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| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Matrix A hat genau einen Eigenwert im Intervall [1;3]!
A= [mm] \pmat{ 0 & 0,3 & -0,7 & 0,6 \\ 0,3 & -2,5 & 1,2 & -0,5 \\ -0,7 & 1,2 & 4,5 & 0,5 \\ 0,6 & -0,5 & 0,5 & 2} [/mm] |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit der obigen Aufgabe. Ich habe zunächst einfach mal drauf losgerechnet, um die Eigenwerte zu bestimmen, aber das war mir dann irgendwann ein bisschen zu viel, da sich die Rechnung ewig zieht. Dann hab ich mich an Gerschgorin erinnert und es damit versucht.
Allerdings erhalte ich dann 4 Kreise, die jeweils KEINEN leeren Schnitt mit dem nächst anliegenden haben. Und jetzt hab ich keine Ahnung, ob das überhaupt mit Gerschgorin geht oder (falls nicht), wie ich es anders machen könnte. Denn stures Ausrechnen kann nicht gefragt sein.
Meine Gerschgorin-Kreise waren (wegen A symmetrisch):
[mm] K_1 [/mm] = {z [mm] \in \IR: [/mm] |z| [mm] \le [/mm] 1,6}
[mm] K_2 [/mm] = {z [mm] \in \IR: [/mm] |z+2,5| [mm] \le [/mm] 2}
[mm] K_3 [/mm] = {z [mm] \in \IR: [/mm] |z-4,5| [mm] \le [/mm] 2,4}
[mm] K_4 [/mm] = {z [mm] \in \IR: [/mm] |z-2| [mm] \le [/mm] 1,6}
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß
Jasmin
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Jasmin,
Du kannst ja versuchen die Aussagekraft des Gerschgorin-Kriteriums durch ein paar Schritte mit dem Jacobiverfahren zu verbessern.
Obwohl das irgendwie auch keine schöne Lsg. ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Haeslein |
Hmmm, also dazu fällt mir eigentlich nix ein. Außer Jacobimatrizen kenne ich nichts diesbezügliches.
Außerdem ist das letzte, das wir in der Vorlesung gemacht haben eben Gerschgorin und sonstige Abschätzung von Eigenwerten.
Sonst noch jemand Ideen?
Gruß und danke für eure Anregungen!
Jasmin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Fr 16.06.2006 | | Autor: | RAT |
Das geht auch mit dem Trägheitssatz von Sylvester.
Man kann einfach mit dem symmetrischen Gaußalgorithmus die Eigenwerte von (A-1I) berechnen, da kommt raus, dass es 2 negative und 2 positive Eigenwerte gibt. Und dann das gleiche bei (A-3I), dann bekommt man 3 negative und einen positiven.
Demnach kann's dann nur einen im Intervall [1,3] geben, aber ich weiss nicht, ob ihr das so weit schon hattet, mit Gerschgorin hat's ja weniger was zu tun...
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