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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Durch $ F(t) = [mm] \bruch{36e^t}{1+e^t} [/mm] $ wird der Inhalt der Fläche beschrieben, die einen Schimmelpilz auf einer Brotscheibe bedeckt. Dabei wird t in Tagen seit Beobachtungsbeginn und $ F(t) $ in $ [mm] cm^2 [/mm] $ gemessen.
a) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an welchem sich der Schimmelpilz am schnellsten ausbreitet.
b) Bestimmen Sie die maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit.
c) Weisen Sie nach, dass F eine Differentialgleichung der Form:
$ F'(t)= k * F(t) * [G-F(t)] $
erfüllt.
Skizzieren Sie den Graphen von F für $ -5 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 5 $
Beschreiben Sie die Form des Wachstums, das durch die Funktion F dargestellt wird.
Geben Sie dabei charakteristische Eigenschaften dieser Wachstumsform an. |
Ich hätte folgende Vermutungen, wie man da ansetzen könnte, allerdings bin ich mir überhaupt nicht sicher dabei...
zu a:
Also ich würde hier erstmal f(t) bilden - also F(t) einfach ableiten. Und dann von f(t) die Wendestellen erarbeiten, weil an den Wendestellen ja die Steigung am größten sein muss.
Weiß aber nicht ob dieser Denkansatz richtig ist.
zu b:
Hier würde ich von f(t) die Extremstellen berechnen.
Glaube aber nicht, dass das gemeint ist.
zu c:
Also hier verstehe ich echt garnichts - besonders der Anfang verwirrt dermaßen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo bOernY,
> zu a:
> Also ich würde hier erstmal f(t) bilden - also F(t)
> einfach ableiten.
Ja, das ist gut. Die Ableitung gibt ja das Wachstum an, also die Änderungsrate.
> Und dann von f(t) die Wendestellen erarbeiten,
> weil an den Wendestellen ja die Steigung am
> größten sein muss.
Nein, danach ist ja auch nicht mehr gefragt. Gefragt ist danach, wo die Ausbreitung am schnellsten (also am Größten) ist. Das heißt, der Zeitpunkt ist gefragt, wo das Wachstum am größten ist. Nun gibt aber ja f(t) schon selbst das Wachstum an. Was du brauchst sind also die Hochpunkte (lokalen Maxima) von f(t).
Nicht verwirren lassen: Das sind genau die Stellen, an denen F(t) seine Wendestellen hat, weil da nämlich das Wachstum am größten ist. Aber es geht ja um das Wachstum der Fläche (also von F(t)), also um die Ausbreitung, und nicht um das Wachstum der Ausbreitung (das wäre das Wachstum von f(t), das wäre doppelt gemoppelt).
Ich hoffe, es ist deutlich geworden. Da musst du gut aufpassen und immer gründlich drüber nachdenken, welche Funktion nun das Wachstum von welcher angibt, und wonach genau gefragt ist.
> zu b:
> Hier würde ich von f(t) die Extremstellen berechnen.
Genau wie bei a)
> Glaube aber nicht, dass das gemeint ist.
Doch. Du musst sogar gar nciht mehr tun, als den Zeitpunkt, an dem das Wachstum aus a) am größten ist, in f(t) einzusetzen. Denn f(t) gibt ja die Ausbreitunggeschwindigkeit an. Du musst also nur den richtigen Zeitpunkt (den in a) errechneten) einsetzen in f(t) und schon hast du hier das, was gefragt ist.
> zu c:
> Also hier verstehe ich echt garnichts - besonders der
> Anfang verwirrt dermaßen.
Du sollst hier nachprüfen, dass die Funktion F(t) auch eine Gleichung wie diese hier erfüllt:
$ F'(t)= k [mm] \cdot [/mm] F(t) [mm] \cdot [/mm] [G-F(t)] $
Natürlich sind in der Gleichung noch ein paar Unbekannte. Darum geht es in dieser Aufgabe: Man könnte vielleicht auch sagen: Bestimmen Sie $k$ und $G$ so, dass diese Gleichung richtig ist (mit dem F(t) von oben und F'(t)=f(t), der Ableitung von F(t)).
Dann sollst du den Graphen skizzieren. Dafür wirst du dich an die Ableitung halten müssen. Also darauf achten, dass an der richtigen Stelle auch die richtigen Extremstellen sind.
Danach die Aufgabe finde ich auch verwirrend: Ich denke, du sollst die Form, also den Verlauf der Funktion F(t) beschreiben (wo sind Extremstellen, wo wie stark steigend/fallend, wie verhält sich die Funktion an den definitionsgrenzen und solche Dinge). Allerdings stört mich, dass hier von Wachstum die Rede ist. Die Funktion F(t) gibt nicht das Wachstum an, sondern die Ausbreitungsfläche. Das Wachstum wird ja gerade von der Ableitung, also f(t) beschrieben. Das ist einfach schlecht formuliert, behaupte ich.
Was die charakteristischen Eigenschaften der Wachstumsfunktion (also der Funktion F(t) sein sollen, weiß ich nicht. Dafür wirst du sie zeichnen müssen und dich an euren Unterricht erinnern müssen. Ich weiß nicht, was ihr als charakteristische Eigenschaften bezeichnet.
Ich hoffe, das hilft.
Mit mathematischen Grüßen,
Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
Mir scheint die Ableitung komisch zu sein, oder ich habe sie einfach falsch gerechnet?!
$ F(t) = [mm] \bruch{36e^t}{1+e^t} [/mm] $
$ f(t) = [mm] \bruch{36e^t * (1+e^t) - 36e^t * e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] $
$ f(t) = [mm] \bruch{36e^t + 36^{2t} - 36e^{2t}}{(1+e^t)^2} [/mm] $
$ f(t) = [mm] \bruch{36e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] $
Wäre das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo bOernY,
stimmt aber bis hierhin. Sag ich und sagt "Maple" sogar auch.
Gruß,
Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 24.02.2008 | | Autor: | bOernY |
Ich habe die Extrema ausgerechnet und es gibt nur einen Hochpunkt, nämlich E(0/9)
Ist das im Sachzusammenhang nicht komisch?
Es ist doch unlogisch, dass der Schimmelpilz sich zum Zeitpunkt 0 am schnellsten ausbreitet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 24.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo bOerny,
ich hab keine Ahnung, ob das unlogisch ist, ich bin kein Biologe. Wundern tut's mich auch, aber rein mathematisch ist deine Lösung korrekt.
Und es macht auch nur das Sinn, wenn man sich die Funktion anschaut: F(t) hat keine Extremstellen und nur diese eine von dir erkannte und genannte Wendestelle bei t=0. Hast du dir den Graphen mal angeschaut? Ich binde ihn hier mal ein (s.u.)
Der Verlauf der Kurve macht im Grunde schon Sinn: Erst vermehren sie sich langsam, steigen dann ziemlich schnell sehr deutlich an (exponentielles Wachstum) und vermehren sich dann aber wieder weniger schnell, weil langsam eine Grenze vor Überpopulation erreicht ist (sowas in der Art). Dass das nun gerade bei t=0 ist, das ist ja auch eine Frage deiner Skala: wann ist denn der Zeitpunkt Null? Hier ist das halt wohl gerade der Zeitpunkt, zu dem das Wachstum am größten ist. Das ist ja eine Konventionssache und im Grunde frei zu wählen ...
Naja, hier mal der Graph:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit mathematischen Grüßen,
Manatu
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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