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SDE: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:00 Sa 02.10.2021
Autor: Thomas_Aut

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Liebes Forum,

ich hoffe euch gehts gut!

Ich betrachte ein System aus 4 gewöhnlichen, nichtlinearen Differentialgleichungen:

$$(I) : \frac{dV_{m}}{dt} =  [-\overline{g_{Na}}m^3h(V_m - E_{Na})-\overline{g_K} n^4(V_m-E_K) - \overline{g_L} (V_m -E_L)+I]/c_m$$

\bigskip

$$(II-IV): \frac{dx}{dt} = (\alpha_x (1-x) - \beta_x x) \hspace{0.3cm},  x=m,n,h$$

wobei $\overline{g_{Na}$ etc einfach konstanten sind. I ist ein externer strom, aber die Biophysik des Modelles ist auch nicht weiter wichtig. $\alpha , \beta$ sind experimentell bestimmte Funktionen die an erhobene Datan angepasst wurden. $E_L$ etc sind auch konstant.

wenn ich dieses System nun durch $k*X_t \sim N(0,1)$ störe (also additiv in Gleichung (I) - also $X_t$ ändert in jedem Zeitschritt dt seinen Wert (k ist einfach ein Kontrollparameter für die Intensität)- dann entsteht

$$(I) : dV_{m} =  ([-\overline{g_{Na}}m^3h(V_m - E_{Na})-\overline{g_K} n^4(V_m-E_K) - \overline{g_L} (V_m -E_L)+I]/c_m)dt + kX_t dt$$

also rechts haben wir jetzt weisses rauschen mit det. Integrator, was interpretiert werden kann als:

$$(I) : dV_{m} =  ([-\overline{g_{Na}}m^3h(V_m - E_{Na})-\overline{g_K} n^4(V_m-E_K) - \overline{g_L} (V_m -E_L)+I]/c_m)dt + kdB_t$$

weil man kann sich weißes Rauschen ja als die Ableitung der BB vorstellen (im Sinne von Distributionen, da sie ja im klassischen Sinne nirgends diffbar ist).

Das heißt es entsteht eine SDG.

Frage1:

Ich würde nun gerne wissen wie sich die deterministische Lösung durch den Rauschterm verändert. Wenn man das System vereinfacht indem man m,n,h als konstant annimmt, dann ist das ja ein Ornstein Uhlenbeck Prozess, der bekannte Varianz hat und somit kann man recht rasch eine Abschätzung machen.

m,n,h sind aber nicht konstant, d.h. ich brauche Ito-Theorie? Kennt ihr da eine gute Möglichkeit u $V_{det}$ versus $V_{stoch}$ abzuschätzen? also den Impact von $kX_t$ auf das System rauszukriegen?

Frage2:

Lösen kann man das System nur numerisch, also geschlossene Lösung gibt es keine --> dafür verwende ich das implizite Eulerverfahren und nun frage ich mich: kann ich das gestörte System auch mit implizit Euler lösen? oder muss ich zwangsläufig auf ein Lösungsverfahren a la Milstein etc umsteigen?

Herzlichen Dank und LG



        
Bezug
SDE: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mo 04.10.2021
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
SDE: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Mo 04.10.2021
Autor: Thomas_Aut

bitte die Frage um eine Woche verlängern.

LG

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