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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 So 12.11.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Auf einer Rampe (mit der Höhe h=2m und dem Neigungswinkel [mm] \alpha=45°] [/mm] wird ein Körper mit [mm] m_{k}=10kg [/mm] losgelassen und gleite reibungslos nach unten.
Die Rampe selbst habe eine Eigenmasse von [mm] m_{r}=100kg [/mm] und sei auf dem Boden frei beweglich (reibungsfrei). Wie groß ist die horizontale Geschwindigkeitskomponente des Körpers und die der Rampe unmittelbar bevor der Körper den Boden erreicht? |
Hallo zusammen,
ich habe mich an die Aufgabe gemacht und versucht das ganze zu lösen.
Im folgenden mein Lösungsweg, mit der Bitte das mal zu kontrollieren.
Zunächst habe ich mir das ganze System aufgezeichnet und einige Kräfte eingetragen (siehe die amateurhafte Paint-zeichnung)
[Dateianhang nicht öffentlich]
G:= Gewichtskraft vom Körper
[mm] F_{H}:= [/mm] Hangabtriebskraft
[mm] F_{N}:= [/mm] Normalkraft
[mm] F_{Hx}:= [/mm] X-Komponente der Hangabtriebskraft (in rot eingezeichnet)
[mm] F_{Nx}:= [/mm] X-Komponente der Normalkraft (in rot eingezeichnet)
Meine Überlegung ist nun. Der Körper wird durch die Hangabtriebskraft beschleunigt, bzw. da die horizontale Geschwindigkeit gesucht ist, können wir auch gleich nur die X-Komponente betrachten.
Die Beschleunigung in x-Richtung kann ich über
[mm] F_{Hx}=m_{k}*a_{kx} [/mm] bzw.
[mm] a_{kx}=\bruch{F_{Hx}}{m_{k}}
[/mm]
berechnen.
Mit dem Ergebnis kann ich dann mit
[mm] v_{kx}=a_{kx}*t [/mm] ausrechen, wobei ich das t aus
[mm] s_{x}=\bruch{1}{2}*a_{kx}*t^{2} [/mm] bekomme.
[mm] s_{x}:= [/mm] Strecke die der Körper in x-Richtung zurücklegt
[mm] s_{x}=2m [/mm]
Damit habe ich also schon mal die Geschwindigkeit des Körpers in x-Richtung.
Zur Rampe. Auf sie wirkt ja die Normalkraft und sie wird durch diese Beschleunigt. Da die Rampe nach unten hin fest gelagert ist, kann sie sich nur in x-Richtung bewegen. Sie wird also durch die x-Komponente der Normalkraft beschleunigt. Analog zur Rechnung beim Körper errechne ich dann eine Geschwindigkeit für die Rampe.
Soweit so gut. Wenn ich jetzt allerdings die ermittelten Geschwindigkeiten z.B. per Energieerhaltung überprüfen will, haut das nicht mehr hin.
Die potentielle Energie des Körpers ganz oben auf der Rampe muss ja gleich der beiden kinetischen Energien sein.
Setze ich die Gesamtgeschwindigkeit des Körpers und die Geschwindigkeit der Rampe ein, ist hinterher mehr Energie im System als am Anfang.
Kann ja irgendwie nicht sein...
Kann mir jemand bitte auf die Sprüng helfen?
Vielen Dank, Gruss,
Vertex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 So 12.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Folgerung, dass was nicht stimmen kann ist richtig.
Weil auch die Rampe beschleunigt wird, die sonst ja als fest gilt, kann man nicht mehr so rechnen, dass Gewichtskraft + Normalkraft = Hangabtribskraft.
Die Kräftegl. hinzuschreiben ist hier komplizierter, deshalb nimm den Impuls und Energiesatz.
1. da es sich in 45° bewegt ist für den Körper in jedem Moment [mm] v_x=v_y. [/mm] also [mm] v^2=v_x^2*v_y^2=2v_x^2
[/mm]
Energiesatz also : [mm] m*g*h=M/2*V_x^2+m/2*2v_x^2 [/mm] M,V für Rampe, m,v für Körper.
ausserdem gilt der Impulssatz [mm] 0=m*v_x+M*V_x
[/mm]
daraus kannst du jetzt [mm] v_x [/mm] und [mm] V_x [/mm] in jeder Höhe berechnen.
(daraus rückwärts natürlich auch die wirkenden Kräfte!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 12.11.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallo Leduart,
vielen Dank für deine Hilfe.
Über die Impulserhaltung kann man mit den gegebenen Werten errechen das,
[mm] V_{x}=\bruch{1}{10}*v_{x} [/mm] ist
Damit kann ich dann in die Energieerhaltung reingehen und das ganze nach [mm] v_{x} [/mm] auflösen.
[mm] v_{x}=\wurzel{\bruch{20*g*h}{21}}
[/mm]
mit den gegebenen Werten errechnet sich
[mm] v_{x}=4,32\bruch{m}{s}
[/mm]
entsprechend
[mm] V_{x}=0,432\bruch{m}{s}
[/mm]
Was mich an dem Ergebnis etwas wundert ist, das die Geschwindigkeit v des Körpers, also die Gesamtgeschwindigkeit entlang der Rampe hinab nur geringfügig kleiner ist als wenn die Rampe absolut fest stehen würde.
v bei beweglicher Rampe ist 6,11 m/s
v bei fester Rampe ist 6,26 m/s
Kann das hinkommen?
Irgendwie hatte ich vermutet das mehr Energie in die Bewegung der Rampe geht.
Danke nochmal,
Gruss,
Vertex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 12.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo vertex
Der Impussatz hat es an sich, dass immer die Grosse Masse wenig Geschwindigkeitsänderung hat und wegen des Quadrates dann erst recht wenig Energieänderung! unser Denken ist i.A. an proportional gewöhnt!
Deshalb ist ja auch ein Zusammenstoss PKW LKW nur für den ersten schlimm, die Brummis bezahlen ihre Fehler sehr selten mit eigenen Schäden!(guter Rat: Achtung vor LKWs auf der Autobahn!
Gruss leduart
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