Rotationskörper um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mo 13.11.2017 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.
a) Rotation um die x-Achse
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] im Intervall [1;4]
b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren. |
zu a) Rotationskörper um x-Achse...
V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx}
[/mm]
V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{2}x^2)^2 dx}
[/mm]
V = [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}x^4 dx}
[/mm]
[mm] \pi*[\bruch{1}{20}*x^5] [/mm]
[mm] \pi*(\bruch{1}{2}*4^5 [/mm] - [mm] \bruch{1}{20}*1^5) [/mm] = [mm] \bruch{1023}{20}\pi
[/mm]
richtig?
zu b)
Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse, warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen heraus???
Mache ich etwas falsch?
Danke für eure Hilfe!
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^2
[/mm]
y = [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] | *2
2y = [mm] x^2 [/mm] | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] \wurzel{2y} [/mm] = x <=> [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \wurzel{2y}
[/mm]
Ansatz
V = [mm] \pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy}
[/mm]
V = [mm] \pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy}
[/mm]
V = [mm] \pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy}
[/mm]
[mm] \pi*[y^2] [/mm] = [mm] \pi*[8^2 -0,5^2] [/mm] = [mm] \bruch{255}{4}*\pi
[/mm]
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mo 13.11.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
erste Rechnung richtig.
1. Umkehrfunktion ist y= [mm] \sqrt(2x)
[/mm]
Rotation um die [mm] y-Achse:\pi*\int x^2 [/mm] dy
nun dy=f'(x)*dx mit [mm] f'(x)=2/\sqrt(2x)
[/mm]
also [mm] \int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x) [/mm] nun sieh dir die Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Di 14.11.2017 | | Autor: | hase-hh |
Äh, welche Zeichnung?
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> Äh, welche Zeichnung?
leduart meint sicher die Skizze, welche Du selbstverständlich angefertigt hast.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Di 14.11.2017 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo
> erste Rechnung richtig.
> 1. Umkehrfunktion ist y= [mm]\sqrt(2x)[/mm]
> Rotation um die [mm]y-Achse:\pi*\int x^2[/mm] dy
> nun dy=f'(x)*dx mit [mm]f'(x)=2/\sqrt(2x)[/mm]
also f ' (x) = [mm] 2*\bruch{1}{\wurzel{2x}} [/mm] ok...
> also [mm]\int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x)[/mm]
Wie kommst du auf [mm] x^2 [/mm] ???
nun sieh dir die
> Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart
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> > Hallo
> > erste Rechnung richtig.
> > 1. Umkehrfunktion ist y= [mm]\sqrt(2x)[/mm]
Diese Funktion, [mm] g(x)=\wurzel{2x} [/mm] soll nun um die y-Achse rotieren.
[mm] V=\integral_{...}^{...}(g^{-1}(y))^2 [/mm] dy
leduart substituiert nun [mm] x=g^{-1}(y)
[/mm]
> > Rotation um die [mm]y-Achse:\pi*\int x^2[/mm] dy
> > nun dy=f'(x)*dx mit [mm]f'(x)=2/\sqrt(2x)[/mm]
>
> also f ' (x) = [mm]2*\bruch{1}{\wurzel{2x}}[/mm] ok...
>
> > also [mm]\int x^2 dy=\int x^2 *2/\sqrt(2x)[/mm]
>
> Wie kommst du auf [mm]x^2[/mm] ???
Durch die Substitution [mm] x=g^{-1}(y).
[/mm]
[mm] y=g(x)=\wurzel{2x}
[/mm]
dy= ...
LG Angela
>
> nun sieh dir die
> > Grenzen am besten auf der Zeichnung an, Gruß leduart
>
>
>
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> Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.
>
> a) Rotation um die x-Achse
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] im Intervall [1;4]
>
> b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren.
>
> zu a) Rotationskörper um x-Achse...
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx}[/mm]
> [...
> [mm]\bruch{1023}{20}\pi[/mm]
>
>
> richtig?
>
>
> zu b)
>
> Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse,
> warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen
> heraus???
Es sollte in der Tat dasselbe herauskommen.
>
> Mache ich etwas falsch?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] | *2
>
>
> 2y = [mm]x^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2y}[/mm] = x <=> [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\wurzel{2y}[/mm]
Okay, die Umkehrfunktion g von f ist gefunden,
es [mm] g(x)=\wurzel{2x}, x\in [/mm] [f(1),f(4)]= [0.5,8]
Die Funktion g soll nun um die y-Achse rotieren, also ist zu berechnen
V = [mm]\pi*\integral_{g(0.5)}^{g(8)}{(g^{-1}(y)^2 dy}[/mm],
und so sollte es dann auch klappen.
Dein Fehler war, daß Du nicht die Umkehrfunktion von f um die y-Achse rotieren ließest, sondern die Funktion f selbst.
LG Angela
>
>
> Ansatz
>
> V = [mm]\pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy}[/mm]
>
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy}[/mm]
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy}[/mm]
>
> [mm]\pi*[y^2][/mm] = [mm]\pi*[8^2 -0,5^2][/mm] = [mm]\bruch{255}{4}*\pi[/mm]
>
>
> ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Di 14.11.2017 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
d.h. ich bilde die Umkehrfunktion (Aufgabenstellung), und weil ich diese dann um die y-Achse rotiere, bilde ich dazu wiederum die Umkehrfunktion!?
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> Moin,
>
> d.h. ich bilde die Umkehrfunktion (Aufgabenstellung), und
> weil ich diese dann um die y-Achse rotiere, bilde ich dazu
> wiederum die Umkehrfunktion!?
Ja,genau!
LG Angela
>
>
>
>
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> Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers.
>
> a) Rotation um die x-Achse
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] im Intervall [1;4]
>
> b) Die Umkehrfunktion soll nun um die y-Achse rotieren.
>
> zu a) Rotationskörper um x-Achse...
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{2}x^2)^2 dx}[/mm]
>
>
> V = [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}x^4 dx}[/mm]
>
> [mm]\pi*[\bruch{1}{20}*x^5][/mm]
>
> [mm]\pi*(\bruch{1}{2}*4^5[/mm] - [mm]\bruch{1}{20}*1^5)[/mm] =
> [mm]\bruch{1023}{20}\pi[/mm]
>
>
> richtig?
>
>
> zu b)
>
> Wenn ich die Umkehrfunktion um die y-Achse rotieren lasse,
> warum kommt dann (hier) nicht dasselbe Rotationsvolumen
> heraus???
>
> Mache ich etwas falsch?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] | *2
>
>
> 2y = [mm]x^2[/mm] | [mm]\wurzel{}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{2y}[/mm] = x <=> [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\wurzel{2y}[/mm]
>
>
Wenn wir mal mit x und y (statt mit f) arbeiten, hattest du zu Beginn y = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] und nach deiner Umformung
[mm] x=\wurzel{2y}.
[/mm]
Das ist aber noch keine Umkehrfunktion, sondern nur eine Umstellung der Ausgangsfunktion nach x!!!
Die Umkehrfunktion ergib sich nun daraus, dass du (vor oder nach der Umstellung) die Variablen x und y gegeneinander austauscht:
[mm] y=\wurzel{2x}
[/mm]
Die lässt du nun um die y-Achse rotieren, und dazu musst du in der Formel für den Rotationskörper auch überall x und y vertauschen:
Statt V = [mm]\pi*\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 dx}[/mm] nun V = [mm]\pi*\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 dy}[/mm] = ...(mit [mm] y=\wurzel{2x}, [/mm] NICHT [mm] x=\wurzel{2y}) [/mm] ...= [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{4}y^4 dy}[/mm]
Und da steht nun das selbe Integral wie oben, nur mit dem Buchstaben y statt x, und deshalb kommt auch das selbe heraus. Und das ganz ohne Substitution...
> Ansatz
>
> V = [mm]\pi*\integral_{f(1)}^{f(4)}{(f^{-1})^2 dy}[/mm]
>
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{(\wurzel{2y})^2 dy}[/mm]
>
> V = [mm]\pi*\integral_{0,5}^{8}{2y dy}[/mm]
>
> [mm]\pi*[y^2][/mm] = [mm]\pi*[8^2 -0,5^2][/mm] = [mm]\bruch{255}{4}*\pi[/mm]
>
>
> ???
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