Satz von Gauß < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Sa 31.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Berechne das Integral
[mm] \integral \integral_{B}{[ln(y-z)+x]dydz +(2xz-y^2)dzdx+(4-xy)dxdy}
[/mm]
B ist die Oberfläche des Teils der Einheitskugel im ersten Oktanten |
Kann mir hier jemand weiter helfen?
der Satz von Gauß ist bei uns nämlich glaube ich anders definiert, da nicht über B sondern über (rundes d)B inetrgiert wird. Außerdem habe ich keine Idee wie das in kartesischen Koordinaten geht, bei uns steht es sehr allgemein mit do ...
vielleicht kann mir jemand helfen, von dieser Sorte habe ich viele Bsp auf dem Zettel :)
lg
Chris
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> Berechne das Integral
>
> [mm]\integral \integral_{B}{[ln(y-z)+x]dydz +(2xz-y^2)dzdx+(4-xy)dxdy}[/mm]
Muß das nicht
[mm]\left(ln(y-z)+x\right) \left[dy \wedge dz\right] +(2xz-y^2)\left [dz \wedge dx\right]+(4-xy) \left[dx \wedge dy\right][/mm]
heißen?
>
> B ist die Oberfläche des Teils der Einheitskugel im ersten
> Oktanten
Die Parameterdarstellung der Einheitskugel im ersten Oktanten lautet:
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\varphi\right)*\cos\left(\theta\right)[/mm]
[mm]z=r*\sin\left(\theta\right)[/mm]
mit
[mm]0 < r, \ 0 \le \varphi \le \bruch{\pi}{2}, \ 0 \le \theta \le \bruch{\pi}{2}[/mm]
> Kann mir hier jemand weiter helfen?
>
> der Satz von Gauß ist bei uns nämlich glaube ich anders
> definiert, da nicht über B sondern über (rundes d)B
So kenn ich den Satz von Gauß auch.
Dann gilt nämlich:
[mm]\integral_{\partial G}^{}{P \left[dy \wedge dz \right] + Q \left[dz \wedge dx\right] + R \left[dx \wedge dz \right]}= \integral_{G}^{}{P_{x}+Q_{y}+R_{z} \left[dx \wedge dy \wedge dz \right]}[/mm]
Hier ist [mm]\partial G[/mm] die stückweise glatte Randfläche des beschränkten Gebietes G.
> inetrgiert wird. Außerdem habe ich keine Idee wie das in
> kartesischen Koordinaten geht, bei uns steht es sehr
> allgemein mit do ...
>
>
> vielleicht kann mir jemand helfen, von dieser Sorte habe
> ich viele Bsp auf dem Zettel :)
>
>
> lg
> Chris
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 31.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Berechne mit dem Gauß'schen Satz:
[mm] \integral\integral_{dB}{(x^2+\bruch{y}{1+z}dydz+(2-2xy)dzdx+x^2z^2dxdy}
[/mm]
wobei dB die Oberfläche des von den Flächen [mm] z=\wurzel{1-x^2} [/mm] z=0 y=0 y=1 eingeschlossenenen Volumensbereichs ist |
vielleicht könntest du mir hierbei helfen, das sieht mir schon eher nach Gauß aus, aber nur mit der Definition komme ich leider nicht weiter :(
lg
|
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> Berechne mit dem Gauß'schen Satz:
>
>
> [mm]\integral\integral_{dB}{(x^2+\bruch{y}{1+z}dydz+(2-2xy)dzdx+x^2z^2dxdy}[/mm]
Nach Satz von Gauß ist das
[mm]\integral_{dB}{\left(x^2+\bruch{y}{1+z}\right) \left[dy \wedge dz\right]+(2-2xy)\left[dz \wedge dx\right]+x^2z^2 \left[dx \wedge dy\right]}[/mm]
[mm]=\integral_{B}{\left( \bruch{\partial}{\partial x}\left(x^2+\bruch{y}{1+z}\right)+\bruch{\partial}{\partial y}(2-2xy)+\bruch{\partial}{\partial z}\left(x^2z^2\right)\right) \left[dx \wedge dy \wedge dz\right]}[/mm]
[mm]=\integral_{B}{\left( \bruch{\partial}{\partial x}\left(x^2+\bruch{y}{1+z}\right)+\bruch{\partial}{\partial y}(2-2xy)+\bruch{\partial}{\partial z}\left(x^2z^2\right)\right) \ dV_{3}\left(x,y,z\right)[/mm]
[mm]=\integral_{B}{\left( \bruch{\partial}{\partial x}\left(x^2+\bruch{y}{1+z}\right)+\bruch{\partial}{\partial y}(2-2xy)+\bruch{\partial}{\partial z}\left(x^2z^2\right)\right) \ dz \ dy \ dx[/mm]
>
> wobei dB die Oberfläche des von den Flächen
> [mm]z=\wurzel{1-x^2}[/mm] z=0 y=0 y=1 eingeschlossenenen
> Volumensbereichs ist
> vielleicht könntest du mir hierbei helfen, das sieht mir
> schon eher nach Gauß aus, aber nur mit der Definition komme
> ich leider nicht weiter :(
>
>
> lg
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 So 01.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine Hilfe! Hat mich schon weitergebracht!
warum notierst du die [mm] dx\wedge [/mm] dy immer so? So habe ich das noch nie gesehen!
bei uns steht im Weiteren immer ein Dreifachintegral, hast du das aus praktischen Gründen als eines notiert?
[mm] \integral_{B}\integral \integral {(2x-2y+2xz^2) dxdydz}
[/mm]
wie verwende ich den angegebenen Grenzbereich um das Integral aufzulösen?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> danke für deine Hilfe! Hat mich schon weitergebracht!
>
>
> warum notierst du die [mm]dx\wedge[/mm] dy immer so? So habe ich das
> noch nie gesehen!
Nun [mm]dx \wedge dy[/mm] ist ein Teil einer Differentialform. So wurde das zu meiner Zeit gemacht.
Wenn Du z.B. eine Transformation machst, dann müßtest Du ja normalerweise die Funktionaldeterminante dieser Transformation berechnen. Mit den Differentialformen ist das komfortabler zu berechnen.
>
> bei uns steht im Weiteren immer ein Dreifachintegral, hast
> du das aus praktischen Gründen als eines notiert?
Nein.
Auch das wurde zu meiner Zeit so gemacht.
>
> [mm]\integral_{B}\integral \integral {(2x-2y+2xz^2) dxdydz}[/mm]
>
> wie verwende ich den angegebenen Grenzbereich um das
> Integral aufzulösen?
>
Die Grenzen sind doch schon vorgegeben. Was Du hier noch tun mußt, sind die Grenzen von x zu bestimmen.
>
>
> lg
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 01.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
tut mir leid, ich sitze wieder mal auf der Leitung .. :(
bei uns steht beim Gauß:
[mm] \integral_{B}\integral\integral{div(K) dV}
[/mm]
die Divergenz von K haben wir ja bereits ermittelt. dV ist dxdydz (?)
jetzt muss ich über den ganzen Bereich B integrieren:
dabei geht
dB ist dabei die Oberfläche, die eingeschränkt wird durch folgende Grenzen:
y=0 bis y=1
z=0 bis [mm] z=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
forme ich letzes auf x um und setze z=0 erhalte ich x= +- 1 als Grenzen... bei z=1 ist x dann null (das ganze sieht dann so aus wie ein Torbogen).
stimmt das so weit?
wie kann ich das ganze jetzt integrieren? (Sieht nämlich wieder ganz anders aus als die Beispiele die ich letzte Woche gelöst habe und wo immer eine Integrationsvariable nicht vorkam in der Funktion ;)?
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> tut mir leid, ich sitze wieder mal auf der Leitung .. :(
>
>
> bei uns steht beim Gauß:
>
>
> [mm]\integral_{B}\integral\integral{div(K) dV}[/mm]
>
> die Divergenz von K haben wir ja bereits ermittelt. dV ist
> dxdydz (?)
Wenn x von y und z, sowie y von z abhängig ist, dann stimmt das.
> jetzt muss ich über den ganzen Bereich B integrieren:
>
> dabei geht
>
> dB ist dabei die Oberfläche, die eingeschränkt wird durch
> folgende Grenzen:
>
> y=0 bis y=1
> z=0 bis [mm]z=\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> forme ich letzes auf x um und setze z=0 erhalte ich x= +- 1
> als Grenzen... bei z=1 ist x dann null (das ganze sieht
> dann so aus wie ein Torbogen).
>
> stimmt das so weit?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie kann ich das ganze jetzt integrieren? (Sieht nämlich
> wieder ganz anders aus als die Beispiele die ich letzte
> Woche gelöst habe und wo immer eine Integrationsvariable
> nicht vorkam in der Funktion ;)?
Das integrierst Du jetzt so:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{div\left(K\right) \ dz} \ dy} \ dx}[/mm]
>
> Lg
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 01.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
puh, mache ich was falsch oder ist das gar nicht so einfach ;)
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{(2x-2y+2xz^2) dzdydx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{0}^{1}{(2x\wurzel{1-x^2}-2y\wurzel{1-x^2}+2/3x (\wurzel{1-x^2})^3) dydx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}{(2x\wurzel{1-x^2}-\wurzel{1-x^2}+\bruch{2}{3}* x (\wurzel{1-x^2})^3) dx}=...
[/mm]
wie kann ich denn den letzten Term integrieren? Partiell hat bei mir nicht funktioniert...
lg
|
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> puh, mache ich was falsch oder ist das gar nicht so einfach
Ich denke mal, so wie hier in kartesischen Koordinaten und dazu noch mit Wurzelausdrücken herumzurechnen ist schon etwas aufwendig.
> ;)
>
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{\wurzel{1-x^2}}{(2x-2y+2xz^2) dzdydx}=[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{0}^{1}{(2x\wurzel{1-x^2}-2y\wurzel{1-x^2}+2/3x (\wurzel{1-x^2})^3) dydx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(2x\wurzel{1-x^2}-\wurzel{1-x^2}+\bruch{2}{3}* x (\wurzel{1-x^2})^3) dx}=...[/mm]
Wähle hier [mm]u\left(x\right)=1-x^2[/mm], dann ist [mm]u'\left(x\right)=-2x[/mm]
Demnach steht dann da:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{3}* x (\wurzel{1-x^2})^3) \ dx}=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{3}* u'\left(x\right) \left(u\left(x\right)\right)^{\bruch{3}{2}} \ dx}[/mm]
Damit sollte es Dir möglich sein, die Stammfunktion hier zu ermitteln.
>
> wie kann ich denn den letzten Term integrieren? Partiell
> hat bei mir nicht funktioniert...
>
>
> lg
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 01.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ist es in dem Fall möglich auch andere als karthesische Koordinaten zu verwenden?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo chrisi99,
> ist es in dem Fall möglich auch andere als karthesische
> Koordinaten zu verwenden?
Sicher.
>
> lg
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 01.06.2008 | | Autor: | chrisi99 |
habe es jetzt in Kugelkoordinaten versucht, das wird aber nicht wirklich einfacher ;)
danke für deine Hilfe bisher!
lg
|
|
|
|
