Rotation einer Ebene im Raum < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, jedoch an einer ähnlichen Diskussion hier im Forum teilgenommen (https://matheraum.de/read?t=218789).
Hallo zusammen!
(zuerst eine kleine Vorgeschichte, damit das Problem evtl. klarer werden kann, sie ist allerdings nicht unbedingt nötig für die Problemstellung...)
Ich habe vor, ein script für ein 3D-Programm zu schreiben, das Pflanzen, nach von mir bereits festgestellten Regeln, generieren soll.
In diesem Script soll jeder einzelne Ast von einem Vektor kontrolliert werden, das heißt die länge des Vektors definiert auch die Astlänge, die Ausrichtung des Vektors definiert die Ausrichtung des Astes usw...
Hier gehts los:
Damit der Ast auch Rund wird, habe ich nun eine Schleife in dem Programm geschrieben, die die einzelnen Koordinaten eines Kreises mit dem Radius r auf einer Ebene (lokale x,y - Koordinaten) in der Höhe "H" (=Länge des Vektors) herausfindet. Als Beispiel verwende ich hier als Länge des Vektors = 3.
Nun wird dieser Vektor aber in der Realität so-gut-wie-nie [mm] \vektor{0\\0\\3} [/mm] sein, da die Äste eines Baumes eben nicht alle senkrecht stehen.
Deshalb muss ich die Ebene, auf der sich der Kreis befindet, im Raum um den Mittelpunkt (Schaft des Vektors) mit dem Radius "H" ( Länge des Vektors) herum drehen könenn. Der Vektor des Astes müsste demnach der Normalvektor zur Ebene sein (hoffe ich).
Dadurch verändern sich natürlich alle Koordinaten der Punkte des Kreises wieder. (Der Übersichtlichkeit halber habe ich die ursprünglich Koordinaten lokale Koordinaten genannt, die schließlich herauskommen sollen sin dann die globalen!)
Da ich noch nie Vektorrechnung hatte, habe ich zuerst versucht diese Aufgabe rein mit Trigonometrie zu lösen, allerdings stimmte da meistens mehr als die Hälfte von den Ergebnissen nicht (aber immerhin ein Teil funktionierte, sollte sich also jemand die Mühe machen, mir auf trigonemetrischer Basis zu helfen, kann ich gerne die Ergebniss meiner bisherigen Anstrengungen hier rein stellen)
Um das ganze noch einmal etwas kürzer zusammen zu fassen:
Ich würde gerne die x,y,z- Koordinaten eines Kreises, auf einer Ebene, die normal zu einem gegeben dreidimensionalen Vektor steht berechnen.
Da ich die Koordinaten in dem Programm nur Komponentenweise ausrechnen kann, währe ich froh über eine herleitung mit den einzelnen komponenten...
Soooh... ich hoffe ihr seid bis hierhin gekommen :) und wollte abschließend noch eine Anmerkung machen:
Da ich, wie schon erwähnt noch nicht viel Erfahrung mit Vektoren habe, währe ich froh, wenn ihr zu den einzelnen Schritten einen kleinen Erklärungssatz oder wenigstens einen Begriff schreibt, der mich dann über Internetrecharchen zum Verständniss des Schrittes führen kann.
mit freundlich Grüßen
Discovery
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 10.02.2008 | | Autor: | weduwe |
vielleicht hilft dir das
kreis in 3D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:13 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Discovery |
Danke für den Link, aber den Querverweis auf die Diskussion hab ich ja bereits hingeschrieben, also ich hab an der Diskussion (kreis im 3D Raum) teilgenommen. Nur, dass ichs leider nicht so ganz verstanden habe, weil ich das mit den Ebenen und Spannvektoren nicht auf die Reihe kriege.
Deine Antworten bei dem kreis im 3D Raum haben mir schon an einigen Stellen sehr viel weitergeholfen, nur bei den Ebenen hakt es noch.
Da das allerdings nicht mehr unbedingt zum Problem selbst gehörte, habe ich lieber mal nen neues Diskussionsthema gemacht und außerdem die komplette "Aufgabenstellung" hingeschrieben, weil ich nicht mehr ganz sicher war, ob die "Aufgabenstellung" bei den Beiden Diskussionen wirklich die gleiche war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mo 11.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Danke für den Link, aber den Querverweis auf die Diskussion
> hab ich ja bereits hingeschrieben, also ich hab an der
> Diskussion (kreis im 3D Raum) teilgenommen. Nur, dass ichs
> leider nicht so ganz verstanden habe, weil ich das mit den
> Ebenen und Spannvektoren nicht auf die Reihe kriege.
> Deine Antworten bei dem kreis im 3D Raum haben mir schon
> an einigen Stellen sehr viel weitergeholfen, nur bei den
> Ebenen hakt es noch.
> Da das allerdings nicht mehr unbedingt zum Problem selbst
> gehörte, habe ich lieber mal nen neues Diskussionsthema
> gemacht und außerdem die komplette "Aufgabenstellung"
> hingeschrieben, weil ich nicht mehr ganz sicher war, ob die
> "Aufgabenstellung" bei den Beiden Diskussionen wirklich die
> gleiche war.
ist zwar egal, aber den querverweis hast du nicht hingeschrieben.
nun ist es mir allerdings nicht klar, wo genau es zwickt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
ich werde mal versuchen das für einen ohne große Vektorrechnungvorkentnisse zu beschreiben.
Erstmal brauchst du einen Mittelpunkt [mm] M(m_1,m_2,m_3) [/mm] und deinen senkrechten (normalen) Vektor [mm] \vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3}.
[/mm]
Nun müssen wir die Ebene beschreiben in die der Kreis soll.
Dazu nehmen wir zwei zu [mm] \vec{n} [/mm] senkrechte Vektoren [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w}.
[/mm]
[mm] \vec{v} [/mm] gerieren wir durch tauschen des Vorzeichens einer Koordinate [mm] \not= [/mm] 0 und tauschen diese dann mit einer anderen Koordinate. Die übrigbleibende Kood. wird einfach 0.
z.B. [mm] \vektor{1\\2\\3} \to \vektor{2\\-1\\0} [/mm] dann gilt [mm] \vektor{1\\2\\3}*\vektor{2\\-1\\0}=1*2+2*(-1)+3*0=0 \Rightarrow [/mm] rechtwinklig
[mm] \vec{w} [/mm] kann man nun [mm] \vec{n}\times\vec{v} [/mm] setzen. (Wobei [mm] \times [/mm] das Vektorprodukt, in jeder Formelsammlung steht.)
Dann sind alle Vektoren untereinander jeweis rechtwinklig.
D.h. v und w sind quasi deine x- und y-Achse der Ebene, in die der Kreis soll.
Damit der Kreis keine Ellipse wird, müssen v und w die Länge 1 haben.
Du musst sie (jeweils alle Koordinaten) also mit [mm] \bruch{1}{Laenge} [/mm] multiplizieren. Dabei ist [mm] Laenge(v)=\wurzel{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
[/mm]
Ein Punkt auf dem Kreis ist dann :
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{m_1\\m_2\\m_3}+\bruch{sin(\alpha)}{Laenge(v)}*v+\bruch{cos(\alpha)}{Laenge(w)}*w
[/mm]
d.h. [mm] x=m_1+\bruch{sin(\alpha)}{Laenge(v)}*v_1+\bruch{cos(\alpha)}{Laenge(w)}*w_1 [/mm] , usw.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Discovery |
Vielen Dank für die ausfürliche und sehr einleuchtende Erklärung, jetzt hab ich es verstanden.
@weduwe: Mir war nicht klar, wie man auf die Spannvektoren normal zu meinem gegeben Vektor kommt (also das Austauschen der Koordineten) bzw. das v und w dann (quasi) meine x- und y- Achse der Ebene sind.
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