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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 23.10.2006 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei RxR die Menge aller Paare (a,b) mir a,b [mm] \in \IR. [/mm] Wir Definieren auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR
[/mm]
eine Addition und eine Multiplikation durch:
(a,b) + (a',b')=(a+a',b+b')
(a,b) * (a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)
Ist [mm] (\IR [/mm] x [mm] \IR, [/mm] +,*) ein Körper? |
der addition zufolge denke ich schon, sie ist assoziativ, kommutativ, es existiert ein neutrales Element, es existieren die entsprechenden inversen.
doch bei der Multiplikation blicke ich überhaupt nicht durch.
könnt ihr mir erklären was ich machen muss?
Vielen Dank für eure Hilfe!
MFG
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mo 23.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Christoph,
Grundsätzlich läuft das mit der Multiplikation nicht anders ab als mit der Addition, d.h. auch hier brauchst Du die Assoziativität, die Kommutativität und die Existenz von Neutralem Element und der Inversen. Nur dass das jetzt alles etwas komplizierter wird.
Assoziativität und Kommutativität sind eigentlich ganz geradeaus auszurechnen.
Beim neutralen Element hält sich der Aufwand noch in Grenzen - durch gezieltes Raten kann man finden, dass (1,0) das entsprechende neutrale Element ist.
Auch für das Inverse von (a,b) könnte man jetzt eine Form angeben und zeigen, dass die tut - allerdings kommt man da nicht durch hinschauen drauf.
Rechnerisch könnte man so vorgehen: angenommen (x,y) ist invers zu (a,b). Dann gilt:
[mm](a,b)*(x,y) = (ax-by,ay+bx) = (1,0)[/mm]
Damit hat man also zwei Gleichungen (erste und zweite Komponente!) und die kann man nach x und y auflösen. Findet man für (a,b) [mm] \not= [/mm] (0,0) immer eine Lösung, dann hat man die Existenz des Inversen gezeigt, man kann es sogar angeben.
Viel Spaß beim Lösen!
Gruß
piet
P.S.: Zum Abschluss noch die zwei Preisfragen, die sicher auch noch in der Vorlesung/Übung kommen werden:
1.) Was ist (0,1)*(0,1)
2.) Wenn man sich 1.) so anschaut - wie nennt man denn den entstandenen Körper üblicherweise  ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Di 24.10.2006 | | Autor: | CPH |
Danke für deine hilfe
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