Sachaufgabe ganzrationale Fkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 10.09.2006 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Zwei Straßenenden sind durch die Halbgerade y=0 für x<1 (kleiner UND gleich) und y=2 für x>3 (größer UND gleich) gegeben.
Sie sollen durch einen Übergangsbogen miteinander verbunden werden. Der Einfachheit wegen soll dieser Bogen der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit möglichst kleinem Grad sein.
a) Fertigen Sie eine geeignete Skizze der beschriebenen Situation an.
b) Der Graph von f soll an den Anschlussstellen die gleiche Steigung wie die Geraden haben. Bestimmen Sie f(x)
c) f soll an den Anschlussstellen in der ersten und in der zweiten Ableitung mit den Halbgeraden übereinstimmen. Bestimmen Sie f(x)
d) Interpretieren Sie die Anpassungskriterien aus Teil b) geometrisch |
Ich kann mir nun nach längerem Grübeln nicht vorstellen, was die Problematik der Aufgabe ist.
Ich hab also keine Ahnung was ich überhaupt machen soll.
Freue mich über jeden Ansatz.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 10.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a) Hast du sicher geschafft.
b) Hier soll der Anstieg der gesuchten Funktion an den Anschlusstellen (x=1 und x=3) so groß sein wie bei den Halbgeraden (m=0).
Außerdem kennst du ja auch die Punkte dieser Anschlussstellen (P(1|0) und Q(3|2)).
Also hast du daraus 4 Informationen, nämlich:
f(1)=0
f(3)=2
f'(1)=0
f'(3)=0
Und damit du daraus etwas vernünftiges machen kannst, musst du von einer Allgemeinen Gleichung mit 4 Variablen ausgehen, da du 4 Gleichungen hast.
f(x)=ax³+bx²+cx+d muss also gelten.
Nunja, jetzt musst du dieses Gleichungssystem mit 4 Variablen lösen.
c) Hier ist es fast genauso: die 1. und 2. Ableitung der Halbgeraden sind 0.
Und genau an diesen Stellen sollen 1. und 2. Ableitung der gesuchten Funktion auch 0 sein.
Die Verbindungspunkte P(1|0) und Q(3|2) gelten hier natürlich auch.
Also weißt du:
f(1)=0
f(3)=2
f'(1)=0
f'(3)=0
f''(1)=0
f''(3)=0
Hier hast du diesmal 3 Gleichungen, also musst du bei deiner Gleichung auch von 6 Variablen ausgehen.
[mm] f(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx³+dx²+ex+f.
[/mm]
Viel Spaß dann beim Lösen... ;)
d) Naja, da der Anstieg und Funktionswert gleich sind an den Stellen x=1 und x=3, berühren sich diese Grafen an genau diesen Stellen.
Ich weiß nicht, was man sonst dazu sagen könnte.
So sehen die Grafen dann aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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