Satz von Gauß < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 14.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Beweisen Sie den folgenden Satz von Gauß:
Es seien [mm] a_{0}, [/mm] ..., [mm] a_{n-1} [/mm] ganze Zahlen, und x [mm] \in [/mm] R erfülle
[mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] = 0
Dann ist x eine ganze Zahl oder irrational.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass x = [mm] \bruch{p}{q} \in [/mm] Q ein vollständig gekürzter Bruch ist mit p [mm] \in [/mm] Z; q [mm] \in [/mm] N und q > 1,
und nutzen Sie die Tatsache, dass die Primfaktoren von p und [mm] p^{n} [/mm] (n [mm] \in [/mm] N) übereinstimmen. |
Hallo.
Ich weiß nicht, wie ich da rangehen muss, um das zu beweisen. Bin über jegliche Denkanstöße dankbar.
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das geht sogar allgemeiner (gleich schwer):
Zeige wenn p/q eine solche Nullstelle vom Polynom [mm] $\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ [/mm] ist, so teilt p [mm] a_0 [/mm] und q teilt [mm] a_n.
[/mm]
Anleitung:
- p/q einsetzen
- mit [mm] q^n [/mm] durchmultiplizieren
- den richtigen Term isolieren
- daran denken, dass p und q coprim sind
edit: felixf hat, wie immer, Recht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Di 14.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> - daran denken, dass p und q prim sind
das sind sie i.A. nicht, aber koprim bzw. teilerfremd 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 14.05.2013 | | Autor: | wieschoo |
Da will und kann ich dir nicht widersprechen.
"Ich sage A, schreibe B, meine C und D war richtig"
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