Rumprob. doof - wie exakt best < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Do 10.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Es werden 2 Fkt. gleichgesetzt
[mm] x^3=3a^2x [/mm] - [mm] 2a^2
[/mm]
Wo sind die Fkt.-werte beider Fkt. gleich? |
Guten Abend,
ich möchte diese Gleichung lösen.
Mir ist schon klar, dass das Problem ist, dass es zwei Variablen gibt, aber in diesem Fall ist nur das x Variable u. das a ein ganz best. x-Wert.
Die Gleichung ist gleich, wenn x=0 und a=0
Das sieht man gleich so.
Aber korrekterweise muss man sagen:
Die Gleichung ist MINDESTENS gleich, wenn x=0 und a=0, da es vielleicht noch weitere Werte gibt.
Ich probiere 1 aus
a=x=1
dann 1=3-2, d.h. ja 1 geht auch.
Ich will aber nicht rumprobieren, zu gr. das Risiko, dass welche durch die Lappen gehen oder dass das Rumprobieren endlos würde. Es muss anders gehen.
Nur das x ist Variable u. das a ein ganz best. x-Wert. Demnach ist das a auch ein x-Wert, dann ist
[mm] x^3=3x^2x [/mm] - [mm] 2x^3
[/mm]
[mm] x^3=3x^3 [/mm] - [mm] 2x^3
[/mm]
[mm] x^3=x^3 [/mm] oder [mm] a^3=a^3
[/mm]
Ist es überhaupt möglich konkrete Werte rauszubekommen?
(Die ursprgl. Aufg. lautete: Zeige, dass die Tangente die Fkt. in (a/f(a)) berührt
[mm] t(x)=3a^2*x [/mm] - [mm] 2a^3
[/mm]
[mm] f(x)=x^3
[/mm]
Um das zu zeigen, müssen
1.)
die Fkt.werte beider Fkt. in a/f(a) gleich sein, also t(x)=f(x) und
2.)
die Ableitungen beider müssen in a/f(a) gleich sein)
t´(x)=3a^2x
Es ist natürlich leichter mit konkreten Werten umzugehen (für mich); vielleicht will ich mit dem Kopf durch die Wand, wenn ich meine beiden gefundenen Lösungen
0 und 1 da unterbringen will. Das geht nur, wenn x=a
Demnach berührt die Tangente die Fkt. in mind. 2 Stellen.
Gibt es noch weitere Stellen, ohne Rumprobieren? Wie kriege ich das raus?
Für Beantwortung der blauen Frage vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
> Es werden 2 Fkt. gleichgesetzt
> [mm]x^3=3a^2x[/mm] - [mm]2a^2[/mm]
> Wo sind die Fkt.-werte beider Fkt. gleich?
> Guten Abend,
>
> ich möchte diese Gleichung lösen.
> Mir ist schon klar, dass das Problem ist, dass es zwei
> Variablen gibt, aber in diesem Fall ist nur das x Variable
> u. das a ein ganz best. x-Wert.
>
> Die Gleichung ist gleich, wenn x=0 und a=0
> Das sieht man gleich so.
> Aber korrekterweise muss man sagen:
> Die Gleichung ist MINDESTENS gleich, wenn x=0 und a=0, da
> es vielleicht noch weitere Werte gibt.
> Ich probiere 1 aus
> a=x=1
> dann 1=3-2, d.h. ja 1 geht auch.
> Ich will aber nicht rumprobieren, zu gr. das Risiko, dass
> welche durch die Lappen gehen oder dass das Rumprobieren
> endlos würde. Es muss anders gehen.
>
> Nur das x ist Variable u. das a ein ganz best. x-Wert.
> Demnach ist das a auch ein x-Wert, dann ist
> [mm]x^3=3x^2x[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> [mm]x^3=3x^3[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> [mm]x^3=x^3[/mm] oder [mm]a^3=a^3[/mm]
das ist schmarrn
>
> Ist es überhaupt möglich konkrete Werte rauszubekommen?
>
> (Die ursprgl. Aufg. lautete: Zeige, dass die Tangente die
> Fkt. in (a/f(a)) berührt
> [mm]t(x)=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm]
> [mm]f(x)=x^3[/mm]
> Um das zu zeigen, müssen
> 1.)
> die Fkt.werte beider Fkt. in a/f(a) gleich sein, also
> t(x)=f(x) und
> 2.)
> die Ableitungen beider müssen in a/f(a) gleich sein)
> t´(x)=3a^2x
>
Hier steckt doch schon die Antwort! Es muss gelten [mm] 3x^{2}=3a^{2} \gdw x^2=a^2 \gdw [/mm] x=a das kannst dann auch in 1.) einsetzen und erhältst [mm] x^3=a^3
[/mm]
es gibt also unendlich viele solche werte
> Es ist natürlich leichter mit konkreten Werten umzugehen
> (für mich); vielleicht will ich mit dem Kopf durch die
> Wand, wenn ich meine beiden gefundenen Lösungen
> 0 und 1 da unterbringen will. Das geht nur, wenn x=a
> Demnach berührt die Tangente die Fkt. in mind. 2 Stellen.
>
> Gibt es noch weitere Stellen, ohne Rumprobieren? Wie kriege
> ich das raus?
>
> Für Beantwortung der blauen Frage vielen DANK
> Gruß
> Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Es werden 2 Fkt. gleichgesetzt
> > [mm]x^3=3a^2x[/mm] - [mm]2a^2[/mm]
> > Wo sind die Fkt.-werte beider Fkt. gleich?
> > Guten Abend,
> >
> > ich möchte diese Gleichung lösen.
> > Mir ist schon klar, dass das Problem ist, dass es zwei
> > Variablen gibt, aber in diesem Fall ist nur das x Variable
> > u. das a ein ganz best. x-Wert.
> >
> > Die Gleichung ist gleich, wenn x=0 und a=0
> > Das sieht man gleich so.
> > Aber korrekterweise muss man sagen:
> > Die Gleichung ist MINDESTENS gleich, wenn x=0 und a=0,
> da
> > es vielleicht noch weitere Werte gibt.
> > Ich probiere 1 aus
> > a=x=1
> > dann 1=3-2, d.h. ja 1 geht auch.
> > Ich will aber nicht rumprobieren, zu gr. das Risiko,
> dass
> > welche durch die Lappen gehen oder dass das Rumprobieren
> > endlos würde. Es muss anders gehen.
> >
> > Nur das x ist Variable u. das a ein ganz best. x-Wert.
> > Demnach ist das a auch ein x-Wert, dann ist
> > [mm]x^3=3x^2x[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> > [mm]x^3=3x^3[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> > [mm]x^3=x^3[/mm] oder [mm]a^3=a^3[/mm]
>
> das ist schmarrn
> >
> > Ist es überhaupt möglich konkrete Werte rauszubekommen?
> >
> > (Die ursprgl. Aufg. lautete: Zeige, dass die Tangente die
> > Fkt. in (a/f(a)) berührt
> > [mm]t(x)=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm]
> > [mm]f(x)=x^3[/mm]
> > Um das zu zeigen, müssen
> > 1.)
> > die Fkt.werte beider Fkt. in a/f(a) gleich sein, also
> > t(x)=f(x) und
> > 2.)
> > die Ableitungen beider müssen in a/f(a) gleich sein)
> > t´(x)=3a^2x
> >
> Hier steckt doch schon die Antwort! Es muss gelten
> [mm]3x^{2}=3a^{2} \gdw x^2=a^2 \gdw[/mm] x=a
Vorsicht ! Es gilt: [mm] $x^2=a^2 \gdw [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{a^2}= \pm [/mm] |a|$
FRED
> das kannst dann auch in
> 1.) einsetzen und erhältst [mm]x^3=a^3[/mm]
>
> es gibt also unendlich viele solche werte
>
> > Es ist natürlich leichter mit konkreten Werten umzugehen
> > (für mich); vielleicht will ich mit dem Kopf durch die
> > Wand, wenn ich meine beiden gefundenen Lösungen
> > 0 und 1 da unterbringen will. Das geht nur, wenn x=a
> > Demnach berührt die Tangente die Fkt. in mind. 2
> Stellen.
> >
> > Gibt es noch weitere Stellen, ohne Rumprobieren? Wie
> kriege
> > ich das raus?
> >
> > Für Beantwortung der blauen Frage vielen DANK
> > Gruß
> > Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Teo,
hallo Fred,
ich schrieb:
Nur das x ist Variable u. das a ein ganz best. x-Wert.
Demnach ist das a auch ein x-Wert, dann ist
[mm]x^3=3x^2x[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
[mm]x^3=3x^3[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
[mm]x^3=x^3[/mm] oder [mm]a^3=a^3[/mm]
Teo dazu:
> > das ist Schmarrn
Hups - echt? Wirds denn so besser?:
f(x) = t(x)
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3a^2*x-2a^2
[/mm]
wenn a=x, dann
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3a^2*a-2a^2
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3a^3 -2a^2
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] = [mm] a^3, [/mm] d.h. beide Fkt. haben an der Stelle a den gleichen Fkt.wert.
Oder immer noch Schwarrn?
ursprgl. Aufg.
Zeige, dass die Tangente die Fkt. in (a/f(a)) berührt
[mm]t(x)=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm]
[mm]f(x)=x^3[/mm]
Um das zu zeigen, müssen erfüllt sein:
1.) t(x)=f(x)
2.) f ´(x)= t ´(x)
Gibt es noch weitere Stellen, neben 0 und 1, mit denen beide Bedingungen erfüllt sind, u. zwar ohne Rumprobieren? Wie kriege ich das raus?
Teo:
> > Hier steckt doch schon die Antwort! Es muss gelten
> > [mm]3x^{2}=3a^{2} \gdw x^2=a^2 \gdw[/mm] x=a
Welche Bedeutung hat x=a; was heißt x=a?
Mir ist schon klar, dass diese Buchstaben Platzhalter für Zahlen sind u. es z.B. meint 6=6 oder -4,1=-4,1
Und ich weiß auch, dass es heißt: Wenn t(x) f(x) an der Stelle a berühren soll, dann tut sie das nur, wenn x=a.
Ich kann mein Problem nicht präzisieren, aber vielleicht ist es die Schwierigkeit vom Konkreten zum Abstrakten zu gelangen?
Heißt x=a die Fkt. sind gleich?
Fände ich etwas gewagt. Auf der anderen Seite schreibt Teo "es gibt also unendlich viele solcher Werte", danach könnten es vielleicht doch 2 gleiche Fkt. sein?
Aber warum passen andere x-Werte dann nicht? 0 und 1 passen
2 passt nicht
f(x)=t(x)
[mm] 2^3=3*2^2*2 [/mm] - [mm] 2^2 [/mm]
wie mans auch rechnet, das wird nie gleich.
Ich glaube ich verstehe die weitreichende Bedeutung von x=a in diesem Zus.hang leider noch nicht.
> Vorsicht ! Es gilt: [mm]x^2=a^2 \gdw x= \pm \wurzel{a^2}= \pm |a|[/mm]
> FRED
also [mm] x_1=+|a| [/mm] und [mm] x_2=-|a|
[/mm]
Müsste das nicht auch gleten für [mm] x^3=a^3 [/mm] ?
Ich kann das nicht denken. Wäre a eine konkrete Zahl, wäre das einfacher.
Ist es ein x-Wert als Lösg. oder 2 [mm] (x_1=+|a| [/mm] und [mm] x_2=-|a|)
[/mm]
Ich hoffe mir kann geholfen werden.
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Hier liegen also grundlegende Verständnisschwierigkeiten vor. Man sollte wissen, was die mathematische Stenografie bedeutet. Im Klartext:
f(a) ist der Funktionswert an der Stelle a. Man erhält ihn, indem man in die Funktionsgleichung y=f(x) anstelle des x die Zahl a einsetzt. Nachdem die Funktionsgleichung [mm] f(x)=x^3 [/mm] lautet, ergibt sich [mm] f(a)=a^3. [/mm] Klar!
Nach Aufgabenstellung ist zu zeigen:
(1): f(a)=t(a)
(2): f'(a)=t'(a)
So und jetzt zur Tangente [mm] t(x)=3a^2.x-a^3. [/mm] Setzt man hier für das x die Zahl a ein, so ergibt sich [mm] t(a)=3a^2.a-a^3=3a^3-2a^3=a^3. [/mm] Damit ist bereits (1) gezeigt, da [mm] a^3=a^3 [/mm] für alle reellen a gilt.
Entsprechend verfährt man mit den Ableitungen f'(x) und t'(x). Man rechnet getrennt f'(a) und t'(a) aus. Bei Übereinstimmung der beiden Ergebnisse ist dann auch (2) gezeigt.
Das war's.
Übrigens: Die beiden Wörtchen "müssen" und "sollen" haben in der Mathematik nichts verloren. Wer die braucht, kann Mathematik nicht, auch wenn es ein Lehrer ist!
Zu meiner Person: Ich bin Mathematik-Lehrer und mehrfacher Buchautor für Mathematikbücher. Bitte entschuldigt, dass ich die Antwort ohne den Formeleditor geschrieben habe. Er funktioniert auf meinem Rechner nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
sorry, geändert in PM
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Übrigens: Die beiden Wörtchen "müssen" und "sollen"
> haben in der Mathematik nichts verloren.
Das ist ja wohl der größte Unsinn, den ich in der letzten Zeit gelesen habe ! Ich fasse es nicht, wie ein Mensch solch einen Quatsch von sich geben kann.
> Wer die braucht, kann Mathematik nicht
Dann kann ich Mathematik nicht. Ich gebe also meinen Doktortitel und mein Diplom zurück und verabschiede mich aus diesem Forum.
> , auch wenn es ein Lehrer ist!
Ich bin Hochschullehrer. Aber diese Tätigkeit werde ich an den Nagel hängen, weil ich , nobsy ich danke Dir, eingesehen habe, dass ich keine Mathematik kann. So kann ich unmöglich weiter an der Hochschule Mathematik lehren.
>
> Zu meiner Person: Ich bin Mathematik-Lehrer und
> mehrfacher
> Buchautor für Mathematikbücher.
Donnerwetter ! Dann mußt Du ja prima Mathematik können, oder vielleicht auch nicht ? In einem bin ich mir sicher:
Dummschwätzen, ja, das kannst Du.
FRED
> Bitte entschuldigt, dass
> ich die Antwort ohne den Formeleditor geschrieben habe. Er
> funktioniert auf meinem Rechner nicht.
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Fred,
Hallo Marius,
nobsy:
> > Übrigens: Die beiden Wörtchen "müssen" und "sollen"
> > haben in der Mathematik nichts verloren.
Fred:
> Das ist ja wohl der größte Unsinn, den ich in der letzten
> Zeit gelesen habe! Ich fasse es nicht, wie ein Mensch
> solch einen Quatsch von sich geben kann.
Sabine:
Da bin ich aber erleichtert, dass zu hören, denn ich habe mich davon verunsichern lassen u. es ernst genommen. Ich glaube allerdings immer noch, dass nobsy allemale besser Mathe kann als ich u. mich würde deshalb interessieren, was er denn damit gemeint hat; vielleicht könnte man dem doch noch etwas abgewinnen!?
Nobsy:
> > der kann Mathe nicht, auch wenn es ein Lehrer ist!
Fred:
> Ich bin Hochschullehrer. Aber diese Tätigkeit werde ich an
> den Nagel hängen, weil ich , nobsy ich danke Dir,
> eingesehen habe, dass ich keine Mathematik kann. So kann
> ich unmöglich weiter an der Hochschule Mathematik lehren.
Sabine muss schmunzeln
Nobsy:
> > Zu meiner Person: Ich bin Mathematik-Lehrer und
> > mehrfacher Buchautor für Mathematikbücher.
Fred:
> Donnerwetter! Dann mußt Du ja prima Mathematik können,
> oder vielleicht auch nicht? In einem bin ich mir sicher:
> Dummschwätzen, ja, das kannst Du.
Sabine:
Nobsy hatte mein Problem nicht verstanden u. einfach nur die Lösung der Aufg. dargestellt, wie sie aus dem Vorangegangenem auch schon ersichtl. war. Aber Abakus hat sich meines Problems gewidmet u. erfolgreich geholfen. Bin trotzdem froh, dass ich kein Lehrer bin: Hätte mich schwarz geärgert vor Wut.
Und jetzt zurück zum Fachlichen:
Das ursprüngl. Fazit der Lösung lautete:
Überall, wo x gleich ist mit a, dort berührt die Tangente die Funktion f(x).
Mit Freds Einwurf u. Marius Erklärung muss es also lauten:
Überall, wo x=a oder wo x=-a, dort berührt die Tangente die Funktion f(x).
Reverend hatte gefragt, warum die Ableitungen gleich sein müssen.
Weil t(x) und f(x) sich in a/f(a) berühren (nicht schneiden), deswegen müssen beide in a/f(a) die gleiche Steigung haben (kann auch sein, dass es überflüssig war, das jetzt zu beantw.).
Bislang dachte ich, dass t(x) nur in manchen Punkten f(x) berührt, weil
> $ [mm] 2^3=3\cdot{}2^2\cdot{}2 $-2^2
[/mm]
> wie mans auch rechnet, das wird nie gleich.
D.h. in a=x=2 gibt es keine Gleichheit (so schrieb ich damals).
Ich habe den Lösungsweg jetzt nochmal aus dem Kopf aufgeschrieben, u. musste feststellen, dass die Gleichheit für jedes beliebige x (vorausgesetzt x=a oder x=-a) IMMER erfüllt ist. D.h. wie ich es jetzt im Kopf habe muss es richtig sein.
Und $ [mm] 2^3=3\cdot{}2^2\cdot{}2 $-2^2 [/mm] ist auch falsch (Übertrags.fehler)
Ich ziehe daraus nun, dass sich die Tangente in jedem Punkt von f(x) durch seine variable Steig. [mm] 3a^2 [/mm] anpasst, bzw. f(x) in jedem x berührt (vorausgesetzt x=a und x=-a).
Ich freue mich jedenfalls, dass ich diese Aufg. endlich abschließen kann.
Und: Dass ich das von Fred, was ja weiß Gott KEINE Kleinigkeit ist!!!, nochmal nachgefragt habe u. Marius das erhellt hat.
Auch dir Abakus nochmal vielen DANK für deine Hinführung, dass ich entdecken konnte, dass t(x) eine variable Funktion ist!
Kurz: DANKE an alle!
Meine Herren, diese Aufg. hatte es ja echt in sich!
Allen einen schönen Vaddertach mit Sonnenschein u. mit besonders viel Sonnenschein für die großartigen Lehrer in diesem Forum.
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Sa 12.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Es werden 2 Fkt. gleichgesetzt
> [mm]x^3=3a^2x[/mm] - [mm]2a^2[/mm]
> Wo sind die Fkt.-werte beider Fkt. gleich?
> Guten Abend,
>
> ich möchte diese Gleichung lösen.
> Mir ist schon klar, dass das Problem ist, dass es zwei
> Variablen gibt, aber in diesem Fall ist nur das x Variable
> u. das a ein ganz best. x-Wert.
>
> Die Gleichung ist gleich, wenn x=0 und a=0
> Das sieht man gleich so.
> Aber korrekterweise muss man sagen:
> Die Gleichung ist MINDESTENS gleich, wenn x=0 und a=0, da
> es vielleicht noch weitere Werte gibt.
> Ich probiere 1 aus
> a=x=1
> dann 1=3-2, d.h. ja 1 geht auch.
> Ich will aber nicht rumprobieren, zu gr. das Risiko, dass
> welche durch die Lappen gehen oder dass das Rumprobieren
> endlos würde. Es muss anders gehen.
>
> Nur das x ist Variable u. das a ein ganz best. x-Wert.
> Demnach ist das a auch ein x-Wert, dann ist
> [mm]x^3=3x^2x[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> [mm]x^3=3x^3[/mm] - [mm]2x^3[/mm]
> [mm]x^3=x^3[/mm] oder [mm]a^3=a^3[/mm]
>
> Ist es überhaupt möglich konkrete Werte rauszubekommen?
>
> (Die ursprgl. Aufg. lautete: Zeige, dass die Tangente die
> Fkt. in (a/f(a)) berührt
> [mm]t(x)=3a^2*x[/mm] - [mm]2a^3[/mm]
> [mm]f(x)=x^3[/mm]
> Um das zu zeigen, müssen
> 1.)
> die Fkt.werte beider Fkt. in a/f(a) gleich sein, also
> t(x)=f(x) und
Nein. Wir reden von der Stelle a, also muss t(a)=f(a) sein.
> 2.)
> die Ableitungen beider müssen in a/f(a) gleich sein)
> t´(x)=3a^2x
Wir reden immer noch von der Stelle a, also muss t'(a)=f'(a) gelten.
>
> Es ist natürlich leichter mit konkreten Werten umzugehen
> (für mich); vielleicht will ich mit dem Kopf durch die
> Wand, wenn ich meine beiden gefundenen Lösungen
> 0 und 1 da unterbringen will. Das geht nur, wenn x=a
> Demnach berührt die Tangente die Fkt. in mind. 2 Stellen.
Wenn du das allgemeine a nicht magst, musst du ersatzweise folgende Aufgaben lösen:
Weise nach, dass [mm]t(x)=3*1^2*x-2*1^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm] an der Stelle x=1 berührt.
Weise nach, dass [mm]t(x)=3*2^2*x-2*2^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm] an der Stelle x=2 berührt.
Weise nach, dass [mm]t(x)=3*7^2*x-2*7^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm] an der Stelle x=7 berührt.
Weise nach, dass [mm]t(x)=3*2.876^2*x-2*2.876^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm] an der Stelle x=2,876 berührt.
...
Damit wärst du immer noch nicht fertig, sondern müsstest noch Millionen analoger Aufgaben lösen und wärst immer noch nicht fertig.
Die Funktion t(x) ist eine lineare Funktion und hat deshalb an jeder Stelle den gleichen Anstieg. Der ist bei meiner ersten zitierten Funktion [mm] $3*1^2$, [/mm] bei der nächsten [mm] $3*2^2$, [/mm] bei der dritten [mm] $3*7^2$ [/mm] und bei der nächsten [mm] $3*2,876^2$.
[/mm]
Bevor wir das jetzt mit unendlich vielen anderen Funktionen machen, schreiben wir vielleicht doch einmal die Funktion t(x) in der allgemein vorgegebenen Form [mm] t(x)=$3*a^2*x-2*a^2$. [/mm] Der Anstieg ist an jeder Stelle (auch an der jeweiligen Stelle x=a) [mm] $3*a^2$.
[/mm]
KJommen wir zu [mm] f(x)=$x^3$. [/mm] Diese Funktion hat an der Stelle x=0 den Anstieg [mm] $3*0^2$, [/mm] an der Stelle x=-7 den Anstieg [mm] $3*(-7)^2$, [/mm] an der Stelle [mm] x=$\pi$ [/mm] den Anstieg [mm] $3*\pi^2$ [/mm] und eben auch an einer beliebigen Stelle x=a den Anstieg [mm] $3*a^2$ [/mm] (das ist der gleiche Anstieg, den t(x) ÜBERALL hat).
Berechne nun für t(x) mal die Funktionswerte für x=0, x=3 und dann auch mal für x=a.
Tue anschließend das Gleiche mit den Funktionswerten von f(x) an der Stelle x=0, x=3 bzw x=a.
Gruß Abakus
>
> Gibt es noch weitere Stellen, ohne Rumprobieren? Wie kriege
> ich das raus?
>
> Für Beantwortung der blauen Frage vielen DANK
> Gruß
> Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Abakus,
vielen DANK für deine Antw., deren Nachvollziehen deiner Anweisungen großes freudiges ahhhhh brachte.
> >1.) t(x)=f(x)
> Nein. Wir reden von der Stelle a, also muss t(a)=f(a) sein.
> >2.) t´(x)=f ´(x)
> Es ist immer noch die Stelle a, also muss t'(a)=f'(a) gelten.
Habe die Abschrift jetzt dahingehend nocheinmal überarbeitet. Doch leider entfällt dann x=a, bzw. das taucht in der Abschrift jetzt nicht mehr auf, vielleicht nur indirekt. Ich erlaube mir meine jetztige Lösung hier als jpg einzustellen mit 2 Fragen
a) Sollte ich das x=a da hinschreiben, wo das rosa Kästchen ist?
b) Ist irgendwo nochwas zu korrigieren?
Zur Frage "welche Bedeutg. hat x=a", sind t(x) und f(x) etwa gleich?
> Zeige, dass [mm]t(x)=3*1^2*x-2*1^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm]
> an der Stelle x=1 berührt.
t(x)= 3x-2
> Zeige, dass [mm]t(x)=3*2^2*x-2*2^3[/mm] die Funktion f(x)=[mm]x^3[/mm]
> an der Stelle x=2 berührt.
t(x)= 12x-16
Das war dann die große Entdeckung mit viel Freude: die allgemeine Tangente ist also eine, durch das a, variable Tangente u. in jedem (a/f(a)) eine andere konkrete Tangente. Whow! Variable Funktionen, das es das auch gibt - einfach toll.
> Kommen wir zu f(x)=[mm]x^3[/mm]. Diese Funktion hat an der Stelle
> x=0 den Anstieg [mm]3*0^2[/mm], an der Stelle x=-7 den Anstieg
> [mm]3*(-7)^2[/mm], an der Stelle x=[mm]\pi[/mm] den Anstieg [mm]3*\pi^2[/mm] und eben
> auch an einer beliebigen Stelle x=a den Anstieg [mm]3*a^2[/mm]
> Berechne nun für t(x) mal die Funktionswerte für x=0,
> x=3 und dann auch mal für x=a.
> Tue anschließend das Gleiche mit den Funktionswerten von
> f(x) an der Stelle x=0, x=3 bzw x=a.
Habe ich gemacht u. zweierlei festgestellt
a) mit x=0 und x=3 kommen immer konkrete Werte raus u. die sind "zufällig" für beide Fkt. gleich
b) x=a ist allgemein [mm] (a/a^3), [/mm] vielleicht sozusagen die "Formel" für alle Lösungen, wo die Tangente f(x) berührt.
Wolltest du mir das damit zeigen; ist es bei mir richtig angekommen? Schieße ich endlich ins Ziel oder doch nur daneben?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Giraffe |
P.S.:
Und kriege ich auch noch in meiner Lösung unter, was Fred gesagt hat?:
> "Vorsicht: $ [mm] x^2=a^2 \gdw [/mm] x= [mm] \pm \wurzel{a^2}= \pm [/mm] |a| $"
Wenn ja, wo?
Ich verstehe das zwar, kann damit aber nicht soviel anfangen. Das gilt doch nur für Gleichungen, nicht aber für Funktionen, dass nach x aufgelöst wird oder?
Brauche ich es oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mi 16.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast folgende Gleichung:
$ [mm] 3x^{2}=3a^{2} [/mm] $
Durch drei zu dividieren, ist noch unproblematisch, danach gilt:
$ [mm] x^{2}=a^{2} [/mm] $
Bedenke nun Freds Tipp, dass
$ [mm] x^{2}=a^{2} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{a^{2}} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x=\pm [/mm] |a| $
Also $ [mm] x_{1}=a, x_{2}=-a [/mm] $
Vielleicht wird es an einem Beispiel deutlicher:
Du hast x²=25, und, da sowohl 5²=25 als auch (-5)²=25 gilt also x=5 oder x=-5
Alternativ über die Binomische Formel:
$ [mm] x^{2}=a^{2} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}-a^{2}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] (x+a)(x-a)=0 $
Jetzt sieht man auch recht gut, dass sowohl a als auch -a Lösungen der Gleichung sind.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mi 16.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Die Ableitungen müssen ja gleich sein,
Äh, wieso?
Grüße
rev
> also gilt:
>
> [mm]3x^{2}=3a^{2}[/mm]
>
>
> Durch drei zu dividieren, ist noch unproblematisch, danach
> gilt:
>
> [mm]x^{2}=a^{2}[/mm]
>
> Bedenke nun Freds Tipp, dass
>
> [mm]x^{2}=a^{2}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{a^{2}}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x=\pm |a|[/mm]
>
> Also [mm]x_{1}=a, x_{2}=-a[/mm]
>
> Vielleicht wird es an einem Beispiel deutlicher:
>
> Du hast x²=25, und, da sowohl 5²=25 als auch (-5)²=25
> gilt also x=5 oder x=-5
>
> Alternativ über die Binomische Formel:
>
> [mm]x^{2}=a^{2}[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow x^{2}-a^{2}=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (x+a)(x-a)=0[/mm]
>
> Jetzt sieht man auch recht gut, dass sowohl a als auch -a
> Lösungen der Gleichung sind.
>
> Marius
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 16.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
> Hallo Marius,
>
> > Die Ableitungen müssen ja gleich sein,
>
> Äh, wieso?
>
> Grüße
> rev
Hast recht, ich hatte Freds Artikel zu schnell überflogen. Ich habe meine Antwort dahingehend korrigiert.
Danke fürs Gegenlesen
Marius
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