Forum "Physik" - Rolle, Seil mit Masse - ev.vorhilfe.de

- Förderverein -

Der Förderverein. Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Impressum

Forenbaum

VH e.V.

Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Suchen
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Physik" - Rolle, Seil mit Masse

Rolle, Seil mit Masse < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Physik" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Rolle, Seil mit Masse: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:53 Sa 24.11.2018
Autor:	nosche

Aufgabe

 Zwei Körper gleicher Masse m = 50 kg seien durch ein massebehaftetes Seil über eine Umlenkrolle (vernachlässigbarer Ausdehnung) miteinander verbunden. Das Seil habe eine Länge von 20 m und eine Masse von 20 kg. Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung für die Koordinate [mm] x_{1}(t) [/mm] des Körpers [mm] K_{1} [/mm] auf (siehe Skizze; [mm] x_{1} [/mm] = 0 entspricht gleicher Höhe der Körper). Lösen Sie diese durch den Ansatz [mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm] und bestimmen Sie die Unbekannten A und B aus den beiden Anfangsbedingungen [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 und [mm] v_{1}(0) [/mm] = [mm] v_{10} [/mm] = 0. 

[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich schlage die Teilmassen des Seils den Körpern K1 und K2 zu.
Mit F als Seilkraft erhalte ich folgendes System:

F + m1*a = m1*g
F - m2*a = m2*g

dabei ist berücksichtigt, das die Körper betragsmäßig gleich aber in unterschiedliche Richtungen (m1 nach oben) beschleunigt werden.

das zugehörige GLS:

F  a  | rS
----------
1  m1  m1*g
1 -m2  m2*g

det = [mm] \vmat{ 1 & m1 \\ 1 & -m2 } [/mm] = -m1 -m2
det(a) = [mm] \vmat{ 1 & m1*g \\ 1 & m2*g } [/mm] = (m2 - m1)*g

[mm] a=\bruch{(m2 - m1)}{-m1 -m2}*g [/mm] = [mm] \bruch{m1-m2}{m1+m2}*g [/mm]

Berücksichtigen der Seilmasse ms mit der Seillänge l bei einer Auslenkung x:
[mm] m_{1} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}-x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{m_{s}}{l}x [/mm]
[mm] m_{2} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}+x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{m_{s}}{l}x [/mm]

[mm] m_{1} [/mm] - [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2\bruch{m_{s}}{l}x [/mm]
[mm] m_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2m+m_{s} [/mm]

[mm] a=\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*x [/mm]

nun die DGL,
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm]
[mm] v(t)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{ct} [/mm] - [mm] Be^{-ct}) [/mm]
[mm] a(t)=\ddot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] c^{2}x_{1}(t) [/mm]

[mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm]

für c gilt dann
[mm] c^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l} [/mm]
c = [mm] \wurzel{\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}} [/mm]

mit Einsetzen der Werte: c = 0.4043

Anfangsbedinung: [mm] v_{1}(0)=0; [/mm]
[mm] v(0)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{c0} [/mm] - [mm] Be^{-c0}) [/mm]
also: A=B

[mm] c^{2}A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct}) [/mm]

hier steht nun auf beiden Seiten das Gleiche, und ich weiß nicht wie ich die Anfangsbedingung [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 verwenden kann.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]

Bezug

Rolle, Seil mit Masse: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:34 Sa 24.11.2018
Autor:	HJKweseleit

> Zwei Körper gleicher Masse m = 50 kg seien durch ein
> massebehaftetes Seil über eine Umlenkrolle
> (vernachlässigbarer Ausdehnung) miteinander verbunden. Das
> Seil habe eine Länge von 20 m und eine Masse von 20 kg.
> Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung für die
> Koordinate [mm]x_{1}(t)[/mm] des Körpers [mm]K_{1}[/mm] auf (siehe Skizze;
> [mm]x_{1}[/mm] = 0 entspricht gleicher Höhe der Körper). Lösen
> Sie diese durch den Ansatz [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct}[/mm]
> und bestimmen Sie die Unbekannten A und B aus den beiden
> Anfangsbedingungen [mm]x_{1}(0)[/mm] = [mm]x_{10} \not=[/mm] 0 und [mm]v_{1}(0)[/mm] =
> [mm]v_{10}[/mm] = 0.
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich schlage die Teilmassen des Seils den Körpern K1 und K2
> zu.
>  Mit F als Seilkraft erhalte ich folgendes System:
>
> F + m1*a = m1*g
>  F - m2*a = m2*g
>
> dabei ist berücksichtigt, das die Körper betragsmäßig
> gleich aber in unterschiedliche Richtungen (m1 nach oben)
> beschleunigt werden.
>
> das zugehörige GLS:
>
> F  a  | rS
>  ----------
>  1  m1  m1*g
>  1 -m2  m2*g
>
> det = [mm]\vmat{ 1 & m1 \\ 1 & -m2 }[/mm] = -m1 -m2
>  det(a) = [mm]\vmat{ 1 & m1*g \\ 1 & m2*g }[/mm] = (m2 - m1)*g
>
> [mm]a=\bruch{(m2 - m1)}{-m1 -m2}*g[/mm] = [mm]\bruch{m1-m2}{m1+m2}*g[/mm]
>
> Berücksichtigen der Seilmasse ms mit der Seillänge l bei
> einer Auslenkung x:
>  [mm]m_{1}[/mm] = m + [mm]\bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}-x)[/mm] = m +
> [mm]\bruch{m_{s}}{2}[/mm] - [mm]\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>  [mm]m_{2}[/mm] = m + [mm]\bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}+x)[/mm] = m +
> [mm]\bruch{m_{s}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>
> [mm]m_{1}[/mm] - [mm]m_{2}[/mm] = [mm]2\bruch{m_{s}}{l}x[/mm]
>  [mm]m_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm] = [mm]2m+m_{s}[/mm]
>
> [mm]a=\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*x[/mm]

Das geht aber viel einfacher: Sei [mm] \rho [/mm] die "Massendichte" pro Länge, also [mm] \rho [/mm] = [mm] m_{Seil}/l_{Seil} [/mm] = 1 kg/m. Dann gilt:

Beschleunigende Kraft = [mm] \rho* [/mm] Seillängenunterschied*g = [mm] \rho*2x*g [/mm]
Beschleunigte Masse = [mm] 2m+m_S [/mm]

F=m*a [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] a=\bruch{2\rho*g}{2m+m_S}x=\bruch{g}{60m}x [/mm]

>
>
> nun die DGL,
>  [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct}[/mm]
> [mm]v(t)=\dot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c(Ae^{ct}[/mm] - [mm]Be^{-ct})[/mm]
> [mm]a(t)=\ddot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c^{2}(Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct})[/mm] =
> [mm]c^{2}x_{1}(t)[/mm]
>
> [mm]c^{2}(Ae^{ct}[/mm] + [mm]Be^{-ct})[/mm] =
> [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*(Ae^{ct}[/mm] +
> [mm]Be^{-ct})[/mm]
>
> für c gilt dann
>  [mm]c^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}[/mm]
>  c = [mm]\wurzel{\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}}[/mm]

>
> mit Einsetzen der Werte: c = 0.4043
>
> Anfangsbedinung: [mm]v_{1}(0)=0;[/mm]
>  [mm]v(0)=\dot{x}_{1}(t)[/mm] = [mm]c(Ae^{c0}[/mm] - [mm]Be^{-c0})[/mm]
>  also: A=B

>
> [mm]c^{2}A(e^{ct}[/mm] + [mm]e^{-ct})[/mm] =
> [mm]\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*A(e^{ct}[/mm] + [mm]e^{-ct})[/mm]
>
> hier steht nun auf beiden Seiten das Gleiche, und ich weiß
> nicht wie ich die Anfangsbedingung [mm]x_{1}(0)[/mm] = [mm]x_{10} \not=[/mm]
> 0 verwenden kann.
>
>

Du hast jetzt x(t) =  [mm] A(e^{ct}+e^{-ct}) [/mm]

Es ist [mm] x(0)=2A=x_{10} [/mm] und damit [mm] A=x_{10}/2, [/mm] also

x(t) =  [mm] \bruch{x_{10}}{2}(e^{ct}+e^{-ct}) [/mm] (coshyp-Funktion)

Bezug

Rolle, Seil mit Masse: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	08:44 Mo 26.11.2018
Autor:	nosche

herzlichen Dank für den finalen Zündfunken

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Physik" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

ev.vorhilfe.de[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]