Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Di 12.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Es seien [mm] \omega=-ydx+xdy [/mm] und [mm] A=\{p\in\IR^3 : 2\le\parallel p\parallel \le3\}
[/mm]
a) Berechnen Sie mit dem Satz von Green das Integral [mm] \integral_{\delta A}^{}{\omega} [/mm] |
Hallo Mathe-Forum,
Ich habe die oben genannte Aufgabe mit Hilfe meiner Aufzeichnungen aus der Vorlesung versucht zu lösen und wollte fragen ob der Ansatz und die Lösung richtig ist:
Satz von Green:
[mm] \integral_{\delta A}^{}{fdx1+gdx2}=\integral_{A}^{}{(\bruch{\delta g}{\delta x1} -\bruch{\delta f}{\delta x2})dx1 dx2}
[/mm]
Die Menge A wäre soweit ich weiß eine Art Kreis mit dem Radius 3 und ein weiterer Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung.
Polarkoordianten:
[mm] \vektor{r1*cos\alpha \\ r2*sin\alpha}
[/mm]
[mm] 2\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 3
[mm] 0\le \alpha \le 2\pi
[/mm]
[mm] \integral_{\delta A}^{}{-ydx + xdy}
[/mm]
mit [mm] dx=-r1*sin\alpha d\alpha [/mm] und [mm] dy=r2*cos\alpha d\alpha
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{-r2*sin\alpha*(-r1*sin\alpha) + r1*cos\alpha*(r2*cos\alpha) d\alpha} [/mm] = [mm] r1*r2*2\pi
[/mm]
Sagt mir das Ergebnis dann aus wie viel "Arbeit" man gegen das Vektorfeld [mm] \omega [/mm] leisten muss wenn man um A einmal herum geht?
Ich würde mich über eine Antwort freuen!
Mit freundlichen Grüßen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 12.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]\omega=-ydx+xdy[/mm] und [mm]A=\{p\in\IR^3 : 2\le\parallel p\parallel \le3\}[/mm]
Ist A nicht eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] ? Also [mm]A=\{p\in\IR^2 : 2\le\parallel p\parallel \le3\}[/mm] ?
>
> a) Berechnen Sie mit dem Satz von Green das Integral
> [mm]\integral_{\delta A}^{}{\omega}[/mm]
> Hallo Mathe-Forum,
> Ich habe die oben genannte Aufgabe mit Hilfe meiner
> Aufzeichnungen aus der Vorlesung versucht zu lösen und
> wollte fragen ob der Ansatz und die Lösung richtig ist:
>
> Satz von Green:
> [mm]\integral_{\delta A}^{}{fdx1+gdx2}=\integral_{A}^{}{(\bruch{\delta g}{\delta x1} -\bruch{\delta f}{\delta x2})dx1 dx2}[/mm]
>
> Die Menge A wäre soweit ich weiß eine Art Kreis mit dem
> Radius 3 und ein weiterer Kreis mit dem Radius 2 um den
> Ursprung.
??? A ist ein Kreisring, dh.: aus der abgeschlossenen Kreischeibe um (0,0) mit Radius 3 wurde die offene Kreisscheibe um (0,0) mit Radius 2 entfernt.
> Polarkoordianten:
> [mm]\vektor{r1*cos\alpha \\ r2*sin\alpha}[/mm]
> [mm]2\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 3
> [mm]0\le \alpha \le 2\pi[/mm]
>
> [mm]\integral_{\delta A}^{}{-ydx + xdy}[/mm]
> mit [mm]dx=-r1*sin\alpha d\alpha[/mm]
> und [mm]dy=r2*cos\alpha d\alpha[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{-r2*sin\alpha*(-r1*sin\alpha) + r1*cos\alpha*(r2*cos\alpha) d\alpha}[/mm]
> = [mm]r1*r2*2\pi[/mm]
Das ist alle Unfug. Nach dem satz von Green ist
$ [mm] \integral_{\partial A}^{}{(-ydx + xdy)} =\integral_{ A}^{}{2*d(x,y)}$= [/mm] 2* Flächeninhalt von A.
>
> Sagt mir das Ergebnis dann aus wie viel "Arbeit" man gegen
> das Vektorfeld [mm]\omega[/mm] leisten muss wenn man um A einmal
> herum geht?
Um A herumgehen ? Was soll das denn bedeuten ???
FRED
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> Ich würde mich über eine Antwort freuen!
> Mit freundlichen Grüßen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 12.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für die schnelle Antwort!
Leider habe ich dann kein Schimmer wie ich die Aufgabe angehen soll und wie ich mir das vorstellen soll, was Omega für eine Rolle bezüglich der Fläche A spielt.
Wie kommst du auf:
> [mm]\integral_{\partial A}^{}{(-ydx + xdy)} =\integral_{ A}^{}{2*d(x,y)}[/mm]=
> 2* Flächeninhalt von A.
Und gilt "2* Flächeninhalt von A" immer bei dem Satz von Green oder nur bei dieser Aufgabe?
Ich habe den Satz von Green schon gegoogelt komme aber dennoch nicht weiter in seiner Bedeutung.
Würde mich über eine Antwort freuen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Di 12.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort!
> Leider habe ich dann kein Schimmer wie ich die Aufgabe
> angehen soll und wie ich mir das vorstellen soll, was Omega
> für eine Rolle bezüglich der Fläche A spielt.
Hä ? Was ist denn Omega ???
>
> Wie kommst du auf:
> > [mm]\integral_{\partial A}^{}{(-ydx + xdy)} =\integral_{ A}^{}{2*d(x,y)}[/mm]=
> > 2* Flächeninhalt von A.
Na wie wohl ? Mit dem Satz von Green !!!!
Setze f(x,y)=-y und g(x,y)=x. Dann haben wir nach eben diesem Satz:
[mm]\integral_{\partial A}^{}{(-ydx + xdy)} =\integral_{\partial A}^{}{(f(x,y)dx + g(x,y)dy)}=\integral_{ A}^{}{(g_x(x,y)+f_y(x,y))d(x,y)}=\integral_{ A}^{}{(1+1)d(x,y)}=\integral_{ A}^{}{2*d(x,y)}=2*\integral_{ A}^{}{d(x,y)}[/mm]
und [mm] \integral_{ A}^{}{d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.
> Und gilt "2* Flächeninhalt von A" immer bei dem Satz von
> Green oder nur bei dieser Aufgabe?
Natürlich nur bei dieser Aufgabe !! Schau die die Wahl von f und g an.
FRED
> Ich habe den Satz von Green schon gegoogelt komme aber
> dennoch nicht weiter in seiner Bedeutung.
>
> Würde mich über eine Antwort freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
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