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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Laranzu |
Auf Wikepedia bin ich auf folgende 3 zeilen gestoßen, als ich nach einer Rechnugn zur Berechnung eines Kegelstumpfes gescuht habe:
= [mm] \bruch{ (R-r)^2 }{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] *h+ [mm] r^2 [/mm] * [mm] \pi [/mm] *h+r* [mm] \pi [/mm] *h*(R-r)
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] *h*[ [mm] (R-r)^2 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] +r *(R- r)]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \pi [/mm] *h *( [mm] R^2 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] -Rr)
Diese letzen Zeilen sind mir nicht ganz schlüssig, weil ich nicht versteh warum die [mm] \bruch{1}{3} [/mm] aus dem 1. Term herrausgezogen werden dürfen, obwohl dieser Bruch nicht in dem 2. und 3. Term enthalten ist. Nach meiner Auffassung müsst die letzte Zeile lauten:
= [mm] \pi [/mm] *h*( [mm] \bruch{ R^2 + r^2 - 2 R r }{3} [/mm] +Rr)
Ich bitte daher um Aufkälrung. Vielen dank im voraus.
Da du eine deiner ersten Fragen in unserem Forum stellst, würden wir gerne sicher gehen, dass du wenigstens den Abschnitt zu Cross-Postings in unseren Regeln gelesen und verstanden hast.
Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang oder das Ende deiner Frage (abtippen oder kopieren):
* Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
oder
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten Mitgliedern überlassen.
P.S.: Entscheide ggfs. selbst, ob sich die Besucher des fremden Forums über den Hinweis freuen würden, dass die Frage auch hier gestellt wurde.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:57 So 22.01.2006 | | Autor: | bobby86 |
Hallo!
Im obigen Beispiel wurde von 0 - h integriert was die Sache etwas vereinfacht. Ich muss allerdings von a - b integrieren und tue mir damit etwas schwer, weil ich den y-Abschnitt, der Funktion f(x) = (R-r)/(b-a) * x + ??? nicht bestimmen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mo 23.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit antworten. Ich habe deine Frist bereits um 3 Stunden verlängert, aber nun muss ich deine Frage für Interessierte markieren.
Vielleicht hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
liebe grüße
PStefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Do 26.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Auf Wikepedia bin ich auf folgende 3 zeilen gestoßen, als
> ich nach einer Rechnugn zur Berechnung eines Kegelstumpfes
> gescuht habe:
>
>
> = [mm]\bruch{ (R-r)^2 }{3}[/mm] * [mm]\pi[/mm] *h+ [mm]r^2[/mm] * [mm]\pi[/mm] *h+r* [mm]\pi[/mm]
> *h*(R-r)
>
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\pi[/mm] *h*[ [mm](R-r)^2[/mm] + [mm]r^2[/mm] +r *(R- r)]
>
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\pi[/mm] *h *( [mm]R^2[/mm] + [mm]r^2[/mm] -Rr)
>
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> Diese letzen Zeilen sind mir nicht ganz schlüssig, weil ich
> nicht versteh warum die [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus dem 1. Term
> herrausgezogen werden dürfen, obwohl dieser Bruch nicht in
> dem 2. und 3. Term enthalten ist. Nach meiner Auffassung
> müsst die letzte Zeile lauten:
>
> = [mm]\pi[/mm] *h*( [mm]\bruch{ R^2 + r^2 - 2 R r }{3}[/mm] +Rr)
>
> Ich bitte daher um Aufkälrung. Vielen dank im voraus.
>
> Da du eine deiner ersten Fragen in unserem Forum stellst,
> würden wir gerne sicher gehen, dass du wenigstens den
> Abschnitt zu Cross-Postings in unseren Regeln gelesen und
> verstanden hast.
>
> Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang
> oder das Ende deiner Frage (abtippen oder kopieren):
>
> * Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen
> Fragen an.]
> oder
> * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier
> nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir
> deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern
> vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten
> Mitgliedern überlassen.
> P.S.: Entscheide ggfs. selbst, ob sich die Besucher des
> fremden Forums über den Hinweis freuen würden, dass die
> Frage auch hier gestellt wurde.
Hallo Laranzu,
die Vorgehensweise und das Ergebnis überzeugt wirklich nicht ganz, deshalb
sollten wir einmal versuchen, dem ganzen Schritt für Schritt
zu folgen. Vielleicht können wir uns zunächst darauf einigen,
dass die erste Zeile stimmt.
$ V [mm] \,=\, \pi \cdot \int^h_0 \left(\frac{R-r}{h}\cdot x+r\right)^2dx$
[/mm]
Wir rechnen mit Hilfe der 1. binomischen Formel
[mm] $V=\pi \int_0^h(\frac{R-r}{h}*x)^2+2(\frac{R-r}{h}*x*r)+r^2 [/mm] dx$
Jetzt zerpflücken wir das Ganze:
[mm] $V=\pi (\int_0^h(\frac{R-r}{h}*x)^2dx [/mm] + [mm] \int_0^h2(\frac{R-r}{h}*x*r)dx [/mm] + [mm] \int_0^h r^2 [/mm] dx$
Und nun noch weiter:
[mm] $V=\pi ((\frac{R-r}{h})^2*\int_0^h [/mm] x^2dx + 2 [mm] \frac{R-r}{h}*r \int_0^h [/mm] x dx + [mm] r^2 \int_0^h [/mm] 1 dx$
Nun integrieren wir:
[mm] $V=\pi(\frac{R-r}{h})^2*[\frac{x^3}{3}]_0^h+2*\frac{R-r}{h}*r[\frac{x^2}{2}]_0^h+r^2[x]_0^h$
[/mm]
Und vollenden die Integration:
[mm] $V=\pi(\frac{R-r}{h})^2*\frac{h^3}{3}+2*\frac{R-r}{h}*r*\frac{h^2}{2}+r^2*h)$
[/mm]
[mm] $V=\pi(\frac{(R^2-2Rr+r^2)h^3}{3h^2}+2*\frac{(Rr-r^2)*h^2}{2h}+r^2*h)$
[/mm]
[mm] $V=\pi(\frac{(R^2-2Rr+r^2)h}{3}+(Rr-r^2)h+r^2h)$
[/mm]
Jetzt klammern wir $h$ und [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] vor:
[mm] $V=\frac{1}{3}h \pi(R^2-2Rr+r^2+3Rr-3r^2+3r^2)$
[/mm]
[mm] $V=\frac{1}{3}h \pi(R^2+Rr+r^2)$
[/mm]
Du siehst, dass der Fehler bei Wikipedia nicht beim [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] lag, sondern ein
Vorzeichenfehler war. Das von mir errechnete Ergebnis stimmt auch mit der Formel
in meiner Formelsammlung überein. Ich finde es Klasse, dass du die Artikel
nachvollziehst und kritisch hinterfragst ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Do 26.05.2005 | | Autor: | Laranzu |
Einleuchtend. Ich muss feststellen, dass ich das Ergebnis von Wikipedia und das in der Formelsammlung nicht gründlich genung verglichen habe, sonst wäre mir der Fehler aufgefallen. Die Rechnung ist eindeutig und hilft mir weiter in meinen Vorbereitung für die Mündliche. Vielen Dank nochmal.
PS: Was haben wir gelernt? Nicht alles im Internet muss richtig sein und man sollte sich in seiner Rechnung nicht beirren lassen.
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