Satz von Lagrange < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 09.11.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und sei [mm] $H\subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe. Wenn zwei der drei Mengen $G, H, G/H$ endlich sind, dann ist die dritte auch endlich und es gilt
[mm] $|G|=#|G/H|\cdot [/mm] #|H|$ |
Hi,
ich habe eine Frage zum Satz von Lagrange. Nämlich ob jemand von euch ein Beispiel für eine endliche Gruppe G hat wobei die Nebenklasse G/H nicht endlich ist?
Danke.
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Hallo, nein, natürlich nicht, da die Abbildung $ [mm] G\longrightarrow [/mm] G/H $ surjektiv ist. Wenn $ G $ endlich, ist, dann auch beide Faktoren rechts, und wenn beide Faktoren rechts endlich sind, dann auch $ G $, das ist gemeint. Wenn du dir den Beweis genauer ansiehst, wirst du merken, dass die Gleichung auch für unendliche Mengen richtig ist, wenn man deren Kardinalzahlen betrachtet.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 So 09.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann verstehe ich aber nicht so recht den Sinn des Satzes, denn wenn G dann endlich ist, dann ist ja automatisch schon der Rest endlich.
Nur wenn die beiden anderen endlich wären würde dann was spannendes passieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann verstehe ich aber nicht so recht den Sinn des Satzes,
> denn wenn G dann endlich ist, dann ist ja automatisch schon
> der Rest endlich.
>
> Nur wenn die beiden anderen endlich wären würde dann was
> spannendes passieren.
macht doch Sinn: Wenn [mm] $G\,$ [/mm] endlich ist, sind auch schon zwei der genannten
Gruppen endlich. Denn wegen $H [mm] \subseteq [/mm] G$ ist dann ja [mm] $H\,$ [/mm] auch schon endlich.
Unterscheide vielleicht: G endlich oder G unendlich...
P.S. Es kann auch sein, dass der Aufgabensteller genau so etwas hören
will, was UniOb hier angesprochen hat:
Wenn [mm] $G\,$ [/mm] endlich ist, dann kann $G / H$ NICHT unendlich sein, weil es dann
eine (die kann man konkreter angeben) Surjektion $G [mm] \to [/mm] G/H$ gibt...
(Damit weißt Du also: [mm] $G\,$ [/mm] endlich [mm] $\Rightarrow$ $H\,,$ $G/H\,$ [/mm] endlich, und dass,
ohne mit Lagrange zu argumentieren!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 09.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, das macht in der Tat Sinn...
Ich bin blöd.. Wenn G endlich ist dann sind Untergruppen natürlich auch schon endlich....
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Es ist vielleicht ein klitzekleines Bisschen kleinkariert, aber
> macht doch Sinn: Wenn [mm]G\,[/mm] endlich ist, sind auch schon zwei
> der genannten
> Gruppen endlich.
es wird nicht vorausgesetzt, dass $ H $ Normalteiler ist, und somit muss $ G/H $ keine Gruppe sein.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi UniOb,
> Es ist vielleicht ein klitzekleines Bisschen kleinkariert,
> aber
> > macht doch Sinn: Wenn [mm]G\,[/mm] endlich ist, sind auch schon
> zwei
> > der genannten
> > Gruppen endlich.
> es wird nicht vorausgesetzt, dass [mm]H[/mm] Normalteiler ist, und
> somit muss [mm]G/H[/mm] keine Gruppe sein.
ist nicht kleinkariert. Ich habe zwar auch tatsächlich gar nicht daran gedacht,
aber generell schreibe ich ja auch nicht, dass es mehr als zwei Gruppen
gibt. ("Zwei der genannten" kann also auch als "zwei der höchstens drei"
verstanden werden.)
Aber Du hast es schon richtig bemerkt, dass ich das gar nicht wirklich
bedacht habe...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 11.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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