Schief-hermitesche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Di 29.06.2004 | | Autor: | chrisb |
Hallo,
ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu lösen, mir fehlt aber der entscheidene Dreh.
Es sei U unitär mit det(I-iU) ungleich 0. Man zeige, dass die Matrix
A:= (I+iU)(I-iU)^-1
schief-hermitesch ist.
A schief-hermitesch <=> A* = -A
Als erstes habe ich den Ausdruck (I-iU)^-1 auf die andere Seite gebracht. Dann habe ich beide Seiten der Gleichung (I-iU)A = (I+iU) gesternt:
(I-iU)*A* = (I+iU)*
ó (I+iU*)A*= (I-iU*)
ó A* = (I-iU*)(I+iU*)^-1
An dieser Stelle komme ich nicht weiter, ich weiß noch nicht mal, ob es was gebracht hat. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Entschuldigt, dass ich meine Frage so kurzfristig stelle, aber ich habe dieses Forum erst vorhin gefunden.
Gruß
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Christoph!
Doch, ich würde wie du mit Gewalt vorgehen:
[mm]((I + iU)(I-iU)^{-1})^{\*} \stackrel{(?)}{=} (-I-iU)(I-iU)^{-1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \quad (I + iU^{\*})^{-1} (I-iU^{\*}) = (-I-iU)(I-iU)^{-1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \quad (I+iU^{-1})^{-1} (I-iU^{-1}) = (-I-iU)(I-iU)^{-1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \quad (I-iU^{-1})(I-iU) = (I+iU^{-1})(-I-iU)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \quad I - iU^{-1} - iU - I = -I - iU^{-1} - iU + I[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mi 30.06.2004 | | Autor: | chrisb |
Hallo Julius,
vielen Dank für deine Antwort. Ich bin natürlich nicht darauf gekommen, die beiden Seiten einfach gleichzusetzen. Ich habe aber noch eine Frage zum letzten Schritt. I fällt schließlich weg, ich verstehe noch nicht ganz, warum. -i x -i gibt + (bzw. auf der rechten Seite i x -i) und U x U^-1 = I .
Gruß
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Christoph!
> -i x
> -i gibt + (bzw. auf der rechten Seite i x -i) und U x U^-1
> = I .
Richtig, es gilt:
[mm] $(-iU^{-1}) \cdot [/mm] (-iU) = -I$
und
[mm] $(iU^{-1}) \cdot [/mm] (-iU) = I$.
Aber so habe ich doch auch gerechnet.
Wir haben ja auf beiden Seiten zwei $I$'s, hast du das übersehen?
Liebe Grüße
Julius
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