Satz von Rolle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 02.02.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch Anwendung des Satzes von Rolle, dass die Funktion [mm] f(x)=3*x^{3}+15*x-20 [/mm] genau eine Nullstelle hat! |
Hallo,
eigentlich ist die Aufgabe ganz einfach. Ich bin mir mit dem "genau" nicht ganz sicher und wollte einfach nochmal nachfragen. Also hier erstmal der Satz von Rolle laut unserem Skript:
Sei die Funktion f: [mm] [a,b]\to|R [/mm] aus dem abgeschlossenen Intervall [a,b] mit den Grenzen [mm] -\infty
Dann gibt es eine Stelle [mm] \varepsilon\in(a,b) [/mm] mit [mm] f'(\varepsilon)=0
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] f'(x)=15*x^{4}+15
[/mm]
[mm] 0=15*x^{4}+15 \gdw -1=x^{4} [/mm] f.A. [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) hat keine Nullstellen
Daraus kann ich jetzt nach dem Satz schlussfolgern, dass f(x) nicht mehr als eine Nullstelle haben kann, denn wenn f'(x) keine Nullstellen hat, dann existiert das Intervall [a,b] mit f(a)=f(b)=0 in dem ein f'(x)=0 ist nicht. Diese Argumentation schließt leider den Fall, dass f(x) gar keine Nullstellen hat nicht aus und ich soll ja zeigen, dass f(x) genau eine Nullstelle hat.
Meine Idee für dieses Problem:
Ich bilde die Stammfunktion von f(x) und zeige, dass F(x) genau zwei Nullstellen hat. Dann wende ich auf F(x) nochmal den Satz an und kann schlussfolgern, dass zwischen den beiden Nullstellen von F(x) min. eine Nullstelle von f(x) liegte, dass es nicht mehr als eine sein kann habe ich ja schon und daraus folgt, dass es genau eine ist.
Kann man das so machen? Geht es auch noch einfacher?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Sa 02.02.2008 | | Autor: | die_conny |
Hey Anne!
Also ich hab das auch so argumetiert mit rolle ;)
und wegen der nullstelle, also dass es eine haben muss, kannst du mit dem zwischenwertsatz von bolzano und weierstraß schlussfolgern. weil die funktion ist ja ganzrational und damit stetig. da nun für z.b. x=1 der funktionswert negativ, aber für x=2 positiv ist, muss laut diesem zwischnwertsatz in diesem intervall eine nullstelle sein.
und wegen dem satz von rolle können es aber nicht mehr sein.
schönes wochenende und bis montag, lg, conny ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich würde das ganze ähnlich aufziehen wie du:
Widerspruchsbeweis: Angenommen, f(a)=0=f(b), [mm] a\not= [/mm] b.
=> Satz von Rolle: [mm] \exists \zeta \in [/mm] ]a;b[ : [mm] f'(\zeta)=0
[/mm]
Da f'(x)=0 aber keine Nullstelle hat steht das im Widerspruch zur Annahme.
D.h. f(a)=0=f(b) mit [mm] a\not= [/mm] b ex. nicht.
D.h. es gibt maximal eine NS.
Nun. Du kannst zeigen, dass f(0)=-20, aber f(2)=3*8+15*2-20>0, d.h. es gibt eine Nullstelle, die nach dem obigen Ergebnis die einzige ist.
LG
Kroni
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