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Hi
Ich habe folgende Frage zum Sattelpunkt.
Die hinreichende Bedingung lautet ja:
f '(x0) = 0 & f ''(x0) = 0 & f '''(x0) <> 0
Also, ich berechne f '(x), f ''(x), f '''(x)
Ich setze f '(x) = 0. Dann bekomme ich z.B.: [mm] x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=2 [/mm] als Ergebnisse
Diese Werte setze ich dann in f ''(x) ein.
Dann ergibt f ''(0)=0, f ''(0)=0, f ''(2)=4
Nun setze ich f ''(x) = 0 und bekomme z.b.: [mm] x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=2
[/mm]
Diese Werte setze ich dann in f '''(x) ein
Dann ergibt f '''(0) = 0, f'''(0) = 0, f'''(2) = 5
Nun setze ich f '''(x) = 0 und bekomme [mm] z.b.:x_{1}= [/mm] 2, [mm] x_{1}= [/mm] -2
Heisst das dann, das ich einen Sattelpunkt habe?
Wenn der Weg den ich beschrieben habe richtig ist, ergibt sich gleich die nächste Frage.
Und zwar ob dann ein Sattelpunkt grundsätzlich auf der X-Achse liegt?
Oder ob ein Sattelpunkt auch z.b. im Punkt (3/5) liegen kann?
Wenn ja, wieso?
Vielen Dank
Gruß
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 08.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi, erstens muss du nur f'(x)=0 berechnen. Alles andere sind hinreichende Bedingungen, d.h. die musst Du mit den Werten aus f'(x)=0 verifizieren, sprich sie müssen mit diesen Werten erfüllt sein?
Ja, es ist alles möglich. Ein Sattelpunkt kann auch irgendwo im Koordinatensystem liegen. Wieso? Schaue dir einfaach die Funktion [mm] f(x)=(x-3/5)^3+2 [/mm] an.
Ich hätte auch noch eine Frage an alle anderen? Im mehrdimensionalem? was ist der Sattelpunkt denn nun genau? z.b. [mm] f(x,y)=x^3+y^3. [/mm] Im Nullpunkt ist ein Sattelpunkt? Er sieht dann aber wie ein Sessel aus  . Aber [mm] f(x,y)=x^2-y^2
[/mm]
im Nullpunkt ein Sattelpunkt, sieht dann wie ein echter Sattel? Was ist denn nun der Unterschied?
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Danke für deine schnelle antwort.
Leider hast du mir eine komplexe funktion geben. Soweit bin ich leider nicht das ich mit komplexen Zahlen rechnen kann.
(Wenn ich mich nicht verrechnet habe)
f '(x) = [mm] 3(x-\bruch{3}{5})^2
[/mm]
= [mm] 3(2x^2 [/mm] - [mm] \bruch{6}{5}x [/mm] + [mm] \bruch{9}{25})
[/mm]
= [mm] x^2 [/mm] - [mm] \bruch{3}{5}x [/mm] + [mm] \bruch{9}{50}
[/mm]
jetzt mit pq-formel lösen und da hab ich dann was negatives unter der Wurzel.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Mi 08.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Na ja, trotzdem kannst du dir vorstellen dass es die Funktion [mm] x^3 [/mm] ist die in den Punkt (3/5,2) verschoben wurde und deswegen an der Stelle einen Sattel hat. Oder bin ich da wieder zu voreilig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 08.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | | Außerdem, wie kommst Du auf [mm] 2x^2? [/mm] |
bis gleich
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ähhh, weiss ich auch nicht.
Ist zu warm zum mathe lernen....
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> Ich habe folgende Frage zum Sattelpunkt.
> Die hinreichende Bedingung lautet ja:
> f [mm] '(x_0) [/mm] = 0 & f [mm] ''(x_0) [/mm] = 0 & f '''(x0) [mm] \not=0
[/mm]
>
> Also, ich berechne f '(x), f ''(x), f '''(x)
Hallo,
Laß uns erstmal überlegen, was ein Sattelpunkt ist.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit einer waagerechten Tangente.
Eine Möglichkeit wäre also, alle Stellen mit waagerechter Tangente zu bestimmen, also die x mit f'(x)=0,
und dann zu schauen, für welche dieser x gleichzeitig die 2.Ableitung auch =0 ist. Letzteres bekommst Du am einfachsten durch Einsetzen in die 2.Ableitung heraus.
(Du kannst natürlich auch sämtliche Nullstellen der 2.Ableitung bestimmen, und nachschauen, welche gleichzeitig solche der ersten sind, aber meist dürfte dies aufwendiger sein.)
So. Nehmen wir nun an, Du hättest ein paar Stellen gefunden, für welche 1. und 2.Ableitung =0 sind.
Das sind Stellen, an welchen wir einen Sattelpunkt haben könnten.
Um Gewißheit zu haben, setzen wir unsere Sattelpunktkandidaten in die 3. Ableitung ein. Ist sie [mm] \not=0, [/mm] wissen wir sicher, daß wir einen Sattelpunkt gefunden haben.
Ist die dritte Ableitung allerdings auch =0, müssen wir weitere Untersuchungen durchführn, denn es könnte sich auch um einen Extremwert handeln. Ein typisches Beispiel für so etwas: [mm] g(x)=x^8+1.
[/mm]
> Und zwar ob dann ein Sattelpunkt grundsätzlich auf der
> X-Achse liegt?
Nein, natürlich nicht. Der kann überall sein. Es sagt ja niemand, daß für einenSattelpunkt f(x)=0 gelten muß.
> Oder ob ein Sattelpunkt auch z.b. im Punkt (3/5) liegen
> kann?
Klar. Betrachte [mm] h(x)=(x-3)^3+5
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Hallo Angela, wie ist es nun im mehrdimensionalen Raum? |
bitte meine Frage oben hierzu lesen?
Danke
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Hallo,
ein Sattelpunkt ist ein Punkt, an welchem der Gradient =0 ist und kein Extremwert vorliegt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mi 08.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Das heißt egal welche Form er besitzt? O.K. Danke
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