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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:20 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
| Aufgabe | Eine messbare Massendichte [mm]\rho:\IR^3\to\IR_0^+[/mm] erzeugt in einem Punkt [mm]p\in\IR[/mm] das Gravitationspotential [mm]U(p)=\alpha\integral_{\IR^3}{\bruch{\rho(x)}{\parallel x-p \parallel}dx}[/mm], wobei [mm] \alpha [/mm] die Gravitationskonstante bezeichnet.
Man betrachte die Hohlkugel [mm]K:=\{x\in\IR^3|r\le\parallel x\parallel\le R\}[/mm] mit [mm]0\le r \le R[/mm]. Ihr entspricht die Massendichte [mm]\rho=\I1_K[/mm]. Man berechne das Potential, das von dieser Massendichte erzeugt wird. |
Wir haben diesen Satz im Skript:
"Es sei [mm]f\in L(\IR_0^+)[/mm] und es seien [mm] n\in\IN [/mm] und [mm]0\le r_1 < r_2 < \infty[/mm]. Es sei [mm]h:\IR^n\to\IR_0^+, h(x):=|x|[/mm]. Dann ist auch [mm]f\circ h\in L(K_{r_2}(0))[/mm] und es gilt [mm]\integral_{r_1\le |x|\le r_2}{f\circ h d\lambda} = \integral_{r_1\le |x|\le r_2}{f(|x|)dx}=ne_n\integral_{r_1}^{r_2}{r^{n-1}f(r)dr}[/mm], wobei [mm] e_n [/mm] das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
Und ich bin soweit gekommen:
[mm]U(p)=\alpha\integral_{\IR^3}{\bruch{\I1_K(x)}{\parallel x-p \parallel}dx}=\alpha\integral_{r\le |x| \le R}{\bruch{dx}{\parallel x-p\parallel}}=\alpha\integral_{r\le \parallel y+p\parallel\le R}{\bruch{dy}{\parallel y\parallel}}[/mm].
Nun hab ich aber das Problem, dass ich den Satz nicht anwenden kann, weil ich entweder kein f(|x|) hab (bei dem Integral mit dem x) oder keine passenden Integrationsgrenzen (bei dem Integral mit dem y).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 04.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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