Satz von Lebesgue < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 20.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Hallo zusammen :),
ich versuche gerade einmal den Satz von Lebesgue anzuwenden. Eingebettet ist diese Fragestellung in den folgenden Satz:
"Satz: Gegeben eine Folge von harmonischen Funktionen [mm] \{u_k\}_k [/mm] auf einem beschränkten Gebiet [mm] \Omega \subset \mathbb(R)^n, [/mm] die gegen eine Funktion u konvergiert. Dann ist u harmonisch."
Die Beweisidee (über die Mittelwerteigenschaft von harmonischen Fkt.) ist auch wirklich kein Problem, aber bei der Vertauschung von Integral und Limes hapert es an der Stelle:
[mm] u(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{B(x_0,r)} {u_k (x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{B(x_0,r)} {\limes_{k\rightarrow\infty} u_k (x) dx} [/mm] (, wobei [mm] B(x_0,r) [/mm] Kugel mit Radius r>0 und Mittelpunkt [mm] x_0). [/mm]
Die letzte Gleichheit muss man ja gut begründen. Um den Satz von Lebesgue dazu anzuwenden, müsste ich jetzt zeigen, dass jedes "Folgenmitglied" durch eine Majorante beschränkt wird, oder?
D.h. z.z. [mm] |u_k(x)| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Meine Überlegung war, dass für harmonische Funktionen ein starkes und schwaches Maximumsprinzip gilt, dass aussagt, dass die harm. Fkt. entweder Maximum und Minimum auf dem Rand annimmt oder die Fkt. konstant auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] ist. Insbesondere würde das doch heißen, dass automatisch jede harmon. Fkt. auf [mm] \Omega [/mm] (also der Menge, auf der sie harmonisch sind) beschränkt ist. Wenn sie auf den Rand stetig fortsetzbar ist auch auf [mm] \overline{\Omega}. [/mm] Insbesondere auch auf [mm] B(x_0,r) \subset \Omega. [/mm] Geht diese Begründung, oder hab ich was übersehen.
Ich bedanke mich schon mal sehr im Voraus!!! :)
Viele Grüße,
Laura
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
alles steht und fällt mit folgendem "lapidarem" Satz:
> Gegeben eine Folge von harmonischen Funktionen [mm]\{u_k\}_k[/mm] auf einem beschränkten Gebiet [mm]\Omega \subset \mathbb(R)^n,[/mm] die gegen eine Funktion u konvergiert.
Von welcher Art Konvergenz wird hier gesprochen?
Generell kann man sicherlich sagen: Jedes [mm] u_k [/mm] ist auf jedem [mm] $B_r \subset \Omega$ [/mm] beschränkt, aber sie müssen ja nicht gleichmäßig beschränkt sein.
Das hängt eben von der Konvergenzart ab.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Hi, danke für deine Antwort!
Ich habe nochmal nachgeschaut und die Folge konvergiert "lokal gleichmäßig gegen eine Funktion u". Verzeihung, das ist mir irgendwie durchgegangen. Was ich allerdings noch nicht verstehe ist, warum die Art der Konvergenz hier eine Rolle spielt. Magst du das vllt. noch mal erklären? Ist die gleichmäßige Beschränktheit eine Voraussetzung der Folge beim Satz von Lebesgue? Ich habe den Satz auch mal nachgeguckt und das dort nicht gefunden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Hallo nochmals,
jetzt hab ich es mit der gleichmäßigen Beschränktheit verstanden. Das ist sehr wohl eine Voraussetzung für den Satz von Lebesgue. Nun ist die Frage, ob aus lokal gleichmäßiger Konvergenz immer gleichmäßige Beschränktheit folgt.
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Hiho,
> Ich habe nochmal nachgeschaut und die Folge konvergiert "lokal gleichmäßig gegen eine Funktion u".
Dann solltest du mal nachschlagen, was damit gemeint ist!
> Was ich allerdings noch nicht verstehe ist, warum die Art der Konvergenz hier eine Rolle spielt.
Dann solltest du auch den Konvergenzbegriff von Funktionen dringend nacharbeiten!
Ich hoffe dir sind Begriffe wie "punktweise Konvergenz" und "gleichmäßige Konvergenz" klar, vorallem die Unterschiede. Denn wenn nicht, wird es schwierig den Rest zu verstehen.
> Ist die gleichmäßige Beschränktheit eine Voraussetzung der Folge beim Satz von Lebesgue?
Ja, aber nicht in dem Sinne, den du gerade meinst. Deine Funktionen müssen doch alle gleichmäßig durch eine integrierbare Majorante beschränkt sein!
Und eine solche könntest du eben sofort angeben, wenn deine Funktionen gleichmäßig konvergieren würden.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Dann werde ich jetzt noch mal die Begriffe nacharbeiten und falls ich diese dann besser verstanden habe, mich nochmals melden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Ok, einige Definitionen und Sätze später: Wenn ich eine Folge von stetigen Funktionen [mm] u_k [/mm] (x) habe, die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion u(x) auf [mm] B(x_0,r) [/mm] konvergiert, dann gibt mir doch für beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] g(x) := u(x) + [mm] \varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in B(x_0,r) [/mm] eine obere Schranke für jedes beliebige [mm] u_k(x), [/mm] d.h. so wäre die Folge gleichmäßig durch g beschränkt ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B(x_0,r) \forall [/mm] k [mm] \in \mathbb{N}: u_k [/mm] (x) [mm] \leq [/mm] |g(x)|) . Insbesondere ist u stetig und so wäre g auch integrierbar.
Lokal gleichmäßige Konvergenz ist nun eine schwächere Formulierung von gleichmäßiger Konvergenz (Gleichmäßige Konvergenz impliziert Lokal gleichmäßige Konvergenz). Hier finden wir für jeden beliebigen Punkt x [mm] \in \Omega [/mm] eine offene Umgebung [mm] U_x \subset \Omega, [/mm] so dass die [mm] u_k [/mm] eingeschränkt auf diese Umgebung gleichmäßig beschränkt sind.
Nun interessiert uns ja gerade das Verhalten der [mm] u_k [/mm] auf [mm] B(x_0,r). [/mm] Was jetzt im Idealfall gelten müsste, wäre, dass die Folge auf der offenen Kugel als Umgebung von [mm] x_0 [/mm] gleichmäßig konvergent ist. Kann man das denn so einfach sehen?
Geht das schon mal ungefähr in die richtige Richtung?
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Hiho,
> Wenn ich eine Folge von stetigen Funktionen [mm]u_k[/mm] (x) habe, die
> gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion u(x) auf [mm]B(x_0,r)[/mm]
> konvergiert, dann gibt mir doch für beliebiges [mm]\varepsilon[/mm]
> g(x) := u(x) + [mm]\varepsilon \forall[/mm] x [mm]\in B(x_0,r)[/mm] eine obere Schranke für jedes beliebige [mm]u_k(x),[/mm]
Aufpassen: Nicht für jedes [mm] $u_k$, [/mm] sondern nur ab einem bestimmten (endlichen) Laufindex [mm] $k_0$. [/mm] Das spielt aber für den Grenzwert keine Rolle, die lassen wir dann einfach weg, oder definieren eine neue Majorante [mm] $\overline{g} [/mm] = [mm] \max(u_1,\ldots,u_{k_0 - 1},g)$
[/mm]
> Lokal gleichmäßige Konvergenz ist nun eine schwächere
> Formulierung von gleichmäßiger Konvergenz (Gleichmäßige
> Konvergenz impliziert Lokal gleichmäßige Konvergenz).
> Hier finden wir für jeden beliebigen Punkt x [mm]\in \Omega[/mm]
> eine offene Umgebung [mm]U_x \subset \Omega,[/mm] so dass die [mm]u_k[/mm] eingeschränkt auf diese Umgebung gleichmäßig beschränkt sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun interessiert uns ja gerade das Verhalten der [mm]u_k[/mm] auf
> [mm]B(x_0,r).[/mm] Was jetzt im Idealfall gelten müsste, wäre,
> dass die Folge auf der offenen Kugel als Umgebung von [mm]x_0[/mm]
> gleichmäßig konvergent ist. Kann man das denn so einfach sehen?
Nein, du weißt ja nur, dass es eine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] gibt, wo die [mm] u_k [/mm] gleichmäßig konvergieren. Aber wer sagt, dass diese Umgebung nicht kleiner ist als dein [mm] $B(x_0,r)$?
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Super, danke! Stimmt, der Unterschied zwischen Grenzwert und jedem Folgenglied ist ja erst ab einem gewissen [mm] k_0 (\varepsilon) [/mm] kleiner als [mm] \varepsilon! [/mm]
Zur lokal glm. Konvergenz: Für eine uns nicht näher bekannte offene Umgebung [mm] U_{x_0} \subset \Omega [/mm] um [mm] x_0 [/mm] wissen wir also, dass die Folge dort glm konvergiert. D.h. dort können wir eine integrierbare Majorante für diese finden. Reicht LOKAL glm. Konvergenz dann überhaupt? Denn wir wollen ja eine Majorante für die gesamte Kugel finden und nicht nur für eine nicht näher definierte Umgebung in dieser.
Sorry fürs Wiederholen dessen, was du schon geschrieben hast, aber das eigene Formulieren hilft mir oft weiter. :)
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Hiho,
> Denn wir wollen ja eine Majorante für die gesamte Kugel finden und nicht nur für eine nicht näher definierte Umgebung in dieser.
genau. Problem gut erkannt.
> Sorry fürs Wiederholen dessen, was du schon geschrieben
> hast, aber das eigene Formulieren hilft mir oft weiter. :)
Das ist gut, da kann man feststellen, wo du was falsch verstanden hast.
Mach dir mal klar, dass es gar kein Problem wäre, wenn wir nur endlich viele Umgebungen hätten, für die wir lokal gleichmäßige Konvergenz hätten. Bei endliche vielen Umgebungen kann man aus lokal gleichmäßiger Konvergenz sofort gleichmäßige Konvergenz folgern.
Mach das mal!
Und dann begründe, warum endlich viele Umgebungen ausreichen, dein [mm] B(x_0,r) [/mm] zu überdecken.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Ok, das mach ich mal gleich. :) Die (abgeschlossene) Kugel ist kompakt und damit gibt es zu jeder offenen Überdeckung der Kugel eine endliche Teilüberdeckung [mm] \{U_1, ... U_n\}, [/mm] so dass die Kugel vollständig überdeckt werden kann.
Wir können also [mm] B(x_0, [/mm] r) durch Vereinigung endlich vieler offener Umgebungen beschreiben, in welcher unsere Folge lokal glm. konvergiert.
Dann gilt:
In [mm] \{U_i\}_{i=1,...,n} [/mm] ist die Folge jeweils glm. konvergent, d.h.
Damit gilt für ganz [mm] B(x_0,r):
[/mm]
Also ist [mm] \{u_k\} [/mm] auf [mm] B(x_0,r) [/mm] glm. konvergent.
Dadurch, dass wir den Laufindex so weit wie nötig nach hinten schieben ,garantieren wir das die Differenz zwischen Grenzwert und Folgenglied auch wirklich kleiner [mm] \varepsilon [/mm] ist und zwar unabhängig von der betrachteten Umgebung.
Hoffe, das passt in etwa. :)
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Hiho,
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 21.09.2014 | | Autor: | Laura22 |
Dann bedanke ich mich mal recht herzlich bei dir !!! :) War wirklich eine sehr tolle Hilfe!!!
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