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Schätzen von p: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Mo 11.10.2021
Autor: hase-hh

Aufgabe
1. Die Polizisten einer Dienststelle behaupten, dass der Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer unter 7,3% gesunken ist. Sie planen ihre Hypothese durch eine Stichprobe von 600 Fahrern zu überprüfen. Entwickeln Sie einen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5%, um die Hypothese der Polizisten zu stützen und formulieren Sie eine geeignete Entscheidungsregel.

2. Bei der Kontrolle der 600 Fahrer zeigte sich, dass 31 nicht fahrtüchtig waren. Auf der Basis dieses Eregbnisses soll der Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer neu geschätzt werden. Ermittlen Sie die kleinste Wahrscheinlichkeit p, mit der die Hypothese, dass der Anteil nicht fahrtüchtiger Fahrer größer oder gleich p ist, bei diesem Testergebnis auf einem Signifikanzniveau von 5% verworfen werden kann.


Moin Moin, mir geht es mehr um Aufgabe 2...

aber zunächst zu Aufgabe 1:

Die Polizei ist der Meinung, dass der Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer unter 7,3% gesunken ist. Um zu zeigen, dass diese Hypothese [mm] [H_1] [/mm] gilt, formuliert man die gegenteilige Hypothese [mm] [H_0], [/mm] mit dem Ziel diese abzulehnen. Wenn dies gelingt, gilt (weiterhin) die Alternativ-Hypothese.

[mm] H_1 [/mm] : p < 7,3%                [mm] H_0 [/mm] : p [mm] \ge [/mm]  7,3%      

Getestet wird [mm] H_0 [/mm] !!    --- Es handelt sich um einen einseitigen [hier: einen linksseitigen] Hypothesentest.

X: Anzahl nicht fahrtüchtiger Fahrer ist binomialverteilt mit n = 600 und p = 7,3%  

Entscheidungsregel

[ 0 … k  k+1 … n ]

Verwerfungsbereich  Annahmebereich

Um sicherzustellen, dass das Signifikanzniveau [Fehler 1. Art = eine Hypothese wird irrtümlich abgelehnt] [mm] \alpha [/mm] höchstens 5% beträgt, muss zunächst das k [= kritische Grenze] gefunden werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% führt.

P(X [mm] \le [/mm] k) [mm] \le [/mm] 0,05

TR liefert:              32  3,87%
                         33  4,87%  
                         34  6,83%    =>   k = 33.

Entscheidungsregel
[ 0 … 33 ; 34 … 600]



zu Aufgabe 2

Hier lautet die Nullhypothese

[mm] H_0: [/mm]  p [mm] \ge p_0 [/mm]


Es handelt sich wiederum um einen linksseitigen Test.

X: Anzahl nicht fahrtüchtiger Fahrer ist binomialverteilt mit n = 600 und p = ?


Für den Fehler 1. Art [= Verwerfungsbereich] gilt:

P(X [mm] \le [/mm] 31) [mm] \le [/mm] 0,05


Wie kann ich darum ein Konfidenzintervall bauen?

[ 32; 600]  Annahmebereich

[0; 31]  Verwerfungsbereich

richtig?

Wenn der Annahmebereich [mind.] 95% aller Werte enthalten soll, müsste der Ablehnungsbereich [höchstens] 5% aller Werte enthalten.

Das 95%-Konfidenzintervall von [mm] H_0 [/mm] lautet:

[mm] [\mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] ; n]

Inklusive Stetigkeitskorrektur muss also - für die obere Grenze des Verwerfungsbereichs - gelten:

[mm] \mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] -0,5 = 31

Da das Signifikanzniveau 5% betragen soll und es sich um einen einseitigen Test handelt, muss die [mm] \sigma-Umgebung [/mm] z= 1,64 sein.


n*p - [mm] 1,64*\wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] -0,5 = 31  

600p -31,5 = [mm] 1,64*\wurzel{600*p*(1-p)} [/mm]   | [mm] ()^2 [/mm]

(600p [mm] -31,5)^2 [/mm] = [mm] 1,64^2*600*p*(1-p) [/mm]    

[mm] 360.000p^2 [/mm] -37.800p  + 992,25 = [mm] 1,64^2*600*p*(1-p) [/mm]   | [mm] :(1,64^2*600) [/mm]

[mm] 223,08p^2 [/mm] -23,42p +0,61 = p [mm] -p^2 [/mm]  | -p [mm] +p^2 [/mm]

[mm] 224,08p^2 [/mm] -24,42p +0,61 = 0

[mm] p_1 \approx [/mm] 0,07    [bis 31 Treffer beträgt die W. 4,2 %, bei bis zu 32 Treffern 6%]  

[mm] p_2 \approx [/mm] 0,039   [bis 31 Treffer  beträgt die W. 95,11%, bei bis zu 32 Treffern 96,76%]   Warum ist das so??

Daher scheidet [mm] p_2 [/mm] aus.    

Die kleinste Wahrscheinlichkeit p, die zur Verwerfung von [mm] H_0 [/mm] führt [bei 31 Treffern] beträgt daher 7%  [grob gerundet].


richtig?


Gibt es möglicherweise noch einen einfacheren Weg?  


Danke & Gruß!


        
Bezug
Schätzen von p: Zu Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Di 12.10.2021
Autor: Infinit

Hallo hase-hh,
Deine Beschreibungen zur Aufgabe 1) kann ich nachvollziehen und sie sind von der Logik her sicher richtig. Da ich derzeit aber keinen Rechner für Binomialverteilungen zur Verfügung habe, kann ich den von Dir ausgerechneten k-Wert nicht überprüfen. Vielleicht gibt es ja noch jemanden hier im Forum, der dies schneller kann.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
        
Bezug
Schätzen von p: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Di 12.10.2021
Autor: statler


> 1. Die Polizisten einer Dienststelle behaupten, dass der
> Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer unter 7,3% gesunken
> ist. Sie planen ihre Hypothese durch eine Stichprobe von
> 600 Fahrern zu überprüfen. Entwickeln Sie einen
> Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5%, um die
> Hypothese der Polizisten zu stützen und formulieren Sie
> eine geeignete Entscheidungsregel.
>
> 2. Bei der Kontrolle der 600 Fahrer zeigte sich, dass 31
> nicht fahrtüchtig waren. Auf der Basis dieses Eregbnisses
> soll der Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer neu
> geschätzt werden. Ermittlen Sie die kleinste
> Wahrscheinlichkeit p, mit der die Hypothese, dass der
> Anteil nicht fahrtüchtiger Fahrer größer oder gleich p
> ist, bei diesem Testergebnis auf einem Signifikanzniveau
> von 5% verworfen werden kann.
>  
> Moin Moin, mir geht es mehr um Aufgabe 2...
>
> aber zunächst zu Aufgabe 1:
>  
> Die Polizei ist der Meinung, dass der Anteil der nicht
> fahrtüchtigen Fahrer unter 7,3% gesunken ist. Um zu
> zeigen, dass diese Hypothese [mm][H_1][/mm] gilt, formuliert man die
> gegenteilige Hypothese [mm][H_0],[/mm] mit dem Ziel diese
> abzulehnen. Wenn dies gelingt, gilt (weiterhin) die
> Alternativ-Hypothese.
>
> [mm]H_1[/mm] : p < 7,3%                [mm]H_0[/mm] : p [mm]\ge[/mm]  7,3%      
>
> Getestet wird [mm]H_0[/mm] !!    --- Es handelt sich um einen
> einseitigen [hier: einen linksseitigen] Hypothesentest.
>
> X: Anzahl nicht fahrtüchtiger Fahrer ist binomialverteilt
> mit n = 600 und p = 7,3%  
>
> Entscheidungsregel
>  
> [ 0 … k  k+1 … n ]
>  
> Verwerfungsbereich  Annahmebereich
>  
> Um sicherzustellen, dass das Signifikanzniveau [Fehler 1.
> Art = eine Hypothese wird irrtümlich abgelehnt] [mm]\alpha[/mm]
> höchstens 5% beträgt, muss zunächst das k [= kritische
> Grenze] gefunden werden, das zu einer Wahrscheinlichkeit
> von höchstens 5% führt.
>  
> P(X [mm]\le[/mm] k) [mm]\le[/mm] 0,05
>
> TR liefert:              32  3,87%

mein TR liefert:               3,37% (wohl Flüchtigkeitsfehler)

>                           33  4,87%  
> 34  6,83%    =>   k = 33.

>  
> Entscheidungsregel
>  [ 0 … 33 ; 34 … 600]
>
>
>
> zu Aufgabe 2
>  
> Hier lautet die Nullhypothese
>
> [mm]H_0:[/mm]  p [mm]\ge p_0[/mm]
>
>
> Es handelt sich wiederum um einen linksseitigen Test.
>
> X: Anzahl nicht fahrtüchtiger Fahrer ist binomialverteilt
> mit n = 600 und p = ?
>
>
> Für den Fehler 1. Art [= Verwerfungsbereich] gilt:
>  
> P(X [mm]\le[/mm] 31) [mm]\le[/mm] 0,05
>
>
> Wie kann ich darum ein Konfidenzintervall bauen?
>
> [ 32; 600]  Annahmebereich
>  
> [0; 31]  Verwerfungsbereich
>  
> richtig?
>  
> Wenn der Annahmebereich [mind.] 95% aller Werte enthalten
> soll, müsste der Ablehnungsbereich [höchstens] 5% aller
> Werte enthalten.
>
> Das 95%-Konfidenzintervall von [mm]H_0[/mm] lautet:
>
> [mm][\mu[/mm] - [mm]z*\sigma[/mm] ; n]
>
> Inklusive Stetigkeitskorrektur muss also - für die obere
> Grenze des Verwerfungsbereichs - gelten:
>
> [mm]\mu[/mm] - [mm]z*\sigma[/mm] -0,5 = 31
>  
> Da das Signifikanzniveau 5% betragen soll und es sich um
> einen einseitigen Test handelt, muss die [mm]\sigma-Umgebung[/mm] z=
> 1,64 sein.
>
>
> n*p - [mm]1,64*\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] -0,5 = 31  
>
> 600p -31,5 = [mm]1,64*\wurzel{600*p*(1-p)}[/mm]   | [mm]()^2[/mm]
>
> (600p [mm]-31,5)^2[/mm] = [mm]1,64^2*600*p*(1-p)[/mm]    
>
> [mm]360.000p^2[/mm] -37.800p  + 992,25 = [mm]1,64^2*600*p*(1-p)[/mm]   |
> [mm]:(1,64^2*600)[/mm]
>  
> [mm]223,08p^2[/mm] -23,42p +0,61 = p [mm]-p^2[/mm]  | -p [mm]+p^2[/mm]
>  
> [mm]224,08p^2[/mm] -24,42p +0,61 = 0
>
> [mm]p_1 \approx[/mm] 0,07    [bis 31 Treffer beträgt die W. 4,2 %,
> bei bis zu 32 Treffern 6%]  
>
> [mm]p_2 \approx[/mm] 0,039   [bis 31 Treffer  beträgt die W.
> 95,11%, bei bis zu 32 Treffern 96,76%]   Warum ist das
> so??

Weil man bei Wurzelgleichungen immer die Probe (mit der Ursprungsgl.) machen muß, ein negatives Vorzeichen vor der Wurzel geht beim Quadrieren verloren.

> Daher scheidet [mm]p_2[/mm] aus.    
>
> Die kleinste Wahrscheinlichkeit p, die zur Verwerfung von
> [mm]H_0[/mm] führt [bei 31 Treffern] beträgt daher 7%  [grob
> gerundet].
>
>
> richtig?

Du hast ja sozusagen die Probe mit dem TR gemacht!

>  
>
> Gibt es möglicherweise noch einen einfacheren Weg?  

Nicht wirklich, es sei denn, man verzichtet auf die Begründung und nimmt gleich die Formel für den Konfidenzbereich einer relativen Häufigkeit (aus einem geeigneten Rezeptbuch).

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Schätzen von p: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Di 12.10.2021
Autor: hase-hh

Moin Moin,

> 2. Bei der Kontrolle der 600 Fahrer zeigte sich, dass 31
> nicht fahrtüchtig waren. Auf der Basis dieses Eregbnisses
> soll der Anteil der nicht fahrtüchtigen Fahrer neu
> geschätzt werden. Ermittlen Sie die kleinste
> Wahrscheinlichkeit p, mit der die Hypothese, dass der
> Anteil nicht fahrtüchtiger Fahrer größer oder gleich p
> ist, bei diesem Testergebnis auf einem Signifikanzniveau
> von 5% verworfen werden kann.

> zu Aufgabe 2
>  
> Hier lautet die Nullhypothese
>
> [mm]H_0:[/mm]  p [mm]\ge p_0[/mm]
>
>
> Es handelt sich wiederum um einen linksseitigen Test.
>
> X: Anzahl nicht fahrtüchtiger Fahrer ist binomialverteilt
> mit n = 600 und p = ?
>
>
> Für den Fehler 1. Art [= Verwerfungsbereich] gilt:
>  
> P(X [mm]\le[/mm] 31) [mm]\le[/mm] 0,05
>

Daraus folgt, dass

[0 ; 31] [32 ; 600]  

Verwerfungsbereich   Annahmebereich

> Wenn der Annahmebereich [mind.] 95% aller Werte enthalten
> soll, müsste der Ablehnungsbereich [höchstens] 5% aller
> Werte enthalten.
>
> Das 95%-Konfidenzintervall von [mm]H_0[/mm] lautet:
>
> [mm][\mu[/mm] - [mm]z*\sigma[/mm] ; n]

Das bedeutet aber, dass [mm] \mu -z*\sigma [/mm] -1 die Obergrenze des Verwerfungsbereichs ist?!

[ 0 ; [mm] \mu -z*\sigma [/mm] -1] [mm] [\mu -z*\sigma [/mm] ; 600]  

Verwerfungsbereich   Annahmebereich


Inklusive Stetigkeitskorrektur muss also - für die obere Grenze des Verwerfungsbereichs - gelten:

[mm] \mu -z*\sigma [/mm] -1 +0,5 = 31

> Da das Signifikanzniveau 5% betragen soll und es sich um
> einen einseitigen Test handelt, muss die [mm]\sigma-Umgebung[/mm] z= 1,64 sein.


> n*p - [mm]1,64*\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] -0,5 = 31  
>
> 600p -31,5 = [mm]1,64*\wurzel{600*p*(1-p)}[/mm]   | [mm]()^2[/mm]
>
> (600p [mm]-31,5)^2[/mm] = [mm]1,64^2*600*p*(1-p)[/mm]    
>
> [mm]360.000p^2[/mm] -37.800p  + 992,25 = [mm]1,64^2*600*p*(1-p)[/mm]   | [mm]:(1,64^2*600)[/mm]
>  
> [mm]223,08p^2[/mm] -23,42p +0,61 = p [mm]-p^2[/mm]  | -p [mm]+p^2[/mm]
>  
> [mm]224,08p^2[/mm] -24,42p +0,61 = 0
>
> [mm]p_1 \approx[/mm] 0,07 [bis 31 Treffer beträgt die W. 4,2 %, bis 32 Treffer 6%]  
>
> [mm]p_2 \approx[/mm] 0,039 [bis 31 Treffer beträgt die W. 95,11%, bis 32 Treffer 96,76%]  
>  
> Daher scheidet [mm]p_2[/mm] aus.    
>
> Die kleinste Wahrscheinlichkeit p, die zur Verwerfung von
> [mm]H_0[/mm] führt [bei 31 Treffern] beträgt daher 7%  [grob gerundet].
>



Bezug
                
Bezug
Schätzen von p: Sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mi 13.10.2021
Autor: Infinit

Hallo hase-hh,
mit dieser kleinen Korrektur wurde nichts prinzipiell falsches korrigiert, das Ganz sieht gut aus.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
Schätzen von p: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Do 14.10.2021
Autor: statler

Hallo,

man sollte vielleicht noch bemerken, daß du zunächst nur Näherungswerte für das gesuchte p finden kannst, wenn du mit [mm] $\sigma$-Umgebungen [/mm] rechnest, weil du dann ja die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximierst.
Wenn du exakt vorgehen willst, müßtest du
[mm] $\Hat{p} [/mm] = inf [mm] \{ p \in \mathbb{R}_{+} | \summe_{k=0}^{31} \vektor{600 \\ k} p^{k} (1-p)^{600-k} < 0,05 \}$ [/mm]
bestimmen.
Die Gleichung
[mm] $\summe_{k=1}^{31} \vektor{600 \\ k} p^{k} (1-p)^{600-k} [/mm] = 0,05
ist eine algebraische Gleichung vom Grad 600.
Da kämst du wieder nur mit Iterationsverfahren weiter, z. B. Newton oder regula falsi. Immerhin hättest du schon mal einen Startwert: p = 0,07.
Mit den heutigen Werkzeugen ist es wohl sinnvoller, sich an die Lösung heranzuprobieren; man findet dann, daß p zwischen 0,6909 und 0,691 liegt.

Gruß Dieter


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