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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 09.05.2012 | | Autor: | orell |
Hallo,
Ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem, d.h. ich komme nicht auf die richtige Lösung.
Kann mir bitte jemand einen Hinweis geben wo mein Überlegungsfehler ist.?
Aufgaben
[mm]
y =& \frac{x^3-1}{x^2}
[/mm]
a) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Geraden y=x, der x-Achse und der Kurve im ersten Quadraten.
Diese Teilaufgabe konnte ich lösen (Ergebnis 1.5)
b) Zeigen Sie, dass das Volumen des Rotationskörpers, der beim Rotieren der Fläche in Aufgabe a) um die x-Achse entsteht, endlich ist.
Meine Überlegung:
Ich bilde den den Rotationskörper im Intervall [mm]1...\infty[/mm] indem ich den Rotationskörper der äussern Funktion vom Rotationskörper der inneren Funktion subtrahiere.
[mm]
\pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^2 dx - \pi \cdot \int _{1} ^{\infty}\bigl( \ \frac{x^3-1}{x^2}\bigr)^{2} dx
[/mm]
[mm]
\pi \cdot \bigl( \int_{1}^{\infty} x^2 - \bigl( \ \frac{x^3-1}{x^2}\bigr)^{2} dx \bigr)
[/mm]
Wenn ich diese Integral so bilde und die entsprechenden Grenzen eingebe, dann strebt mein Erbenis gegen [mm]\infty[/mm].
Die korrekte Lösung für Teilaufgabe b wäre aber [mm] \frac{2}{3}\pi[/mm]
Kann mir bitte jemand einen Hinweis geben, wo sich bei mir hier ein Fehler eingeschlichen hat, ich sehs nicht unb bin kurz vor dem Durchdrehen.
Vielen Dank schon jetzt
Orell
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo orell,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst erst die "Gerade von der Funktion abziehen" (oder umgekehrt  ), bevor Du quadrierst und integrierst:
$A \ = \ [mm] \integral_1^{\infty}{\left(x-\bruch{x^3-1}{x^2}\right)^2 \ dx} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 09.05.2012 | | Autor: | orell |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank für deine schnelle Antwort! Wenn ich, wie Du vorschlägst zuerst quadriere, addiere und dann integriere komme ich tatsächlich auf auf das Resultat, das in meinen Lösungen angegeben wird.
Nur verstehe ich nicht, was an meiner ursprünglichen Idee falsch ist.
meine Idee
[mm]
V = \pi \int _{a} ^{b} \underbrace{ (f_{(x)} )^{2}}_{Fu. \ aussen} dx - \pi \int _{a} ^{b} \underbrace{ (g_{(x)})^{2}}_{Fu. \ innen} dx
[/mm]
Wo liegt hier der Fehler?
Ich sehe natürlich, dass dies nicht das Selbe ist wie:
[mm]
V= &\int _{a} ^{b} (f_{(x)} - g_{(x)})^{2}dx
[/mm]
Wenn ich selbstbewusster wäre würde ich Dir (und meinem Lösungsheft ;) ) widersprechen.
Danke schon jetzt für Tipps,
orell
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo orell,
ich sehe das genauso wie Du. Man nimmt sozusagen den Kegel und fräst den anderen Rotationskörper heraus. Dazu muss man die Körper einzeln berechnen. Die quadrierte Differenz, die der Lösung zugrundeliegt, beschreibt einen völlig anderen Körper!
Versuch Dir den mal vorzustellen.
Grüße
reverend
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> Hallo Roadrunner,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort! Wenn ich, wie Du
> vorschlägst zuerst quadriere, addiere und dann integriere
> komme ich tatsächlich auf auf das Resultat, das in meinen
> Lösungen angegeben wird.
Hallo,
.
Ich komme auch dann nicht auf das angegebene Ergebnis. Ich bekomme bloß [mm] \bruch{1}{3}\pi. [/mm] Übersehe ich etwas?
>
> Nur verstehe ich nicht, was an meiner ursprünglichen Idee
> falsch ist.
>
> meine Idee
> [mm]V = \pi \int _{a} ^{b} \underbrace{ (f_{(x)} )^{2}}_{Fu. \ aussen} dx - \pi \int _{a} ^{b} \underbrace{ (g_{(x)})^{2}}_{Fu. \ innen} dx[/mm]
>
> Wo liegt hier der Fehler?
>
>
> Ich sehe natürlich, dass dies nicht das Selbe ist wie:
> [mm]V= &\int _{a} ^{b} (f_{(x)} - g_{(x)})^{2}dx[/mm]
>
> Wenn ich selbstbewusster wäre würde ich Dir (und meinem
> Lösungsheft ;) ) widersprechen.
Ich bin mir Dir und dem reverend einig.
Machen wir eine große Abstimmung?
Oder überzeugen wir bloß den Roadrunner?
Die Figur, die Du berechnen sollst, hat als Querschnitt, wenn man sie parallel zur yz-Ebene durchschneidet, einen Kreisring mit Außenradius f(x) und Innenradius g(x).
Die Figur, die man mit $V= [mm] &\int [/mm] _{a} ^{b} [mm] (f_{(x)} [/mm] - [mm] g_{(x)})^{2}dx$ [/mm] berechnet, hat als Querschnitt einen Kreis mit Radius [mm] f_{(x)} [/mm] - [mm] g_{(x)}, [/mm] und das ist überhaupt nicht das Gewünschte, und die Querschnittflächen der beiden Figuren haben keinesfalls denselben Flächeninhalt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mi 09.05.2012 | | Autor: | orell |
Hallo Angela,
> Ich komme auch dann nicht auf das angegebene Ergebnis. Ich
> bekomme bloß [mm]\bruch{1}{3}\pi.[/mm] Übersehe ich etwas?
zusätzlich ergibt sich noch [mm]\bruch{1}{3}\pi[/mm] für das Intervall [0...1] zusammen also [mm] \frac{2}{3} \pi [/mm]
Danke noch für Deine Antwort
orell
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Do 10.05.2012 | | Autor: | orell |
Hallo,
Es soll laut Aufgabe gezeigt werden, dass folgendes gilt:
Die Fläche (1.5) zwischen den beiden Funktionen und der x-Achse wird um die x-Achse rotiert. Zeigen Sie, dass das entstehende Volumen endlich ist.
Das Volumen des Rotationskörper im Intervall [0...1] berechnete ich rein geometrisch (Kegel mit Spitze), im Intervall [mm]]0... \infty [ [/mm] benütze ich das erwähnte Integral.
orell
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
