Satz von Rolle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Prog |
| Aufgabe | Satz von Rolle:
Vor.: Sei a < b [mm] \in \IR. [/mm] f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig, f [mm] |_{a,b} [/mm] differenzierbar und f(a) = f(b).
Beh.: Dann gilt: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b) : f'(x) = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo...jetzt ist meine Frage: Sind die Vorraussetzungen dieses Satzes scharf? bzw. was heißt überhaupt scharf?
mfg,
Alexander
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Hallo Alexander,
> Satz von Rolle:
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> Vor.: Sei a < b [mm]\in \IR.[/mm] f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig, f
> [mm]|_{a,b}[/mm] differenzierbar und f(a) = f(b).
> Beh.: Dann gilt: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] (a,b) : f'(x) = 0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo...jetzt ist meine Frage: Sind die Vorraussetzungen
> dieses Satzes scharf? bzw. was heißt überhaupt scharf?
Scharf heißt man kann keine der Voraussetzungen weglassen so daß die Behauptung immer noch gilt.
Wäre z.B. [mm]f(a)\not= f(b)[/mm] dann erfüllt die Funktion:
[mm] f(x)=f(a)+\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
[/mm]
alle übrigen Voraussetzungen.
Gilt die Behauptung immer noch?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Prog |
Hallo....ich täte ja sagen denn ich nehme dann in (a,b) ein lokales Extremum x an. Für ein lokales Extremum brauche ich die Stetigkeit und Differenzierarkeit aber nicht f(a) = f(b).
Und wenn ich ein lokales Extremum habe dann gilt ja grad f (x) = 0
mfg,
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 07.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Alexander
Eine stet. Fkt. nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall ihr max. an. Das kann auch am Rand sein. z.Bsp. für ne Gerade durch a und b. oder [mm] f(x)=x^{2} [/mm] im Intervall [1,7] usw. alle haben kein lokales max in (a,b) also auch nicht f'=0! Sicher ein lokales max oder Min zu finden, kannst du nur sein wenn f(a)=f(b). Der Satz schliesst ja nicht aus, dass es auch Fkt, gibt mit [mm] f(a)\ne [/mm] f(b) wo in (a,b) f'=0 existiert. D. h. nur die Umkehrung des Satzes gilt nicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Di 08.08.2006 | | Autor: | Prog |
OK....also sind die Voraussetzungen des Satzes scharf. Aber warum eigentlich wenn es dann doch nicht für alle Funktionen gilt, sondern nur für bestimmte. Also gilt der Satz nicht für alle Funktionen weil ich mir ja nicht sicher sein kann immer ein lokales Extremum zu finden wie du ja geschrieben hast.....demnach wären die Voraussetzungen nicht scharf. Was ist jetzt richtig?
mfg,
Alexander
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Hallo Alexander,
> OK....also sind die Voraussetzungen des Satzes scharf.
Nochmal scharf heißt man kann keine der Voraussetzungen weglassen ohne die Gültigkeit des Satzes zu verlieren.
Also nimmt man sich eine Voraussetzung nach der anderen her - nimmt das Gegenteil an, lässt die anderen Voraussetzungen gleich und zeigt das der Satz dann nicht mehr unbedingt gilt. Am einfachsten konstruiert man ein Gegenbeispiel.
Jetzt wurde die Voraussetzung f(a)=f(b) hergenommen.
Gegenbeispiel war eine Gerade durch die Punkte (a,f(a)),(b,f(b))
-> Diese Voraussetzung kann man also nicht weglassen.
Was ist mit der Differenzierbarkeit?
Also finde eine Funktion die stetig und nicht überall differenzierbar ist bei der f(a)=f(b) gilt. aber niemals f'(x)=0.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Fr 11.08.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....vielleicht die Betragsfunktion. Die ist stetig und überall diffbar außer im Nullpunkt. Und beim Intervall [-1,1] gilt auch f(-1) = f(1) bei der Betragsfkt.
mfg,
Luchsi10
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Hallo Luchsi10,Reaper,Hannes(Such Dir was raus  ),
Die Betragsfunktion tut es!
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Sa 12.08.2006 | | Autor: | Prog |
OK...aber bei der Betragsfkt. gilt dann ja: f'(x) = 0 oder warum nicht? Die Betragsfkt. ist ja immer eine Konstante und die wird ja bei der ersten Ableitung immer 0 oder?
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Hallo
Für alle x [mm] \not= [/mm] 0 schon ja. Aber f'(0) existiert nicht, da der Limes des Differenzquotienten von links und rechts nicht gleich ist.
Gruss
EvenSteven
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Hallo EvenSteven
> Für alle x [mm]\not=[/mm] 0 schon ja.
Die Ableitung der Betragsfunktion wird nie Null.
viele Grüße
mathemaduenn
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