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Hallo,
ich habe ein Verständnisproblem mit dem Satz von Taylor. Hier mal wie wir ihn in der Vorlesung formuliert bekommen haben:
Falls I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall ist, f [mm] \in C^{n+1}, [/mm] x, [mm] x_0 \in [/mm] I, dann gilt:
f(x) = [mm] T_{n, x_0} [/mm] f(x) + [mm] R_{n, x_0} [/mm] f(x) mit [mm] T_{n, x_0} [/mm] f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k [/mm] mit
[mm] R_{n,x_0} [/mm] f(x) = [mm] \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi)
[/mm]
Hier meine Fragen dazu:
(1) Stimmt es, dass f [mm] \in C^{n+1} [/mm] bedeutet, dass f n+1 mal differenzierbar sein muss sowie, dass jede Ableitung [mm] f^{(0)}, f^{(1)}, [/mm] ... , [mm] f^{(n+1)} [/mm] stetig sein muss?
(2) Der Satz von Taylor sagt eigentlich "nur" aus, dass sich jede Funktion, die den Voraussetzungen genügt durch ein Taylorpolynom [mm] (T_{n, x_0} [/mm] f(x)) + einem Rest [mm] (R_{n, x_0} [/mm] f(x)) darstellbar ist - richtig?
(3) [mm] T_{n, x_0} [/mm] f(x) bedeutet nicht: Taylorpolynom * f(x) sondern eigentlich [mm] T_{n, x_0}(f(x)) [/mm] - also Taylorpolynom von f(x) - richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zorba |
2) und 3) hast du meiner Meinung nach richtig interpretiert. Aber zu 1) würde ich sagen, dass die Stetigkeit nur für die n+1.Ableitung gelten muss. Für die anderen Ableitung ist sie klar, da aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt.
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