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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 So 24.05.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix A immer ein Quadrat in [mm] \IK [/mm] ist, d.h. [mm] det(A)=\mu^{2} [/mm] für ein [mm] \mu\in\IK [/mm] |
Kann mir jemand dazu einen Ansatz geben, wie ich bei diesem Beweis vorgehen muss? Dank euch ;)
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> Zeige, dass die Determinante einer schiefsymmetrischen
> Matrix A immer ein Quadrat in [mm]\IK[/mm] ist, d.h. [mm]det(A)=\mu^{2}[/mm]
> für ein [mm]\mu\in\IK[/mm]
> Kann mir jemand dazu einen Ansatz geben, wie ich bei
> diesem Beweis vorgehen muss? Dank euch ;)
Hallo,
für schiefsymmetrische nxn-Matrizen mit ungeradem n kannst Du das ja leicht aus der Def. für schiefsymmetrisch und den einschägigen Regeln fürs Rechnen mit Determinanten zeigen. (Es kommt immer dasselbe Quadrat heraus.)
Für schiefsymmetrische Matrizen mit geradem n , die nicht invertierbar sind, ist die Sache auch leicht: die Det ist natürlich =0.
Fürs weitere beschränke ich mich auf Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR, [/mm] für [mm] \IC [/mm] hab' ich das nicht durchdacht.
Nehmen wir also eine schiefsymmetrische nxn-Matrix A, n gerade, mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
Ihre Eigenwerte sind alle rein imaginär, sie liegen in konjugiert-komplexen Paaren vor, da das charakteristische Polynom reelle Koeffizienten hat.
Wenn Du jetzt beachtest, daß die Det. das Produkt der Eigenwerte ist, dann hast Du's.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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