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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mi 15.07.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Das Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren konstruiert aus einer Menge linear
unabhängiger Vektoren ein solches Orthonormalsystem in zwei Schritten. Zunächst
werden die linear unabhängigen Vektoren a1, . . . ,ak sukzessive so ausgerichtet, dass sie
ein Orthogonalsystem b1, . . . ,bk bilden. Danach werden diese orthogonalen Vektoren
noch normiert, also auf die Länge eins gebracht.
Der erste Vektor des ursprünglichen Systems wird zunächst unverändert übernommen:
b1 := a1. Der zweite Vektor a2 muss nun aber im Verhältnis zu b1 so zurecht gebogen
werden, dass zwischen ihnen ein rechter Winkel entsteht. Dies geschieht durch die Formel:
[mm]
b_2 := a_2 - \bruch {a_2'b_1}{b_1'b_1} * b_1
[/mm]
Man kann sofort sehen, dass das Skalarprodukt dieses Vektors mit b1 null ergibt.
Mehr Erläuterung haben wir nicht bekommen woran kann ich "sofort" erkennen dass das Skalarprodukt 0 ergibt? Stehe auf dem Schlauch ist bestimmt estwas einfaches bitte helft mir ;)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 15.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Es ist hilfreich, hier die Vektoren auch als Vektoren zu schreiben und das Skalarprodukt und nur dieses durch den Malpunkt kennzuzeichnen.
$ [mm] \vec{b_2} [/mm] := [mm] \vec{a_2} [/mm] - [mm] \bruch {\vec{a_2'}\cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1'}\cdot \vec{b_1}} \vec{b_1} [/mm] $
Nun wird das Ganze mit [mm] $\vec{b_1}$ [/mm] skalar multipliziert.
[mm] $\vec{b_1}\cdot \vec{b_2} :=\vec{b_1}\cdot \left( \vec{a_2} - \bruch {\vec{a_2'}\cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1'}\cdot \vec{b_1}} \vec{b_1} \right)$
[/mm]
Nun wende die Rechenregeln für das Skalarprodukt an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 16.07.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Wie kann ich denn mit solch unbestimmten Ausdrücken das Skalarprodukt bilden. Ich habe es versucht aber außer das am Ende ein riesiger Ausdruck rauskam der gar nichts aussagt hat es mich leider nicht weitergebracht.
Ich habe für
[mm]
\vec b_1=\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}
\vec a_2=\begin{pmatrix} a_2x \\ a_2y \\ a_2z \end{pmatrix}
[/mm]
genommen und dann nach den Regeln Skalar multipliziert.
Weitere Hilfe wäre schön.
Danke im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 16.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann ich denn mit solch unbestimmten Ausdrücken das
> Skalarprodukt bilden. Ich habe es versucht aber außer das
> am Ende ein riesiger Ausdruck rauskam der gar nichts
> aussagt hat es mich leider nicht weitergebracht.
>
> Ich habe für
>
> [mm]
\vec b_1=\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}
\vec a_2=\begin{pmatrix} a_2x \\ a_2y \\ a_2z \end{pmatrix}
[/mm]
>
> genommen und dann nach den Regeln Skalar multipliziert.
>
> Weitere Hilfe wäre schön.
>
> Danke im voraus
Mich würde interessieren, was Du mit [mm] \vec{a_2'} [/mm] und [mm] \vec{b_1'} [/mm] in
$ [mm] \vec{b_2} [/mm] := [mm] \vec{a_2} [/mm] - [mm] \bruch {\vec{a_2'}\cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1'}\cdot \vec{b_1}} \vec{b_1} [/mm] $
meinst. Wenn [mm] \vec{a_2'}= \vec{a_2} [/mm] und [mm] \vec{b_1'}= \vec{b_1} [/mm] ist, so folgt
$ [mm] \vec{b_1}\cdot \vec{b_2} =\vec{b_1}\cdot \left( \vec{a_2} - \bruch {\vec{a_2}\cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1}\cdot \vec{b_1}} \vec{b_1} \right) [/mm] = [mm] \vec{b_1}* \vec{a_2}- \bruch {\vec{a_2}\cdot \vec{b_1}}{\vec{b_1}\cdot \vec{b_1}}*\vec{b_1}\cdot \vec{b_1}=0$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 16.07.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Also mit dem ' meine ich die transponierte Version also uns wurde erklärt das dass Skalarprodukt eigentlich nur geht wenn man Zeilenvektor mal Spaltenvektor nimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 16.07.2015 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du das so ausrechnest, muss am Ende 0 herauskommen. Das ist aber eine völlig unnötige Mühe. Fred hat den normalen Weg vorgerechnet.
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