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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz von Stokes
Satz von Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz von Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Mo 30.11.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Verifizieren Sie den Satz von Stokes für die Dreiecksfläche [mm] S\subset\IR^3 [/mm] mit den
Eckpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) zum Vektorfeld

[mm] w(x,y,z)=\vektor{z^2 \\ x^2\\ y^2} [/mm]

Ich möchste erst das Oberflächenintegral lösen:

[mm] \integral\integral_{S}{rotw*n*dO} [/mm]

Dabei ist n der Normaleneinheitsvektor

[mm] n=\bruch{\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)}{|\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)|} [/mm]

Wie bestimme ich jetzt aber die Parametrisierung [mm] \phi(u,v) [/mm] für die Oberfläche?

        
Bezug
Satz von Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mo 30.11.2015
Autor: fred97


> Verifizieren Sie den Satz von Stokes für die
> Dreiecksfläche [mm]S\subset\IR^3[/mm] mit den
>  Eckpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) zum
> Vektorfeld
>  
> [mm]w(x,y,z)=\vektor{z^2 \\ x^2\\ y^2}[/mm]
>  Ich möchste erst das
> Oberflächenintegral lösen:
>  
> [mm]\integral\integral_{S}{rotw*n*dO}[/mm]
>  
> Dabei ist n der Normaleneinheitsvektor
>  
> [mm]n=\bruch{\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)}{|\phi_u(u,v)\times\phi_v(u,v)|}[/mm]
>  
> Wie bestimme ich jetzt aber die Parametrisierung [mm]\phi(u,v)[/mm]
> für die Oberfläche?


Die Ebene durch  (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1)  hat die Gleichung

   x+y+z=1.

Hilft das weiter ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Satz von Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Mo 30.11.2015
Autor: Rebellismus


> Die Ebene durch  (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1)  hat die Gleichung
>  
> x+y+z=1.

Wie kommst du auf die Gleichung?

Die Gleichung hätte ich so parametrisiert: x=u und y=v

[mm] \phi(u,v)=\vektor{u \\ v\\ 1-(u+v)} [/mm]

Stimmt die Parametrisierung?

Bezug
                        
Bezug
Satz von Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mo 30.11.2015
Autor: fred97


> > Die Ebene durch  (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1)  hat
> die Gleichung
>  >  
> > x+y+z=1.
>  
> Wie kommst du auf die Gleichung?

Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?


>  
> Die Gleichung hätte ich so parametrisiert: x=u und y=v
>  
> [mm]\phi(u,v)=\vektor{u \\ v\\ 1-(u+v)}[/mm]
>  
> Stimmt die Parametrisierung?

Na ja, es fehlt noch der Definitionsbereich von [mm] \phi. [/mm]

FRED


Bezug
                                
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Satz von Stokes: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mo 30.11.2015
Autor: Rebellismus


> > > Die Ebene durch  (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1)  hat
> > die Gleichung
>  >  >  
> > > x+y+z=1.
>  >  
> > Wie kommst du auf die Gleichung?
>  
> Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?

Das ist doch Vektorrechnung oder? (mag ich nicht)

Ich habe folgende Ebene in Parametardarstellung:

E: [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Um auf deine Gleichung zu kommen, muss ich die Parametardarstellung in Koordinatendarstellung bringen, richtig? Dazu kenne ich folgende Formel:

[mm] 0=(\vektor{x \\ y \\ z}-P)*n [/mm]

Dabei ist P der Stützvektor und n der Normalvektor:

[mm] n=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\times\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Daraus folgt:

[mm] 0=(\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

0=x-1

x=1

Ich komme nicht auf deine gleichung. wo ist der fehler?


Bezug
                                        
Bezug
Satz von Stokes: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Mo 30.11.2015
Autor: fred97


> > > > Die Ebene durch  (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1)  hat
> > > die Gleichung
>  >  >  >  
> > > > x+y+z=1.
>  >  >  
> > > Wie kommst du auf die Gleichung?
>  >  
> > Hast Du sowas nie in der Schule gemacht ?
>  
> Das ist doch Vektorrechnung oder?

Ja


>  (mag ich nicht)

Pech für die junge sympathische Mannschaft.


>  
> Ich habe folgende Ebene in Parametardarstellung:
>  
> E: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

Die beiden Richtungsvektoren sind falsch !!!

FRED

>  
> Um auf deine Gleichung zu kommen, muss ich die
> Parametardarstellung in Koordinatendarstellung bringen,
> richtig? Dazu kenne ich folgende Formel:
>  
> [mm]0=(\vektor{x \\ y \\ z}-P)*n[/mm]
>  
> Dabei ist P der Stützvektor und n der Normalvektor:
>  
> [mm]n=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\times\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Daraus folgt:
>  
> [mm]0=(\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{1 \\ 0 \\ 0})*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> 0=x-1
>  
> x=1
>  
> Ich komme nicht auf deine gleichung. wo ist der fehler?
>  


Bezug
                                                
Bezug
Satz von Stokes: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Mo 30.11.2015
Autor: Rebellismus

ah stimmt. Die richtigen Richtungsvektoren sind:

[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Damt haben sich meine fragen erstma erledigt, danke

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