Satz mit Identitätssatz zeigen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Behauptung: "Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] eine holomorphe Funktion mit $f(n) = n$ für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] dann gilt $f(z) = z$ für alle [mm] $z\in\IC$." [/mm] richtig? Vergleiche dazu den Identitätssatz. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe weiß ich gar nicht, wo ich anfangen soll. Hier eine meiner Ideen:
Ausgehend vom Identitätssatz habe ich zwei Funktionen $f(z)$ und $g(z) = z$ und einen Punkt [mm] z_{0}, [/mm] dessen Umgebung sei U. Nun weiß ich, dass die Koinzidenzmenge nach Aufgabenstellung dann [mm] \{z\in\U|f(z) = g(z)\} [/mm] = [mm] \IN [/mm] ist. Aber diese Menge hat doch überhaupt keine Häufungspunkte, egal wo [mm] z_{0} [/mm] liegt, oder? Damit hätte ich aber lediglich gezeigt, dass der Identitätssatz nicht anwendbar ist (?)
Über Ansätze würde ich mich sehr freuen!
Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Behauptung: "Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] eine holomorphe
> Funktion mit [mm]f(n) = n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], dann gilt [mm]f(z) = z[/mm]
> für alle [mm]z\in\IC[/mm]." richtig? Vergleiche dazu den
> Identitätssatz.
> Hallo!
>
> Bei der obigen Aufgabe weiß ich gar nicht, wo ich anfangen
> soll. Hier eine meiner Ideen:
> Ausgehend vom Identitätssatz habe ich zwei Funktionen [mm]f(z)[/mm]
> und [mm]g(z) = z[/mm] und einen Punkt [mm]z_{0},[/mm] dessen Umgebung sei U.
> Nun weiß ich, dass die Koinzidenzmenge nach
> Aufgabenstellung dann [mm]\{z\in\U|f(z) = g(z)\}[/mm] = [mm]\IN[/mm] ist.
> Aber diese Menge hat doch überhaupt keine Häufungspunkte,
> egal wo [mm]z_{0}[/mm] liegt, oder? Damit hätte ich aber lediglich
> gezeigt, dass der Identitätssatz nicht anwendbar ist (?)
So ist es.
"Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] eine holomorphe
> Funktion mit [mm]f(n) = n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], dann gilt [mm]f(z) = z[/mm]
> für alle [mm]z\in\IC[/mm]." richtig?
Nein.
$f(z) = [mm] sin(\pi [/mm] z)+z$
FRED
>
> Über Ansätze würde ich mich sehr freuen!
> Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:43 Mi 03.06.2009 | | Autor: | steppenhahn |
Hallo und danke für deine schnelle Antwort, fred97!
Ein Gegenbeispiel wäre also $f(z) = [mm] \sin(\pi*z)+z$. [/mm] Nun muss ich aber noch zeigen, dass die Funktion holomorph ist, sonst habe ich ja die Voraussetzungen nicht erfüllt(?). Da es für die Aufgabe relativ viele Punkte gab, glaube ich nicht dass die sich mit "ist aus holomorphen Funktion zusammengesetzt" abspeisen lassen wollen.
D.h. für jedes [mm] z\in\IC [/mm] muss der Limes
[mm] $\lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)$
[/mm]
existieren. Es ist
[mm] $\lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\Big(\sin(\pi*(z+h)) + (z+h)\Big)-\Big(\sin(\pi*z) + z\Big)}{h}\right)$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\sin(\pi*z+\pi*h) -\sin(\pi*z) + h}{h}\right)$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\sin(\pi*z)*\cos(\pi*h) + \sin(\pi*h)*\cos(\pi*z) -\sin(\pi*z)}{h} + 1\right)$
[/mm]
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen, insbesondere um letztendlich das [mm] \pi [/mm] noch als Faktor zu bekommen?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Mi 03.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ein Gegenbeispiel wäre also [mm]f(z) = \sin(\pi*z)+z[/mm]. Nun muss
> ich aber noch zeigen, dass die Funktion holomorph ist,
> sonst habe ich ja die Voraussetzungen nicht erfüllt(?).
Richtig.
> Da es für die Aufgabe relativ viele Punkte gab, glaube ich
> nicht dass die sich mit "ist aus holomorphen Funktion
> zusammengesetzt" abspeisen lassen wollen.
Die Funktionen [mm] $g(z)=\sin [/mm] z$ und [mm] $h_c(z)=cz$ [/mm] sind holomorph in [mm] $\IC$ [/mm] für alle [mm] c\in\IC$, [/mm] also auch [mm] $f=(g\circ h_\pi)+h_1$.
[/mm]
Kein Mensch würde nochmal den Differenzenquotienten durchkauen, denn dann könnte man auch gleich den Beweis, dass die Verkettung holomorpher Funktionen holomorph ist, nochmal abschreiben. Dass es soviele Punkte gab liegt wahrscheinlich daran, dass die Aufgabe falsch gestellt wurde... vielleicht fällt dir ja was naheliegendes ein, die Voraussetzungen geeignet zu verschärfen.
Gruß, Robert
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Hallo pelzig,
danke für deine Antwort! Das reicht mir schon 
Viele Grüße, Stefan.
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