung was du meinen könntest aber am Besten klärst du uns selbst auf.
> Da beide Gruppen nich wirklich endlich sind, wirds mit dem
> Nachweis der Bijektivität über die Injektivität etwas
> schwieriger. Was hat es mit dem trivialen Kern also auf
> sich?
Prinzipiell musst du, sobald die Zielmenge unendlich ist, Surjektivität prüfen, da führt kein Weg dran vorbei.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sorry ich dacht es is mit den gegebenen Infos klar. Es handelt sich doch um die Abbildung des Abbildungsgrades deg und das ganze ist wie gesagt ein Gruppenhomomorphismus, d.h. es gilt ja dann deg(fg)=deg(f)+deg(g). Ich weiß nicht was ich dazu sonst noch sagen könnte. Mehr gibt die Aufgabe auch nicht her.
Ich versteh auch überhaupt nicht was du mit "Menge aller stetigen Abbildungen von [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] nach [mm] \mathbb{S}^1 [/mm] bezüglich der Homotopierealation" meinst. Ich hab zwar eine Vermutung was du meinen könntest aber am Besten klärst du uns selbst auf.
Also dann versuch ich das auch nochmal anders zu formuliren. Die Menge [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] kann man auch schreiben als [mm] \mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)/\simeq [/mm] wobei [mm] \simeq [/mm] die Homotopierealation, d.h. eine Äquivalezrealation auf [mm] \mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1) [/mm] mit [mm] f\simeq [/mm] g genau dann, wenn f homotop zu g. Elemente dieser Menge sind also Homotopieklassen wie z.B. [f] in welcher alle Abbildungen liegen, die homotop zu f sind. Ich hoff es is jetzt verständlicher was mit der Menge [mm] [\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1] [/mm] gemeint war.
Aber im Prinzip spielen die Mengen ja auch keine Rolle. Ich will nur gern wissen, warum mein Buch (Grundkurs Topologie von Markus Szymik, S. 119) mir sagt, dass es für den Nachweis der Bijektivität von deg aufgrund des Gruppenhomomorphismus bereits ausreicht, wenn man zeigt, dass der Kern trivial ist. Es muss also irgendeine Regel geben, die für Äquivalenz zwischen Injektivität und Surjektivität bei Homomorphismen sorgt. Weiß da jemand was?? Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sorry ich dacht es is mit den gegebenen Infos klar. Es
> handelt sich doch um die Abbildung des Abbildungsgrades deg
> und das ganze ist wie gesagt ein Gruppenhomomorphismus,
> d.h. es gilt ja dann deg(fg)=deg(f)+deg(g). Ich weiß nicht
> was ich dazu sonst noch sagen könnte. Mehr gibt die
> Aufgabe auch nicht her.
Tja, jetzt weiß ich immernoch nicht wie deg definiert ist. Aber anscheinen ist das nicht so wichtig.
> Die Menge [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] kann man
> auch schreiben als
> [mm]\mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)/\simeq[/mm] wobei [mm]\simeq[/mm]
> die Homotopierealation, d.h. eine Äquivalezrealation auf
> [mm]\mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)[/mm] mit [mm]f\simeq[/mm] g genau
> dann, wenn f homotop zu g.
Danke, das ist eine Definition die ich verstehe.
> Aber im Prinzip spielen die Mengen ja auch keine Rolle. Ich
> will nur gern wissen, warum mein Buch (Grundkurs Topologie
> von Markus Szymik, S. 119) mir sagt, dass es für den
> Nachweis der Bijektivität von deg aufgrund des
> Gruppenhomomorphismus bereits ausreicht, wenn man zeigt,
> dass der Kern trivial ist. Es muss also irgendeine Regel
> geben, die für Äquivalenz zwischen Injektivität und
> Surjektivität bei Homomorphismen sorgt.
Tja die Sache ist ganz einfach. Es gibt keinen (!!!) Zusammenhang zwischen "Kern trivial" und "surjektiv" wenn die Gruppen unendlich sind. Wenn ich jetzt mal kurz einen Blick bei Google in das von dir zitierte Buch werfe, dann finde ich auf Seite 117 oben ein "Beispiel" wo nichts anderes als die Surjektivität von [mm] $\operatorname{deg}$ [/mm] steht.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
> > Die Menge [mm][\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1][/mm] kann man
> > auch schreiben als
> > [mm]\mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)/\simeq[/mm] wobei [mm]\simeq[/mm]
> > die Homotopierealation, d.h. eine Äquivalezrealation auf
> > [mm]\mathcal{C}(\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1)[/mm] mit [mm]f\simeq[/mm] g genau
> > dann, wenn f homotop zu g.
> Danke, das ist eine Definition die ich verstehe.
>
> > Aber im Prinzip spielen die Mengen ja auch keine Rolle. Ich
> > will nur gern wissen, warum mein Buch (Grundkurs Topologie
> > von Markus Szymik, S. 119) mir sagt, dass es für den
> > Nachweis der Bijektivität von deg aufgrund des
> > Gruppenhomomorphismus bereits ausreicht, wenn man zeigt,
> > dass der Kern trivial ist. Es muss also irgendeine Regel
> > geben, die für Äquivalenz zwischen Injektivität und
> > Surjektivität bei Homomorphismen sorgt.
> Tja die Sache ist ganz einfach. Es gibt keinen (!!!)
> Zusammenhang zwischen "Kern trivial" und "surjektiv" wenn
> die Gruppen unendlich sind. Wenn ich jetzt mal kurz einen
> Blick bei Google in das von dir zitierte Buch werfe, dann
> finde ich auf Seite 117 oben ein "Beispiel" wo nichts
> anderes als die Surjektivität von [mm]\operatorname{deg}[/mm]
> steht.
Okay ich hab mir die Seite 117 auch mal angeschaut und in dem Beweis des dort abgedruckten Satzes steht endlich auch die Abbildungsvorschrift der Abbildung deg. Die Abbildung sieht also wie folgt aus [mm] deg:[\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1]\rightarrow \IZ [/mm] mit [mm] [f]\mapsto [/mm] deg(f). Das also als Nachtrag.
Nun aber meine Frage wie ich hier bei dieser Abbildung die Surjektivität erkenne. Das scheint nach Seite 117 offensichtlich, allerdings sehe ich im Moment nicht warum. Kann das jemand erklären??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]deg:[\mathbb{S}^1,\mathbb{S}^1]\rightarrow \IZ[/mm] mit
> [mm][f]\mapsto[/mm] deg(f). Das also als Nachtrag.
Aha, und was ist deg(f)...? Ich glaub wir lassen das Thema mal beiseite. Wenns so wichtig ist kann ich es auch selbst nachlesen.
> Nun aber meine Frage wie ich hier bei dieser Abbildung die
> Surjektivität erkenne. Das scheint nach Seite 117
> offensichtlich, allerdings sehe ich im Moment nicht warum.
> Kann das jemand erklären??
Da steht: Für ein [mm] $n\in\IZ$ [/mm] hat Funktion [mm] $e_n:\mathbb{S}^1\ni z\mapsto z^n\in\mathbb{S}^1$ [/mm] den Abbildungsgrad $n$. Also ist deg surjektiv, denn für beliebiges [mm] $n\in\IZ$ [/mm] nehm ich einfach [mm] $[e_n]\in[S^1,S^1]$, [/mm] dann ist [mm] $\deg([e_n])=deg(e_n)=n$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Achja natürlich au man :). Vielen Dank.
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