Sattelpunkt in der Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mi 05.04.2006 | | Autor: | schneck |
| Aufgabe | | was bedeutet es, wenn ich einen Sattelpunkt in meiner Ableitungsfunktion habe für meine Funktion? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Eigentlich hat ein Sattelpunkt in meiner Ableitung ja die Stiegung null!,
dann ist f"(x)=0, müsste also ein WP sein!
Aber ist die dritte Ableitung null?
weitere Anmerkung: kann es sein, dass ein Sattelpunkt in der Ableitung manchmal ein WP in meiner Funktion ist und manchmal nicht?
Gruß schneck
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi schneck,
> was bedeutet es, wenn ich einen Sattelpunkt in meiner
> Ableitungsfunktion habe für meine Funktion?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Eigentlich hat ein Sattelpunkt in meiner Ableitung ja die
> Stiegung null!,
Ja, immer.
> dann ist f"(x)=0, müsste also ein WP sein!
Ein Sattelpunkt ist immer ein WP, ja.
> Aber ist die dritte Ableitung null?
Muss nicht, kann. An einem Wendepunkt kann trotzdem die 3.Abl. null sein. Nur wenn sie ungleich Null ist,hat man immer einen WP. Ein kleiner, aber feiner Unterschied  Entscheident ist, ob an der betreffenden Stelle bei f'' ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet.
zb bei [mm] x^3:
[/mm]
Sattelpunkt bei x=0, Wendepunkt bei x=0 . f'''(0)=6
bei [mm] x^5:
[/mm]
Sattelpunkt bei x=0, Wendepunkt bei x=0, f'''(0)=0
>
> weitere Anmerkung: kann es sein, dass ein Sattelpunkt in
> der Ableitung manchmal ein WP in meiner Funktion ist und
> manchmal nicht?
Nein:Siehe oben, ein Sattelpunkt, ist immer ein WP. Das liegt daran, dass bei einem Sattelpunkt (EDIT ich meine ein Sattelpunkt in f) in der 1. Abl. kein (nie) VZW stattfindet,d.h. die Nullstelle der 1.Abl. ist immer von geradem Grad (doppelte/vierfache/usw Nullstelle). Dann ist in der 2.Ableitung, der Grad der Nullstelle ungerade, d.h es findet in der 2. Abl ein VZW statt. Daraus folgt, es ist ein WP.
EDIT: oder könnte es sein, dass ich deine Frage falsch verstanden habe?
Falls ja, dann ignorier es einfach
>
> Gruß schneck
>
Alles klar?
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mi 05.04.2006 | | Autor: | ardik |
> > dann ist f"(x)=0, müsste also ein WP sein!
> Ein Sattelpunkt ist immer ein WP, ja.
Missverständnis!
Es war von einem Sattelpunkt in der Ableitung die Rede, ob an dieser Stelle immer ein WP in der (Ausgangs-)Funktion wäre.
Das ist freilich nicht der Fall, siehe meine ausführliche Antwort.
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 05.04.2006 | | Autor: | ardik |
> was bedeutet es, wenn ich einen Sattelpunkt in meiner
> Ableitungsfunktion habe für meine Funktion?
Ich betrachte im Folgenden eine ihrerseits steigende Ableitung.
Ich untersuche, was in der Umgebung des Sattelpunktes passiert:
Fallunterscheidung:
Sattelpunkt liegt a) oberhalb / unterhalb b) auf der x-Achse
a) Die Funktion steigt / fällt (streng monoton), die Steigung wird immer größer ("Linkskurve"), lediglich beim Sattelpunkt der Ableitung grad mal nicht, danach gleich wieder. -> kein besonderer Punkt
b) Die fragliche Stelle ist gleichzeitig Nullstelle der Ableitung. Links davon ist die Steigung negativ, rechts davon positiv. -> Tiefpunkt
Für eine fallende Ableitung gilt das Ganze sinngemäß umgekehrt.
> Eigentlich hat ein Sattelpunkt in meiner Ableitung ja die
> Stiegung null!,
> dann ist f"(x)=0, müsste also ein WP sein!
f''(x)=0 ist kein hinreichendes Kriterium für WP.
Schönes Beispiel: [mm] f(x)=x^4
[/mm]
Aber der Vorzeichenwechsel ("VZW") in f'(x) ist eines. VZW an der fraglichen Stelle bedeutet ja Wechsel von positiver zu negativer Steigung (oder umgekehrt), also eindeutig Extrempunkt, _kein_ VZW bedeutet beidseits entweder pos. oder neg. Steigung, also bestenfalls WP.
> weitere Anmerkung: kann es sein, dass ein Sattelpunkt in
> der Ableitung manchmal ein WP in meiner Funktion ist und
> manchmal nicht?
Ja klar, siehe oben.
Walde hat in seiner Antwort offenbar übersehen, dass Du vom Sattelpunkt in der Ableitung sprachst.
Schöne Grüße,
ardik
Nachtrag:
Hey, das ist ja spannend! Jetzt habe ich "entdeckt", das auch
[mm]f'(x) \not=0 \wedge f''(x)=0[/mm]
keine hinreichende Bedingung für Wendepunkt ist. Das war mir bisher noch gar nicht so bewusst...
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