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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 18.01.2006 | | Autor: | d.liang |
| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten P1=(2,1), P2=(4,3), P3=(0,2). Das Dreieck soll um den Winkel 45° um P3 im Uhrzeigersinn gedreht werden.
a) Verwenden Sie homogene Koordinaten und ermitteln Sie die Abbildungsmatrix
b) Wie lauten die Eckpunkte des Dreiecks nach der Ausführung der Abbildung ? |
Ich habe dazu folgende Lösung vorliegen:
a) A = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & -\wurzel{2} \\ - \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} & 2-\wurzel{2} \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
b) P1'=(0.71,-0,12); P2'=(3,54,-0,12) P3'=P3
Was mich jetzt wundert ist, warum eine 3x3 Matrix die Lösung ist. Müsste dazu nicht auch eine Ebene angegeben sein um die rotiert wird ? Ich hätte das so verstanden, dass nur im 2D Raum rotiert wird.
Daher hatte ich versucht die Aufgabe so zu lösen:
P1' = [mm] \pmat{ cos(-45) & -sin(-45) \\ sin(-45) & cos(-45) } \* \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 \\ 2 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & -\bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2} & \bruch{1}{2}\wurzel{2} } \* \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 \\ 2 }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} \* \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \* \pmat{ 2 \\ 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 \\ 2 }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2} \* \pmat{ 1 \\ 3 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 \\ 2 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ \bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{3}{2}\wurzel{2}+2 }
[/mm]
= [mm] \vektor{0,71 \\ 4,12 }
[/mm]
Wie man sieht komme ich zumindest bei der x-Koordinate auf den selben wert wie bei der Lösung, bei der y- Koordinate nicht....
Kann mir jemand sagen was ich falsch mache und warum die Rotationsmatrix eine 3x3 Matrix ist und ich diese dann aufstelle ?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 18.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
das Problem ist, dass Deine Matrix ja eine Drehung um den Ursprung beschreibt, Du aber um P3 drehen sollst.
Die dritte Dimension erklärt sich mit dem Hinweis auf "homogene Koordinaten" - siehe dazu wohl die Vorlesungsunterlagen oder diesen ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel. Die einzelnen Elemente die man braucht sind da dargestellt - zwar mit einer Dimension mehr als wir es jetzt brauchen, aber das ist schnell runterreduziert. Wie man auf die Darstellung kommt kann ich Dir auch nicht sagen, ich habe den Begriff gerade auch das erste mal gesehen......
Auf jeden Fall musst Du wohl so vorgehen:
1. Aufstellen einer Matrix [mm] A_1 [/mm] zur Translation um -2 in y-Richtung
2. Aufstellen der Drehmatrix [mm] A_2 [/mm] um den Ursprung (Drehsinn beachten!)
3. Mit einer Matrix [mm] A_3 [/mm] alles wieder um 2 in y-Richtung schieben
Die gesamte Drehmatrix in homogenen Koordinaten ist dann ja [mm] A_3A_2A_1 [/mm] und die Bildpunkte kriegst Du, indem Du die Ausgangspunkte (wieder in h.K. gewandelt) an die Matrix multiplizierst. Fertig!
Gruß
piet
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