Ringsysteme II < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 15.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe 1 | Sei X eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
(1) [mm] \mathcal{A} [/mm] := {A [mm] \subseteq [/mm] X : A endlich oder [mm] A^{c} [/mm] endlich} ist ein Ringsystem. |
| Aufgabe 2 | | (2) Die Abbildung [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to \overline{\IR} [/mm] A [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ endlich ist} \\ \infty, & \mbox{falls } A^{c} \mbox{ endlich ist} \end{cases} [/mm] ist ein Inhalt aber kein Prämaß. |
Hallo,
die erste Aufgabe der Ringe ist ja in vollem Gange nun kommt noch die zwote :D
Danke @Tobias für die freundliche Begrüßung (Korrektur und Hilfe...)
nun zur (1)
nochmal die Definition der Ringsysteme :
a: [mm] \rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset
[/mm]
b: A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
c: A \ B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
wobei A,B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
i.W. Wir haben [mm] \mathcal{A} [/mm] (ein EreignisSystem) das aus der echten Teilmenge A von der abzählbar unendlichen Menge X besteht und dessen Komplement [mm] A^{c}
[/mm]
...für mich heisst das X ist zB [mm] \in \IN [/mm] und A := [mm] {[a_{1},a_{j})} \Rightarrow A^{c} [/mm] := [mm] [a_{j},a_{n}]
[/mm]
denn ein Ringsys soll ja [mm] \cup-stabil [/mm] sein und die Bedingungen eines Prämaß erfüllen.
Tja und dafür muss ich jetzt Beispiele finden....vorrausgesetzt die Theorie ist schon soweit dafür!?!?
Ich hoffe das könnt ihr mir sagen :D
Danke
Gruß LuD
______________________________________
[mm] \pi_{Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:59 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo D.Luigi!
> Sei X eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
>
> (1) [mm]\mathcal{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$A [mm]\subseteq[/mm] X : A endlich oder [mm]A^{c}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> endlich$\}$ ist ein Ringsystem.
> (2) Die Abbildung [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{A} \to \overline{\IR}[/mm]
> A [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ endlich ist} \\ \infty, & \mbox{falls } A^{c} \mbox{ endlich ist} \end{cases}[/mm]
> ist ein Inhalt aber kein Prämaß.
> nun zur (1)
> nochmal die Definition der Ringsysteme :
>
> a: [mm]\rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset[/mm]
> b: A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> c: A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> wobei A,B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Da bist du wohl gedanklich noch bei der anderen Aufgabe...
[mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] kommt hier nirgends vor.
Zu zeigen ist, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ein Ringsystem ist, also dass
a: [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$
[/mm]
b: [mm] $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}$
[/mm]
c: [mm] $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}$
[/mm]
gilt.
> i.W. Wir haben [mm]\mathcal{A}[/mm] (ein EreignisSystem) das aus der
> echten Teilmenge A von der abzählbar unendlichen Menge X
> besteht und dessen Komplement [mm]A^{c}[/mm]
Nein, du hast offenbar die Definition von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] völlig missverstanden.
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] besteht aus unendlich vielen Teilmengen von $X$, nämlich aus allen endlichen Teilmengen von $X$ sowie allen Teilmengen von $X$, deren Komplement endlich ist.
> ...für mich heisst das X ist zB [mm]\in \IN[/mm]
$X$ ist eine (abzählbar unendliche) Menge, keine natürliche Zahl.
> und A :=
> [mm]{[a_{1},a_{j})} \Rightarrow A^{c}[/mm] := [mm][a_{j},a_{n}][/mm]
Mir ist ein Rätsel, was du mit diesen Notationen beabsichtigst.
Wenn du an ein Beispiel denken möchtest: Nimm [mm] $X=\IN_0$.
[/mm]
Dann sind z.B. [mm] $\emptyset$, $\{37\}$, $\{1,4,8,9\}$ [/mm] endliche Teilmengen von $X$ und somit Elemente von [mm] $\mathcal{A}$.
[/mm]
Die Menge [mm] $A=\{n\in\IN\;|\;n\ge 5\}$ [/mm] aller natürlichen Zahlen, die [mm] $\ge [/mm] 5$ sind, ist ein Beispiel für eine Teilmenge von $X$, deren Komplement [mm] $A^c=\{0,1,2,3,4\}$ [/mm] endlich ist. Somit gilt auch [mm] $\{n\in\IN\;|\;n\ge 5\}\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Ein Beispiel für eine Teilmenge von [mm] $\IN_0$, [/mm] die nicht in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] liegt, wäre z.B. die Menge [mm] $B=\{n\in\IN_0\;|\;n\text{ gerade}\}$ [/mm] aller geraden natürlichen Zahlen. Denn weder $B$ ist endlich, noch die Menge [mm] $B^c=\{n\in\IN\;|\;n\text{ ungerade}\}$ [/mm] aller ungeraden natürlichen Zahlen.
> denn ein Ringsys soll ja [mm]\cup-stabil[/mm] sein
Ja, Ringsysteme sind [mm] $\cup$-stabil.
[/mm]
Was das jetzt mit dem von dir betrachteten Beispiel zu tun haben soll, erschließt sich mir nicht.
> und die
> Bedingungen eines Prämaß erfüllen.
Ein Ringsystem ist doch kein Prämaß!
Ein Ringsystem ist ein spezielles Mengensystem, d.h. eine Menge von Teilmengen einer Menge [mm] $\Omega$.
[/mm]
Ein Prämaß ist hingegen eine spezielle Abbildung von einem Mengensystem nach [mm] $\overline{\IR}$.
[/mm]
> Tja und dafür muss ich jetzt Beispiele
> finden....
Wofür suchst du Beispiele?
In der Aufgabenstellung sind keine Beispiele verlangt.
> vorrausgesetzt die Theorie ist schon soweit
> dafür!?!?
Was meinst du damit?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 16.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
Ja [mm] \rho(\mathcal{H} [/mm] kommt hier nicht vor. Ein [mm] \mathcal{H}albringsystem [/mm] ist allerdings auch Vorraussetzungen für einen Ring, siehe a:,b:,c: und mir war nicht bewusst dass ich diese Bediengungen nicht prüfen muss. (gut dann fällt das untern Tisch :)
| Aufgabe | (1)
[mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{[/mm]A [mm]\subseteq[/mm] X : A endlich oder [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Ringsystem ist, also muss gelten:
a: [mm] \mathcal{A}\not=\emptyset [/mm]
b: [mm] A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A} [/mm]
c: [mm] A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A} [/mm] |
(1) _ a:
> [mm]\mathcal{A}[/mm] besteht aus unendlich vielen Teilmengen von [mm]X[/mm],
> nämlich aus allen endlichen Teilmengen von [mm]X[/mm] sowie allen
> Teilmengen von [mm]X[/mm], deren Komplement endlich ist.
also ist [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra und da $ A$ und [mm] A^{c} [/mm] definitiv enthalten sind ist Punkt a: [mm] \mathcal{A} \not= \emptyset [/mm] schon erfüllt
(ausser [mm] A={\emptyset}, [/mm] dann wäre [mm] A^{c} [/mm] eine abzählbar unendliche Menge
und das dürfte als [mm] A_{1} [/mm] := { [mm] \emptyset, \Omega [/mm] } zu schreiben sein) ?!?
>> [mm]{[a_{1},a_{j})} \Rightarrow A^{c}[/mm] := [mm][a_{j},a_{n}][/mm]
> Mir ist ein Rätsel, was du mit diesen Notationen beabsichtigst.
(1) _ b:
> > denn ein Ringsys soll ja [mm]\cup-stabil[/mm] sein
> Ja, Ringsysteme sind [mm]\cup[/mm]-stabil.
> Was das jetzt mit dem von dir betrachteten Beispiel zu tun haben soll, erschließt sich mir nicht.
Ich hätte wohl besser schreiben sollen: $A [mm] \cup A^{c}$ \in\mathcal{A} [/mm] mit [mm] [a_{1},a_{j})\in$A [/mm] $ [mm] \wedge [/mm] [ [mm] a_{j},a_{n}]\in A^{c}
[/mm]
...wobei diese Notation wahrscheinlich genauso falsch ist?
Jedenfalls müssen meine gewählten Elemente $A$ und [mm] A^{c} [/mm] auch das Kriterium der Vereinigungs-Stabilität erfüllen und das tun sie, denn laut Def. Ereignissystem [mm] $\Omega [/mm] $ [mm] \cap$A$ [/mm] = [mm] A^{c} \in\mathcal{A} [/mm] sein muss.
(ist das richtig/nachvollziehbar??)
...Besseres Beispiel:
Ich verwende wie von Tobi empfohlen $ [mm] X=\IN_0 [/mm] $ , $ [mm] A=\{n\in\IN\;|\;n\ge 2\} [/mm] $ und [mm] A^{c}= [/mm] { 0,1 } somit gilt [mm] $\forall A,A^{c} \in\mathcal{A} \subsetep [/mm] X $
(1) _ c:
$A [mm] \setminus A^{c} \in \mathcal{A} [/mm] $ ist eigentlich schon selbsterklärend, da beide Mengen disjunkt sind $A [mm] \cap A^{c} [/mm] = [mm] \emptyset \in \mathcal{A} [/mm] $
Damit wären alle 3 Bedingungen a-c: erfüllt und [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ein [mm] \mathcal{R}ingsystem. [/mm] [hoffe ich :-/]
> > und die Bedingungen eines Prämaß erfüllen.
> Ein Ringsystem ist doch kein Prämaß! Ein Ringsystem ist ein spezielles Mengensystem,
> d.h. eine Menge von Teilmengen einer Menge [mm]\Omega[/mm].
> Ein Prämaß ist hingegen eine spezielle Abbildung von einem Mengensystem nach [mm]\overline{\IR}[/mm].
Hierbei habe ich falsch gedacht, da erst in (2) eine Mengenfunktion vorkommt...
Ein Prämaß wäre zB [mm] \mu:\mathcal{R} \to \IR [/mm]
lg LuD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo D.Luigi!
> Ja [mm]\rho(\mathcal{H}[/mm] kommt hier nicht vor. Ein
> [mm]\mathcal{H}albringsystem[/mm] ist allerdings auch
> Vorraussetzungen für einen Ring,
Jeder Ring ist auch ein Halbring. Das sollte in der anderen Aufgabe gezeigt werden.
> siehe a:,b:,c:
a, b und c ergaben bei dir die Aussage, dass [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] ein Ringsystem ist. Was hat das plötzlich mit einem Halbringsystem zu tun?
> und mir
> war nicht bewusst dass ich diese Bediengungen nicht prüfen
> muss. (gut dann fällt das untern Tisch :)
Schau dir nochmal die Definition eines Ringsystems an. Steht da etwas von Halbringsystem? Wohl kaum.
Also musst du um ein Mengensystem als Ringsystem nachzuweisen nicht explizit prüfen, dass ein Halbringsystem vorliegt. Das folgt automatisch, wie in der anderen Aufgabe gezeigt werden sollte.
> (1)
> [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{[/mm]A [mm]\subseteq[/mm] X : A endlich oder [mm]A^{c}[/mm]
> endlich[mm]\}[/mm]
> Zu zeigen ist, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Ringsystem ist, also
> muss gelten:
>
> a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
> b: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
> c: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}[/mm]
>
>
> (1) _ a:
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] besteht aus unendlich vielen Teilmengen von
> [mm]X[/mm],
> > nämlich aus allen endlichen Teilmengen von [mm]X[/mm] sowie allen
> > Teilmengen von [mm]X[/mm], deren Komplement endlich ist.
>
> also ist [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Sigma-Algebra
Definitiv nein.
> und da [mm]A[/mm] und [mm]A^{c}[/mm]
> definitiv enthalten
Noch einmal: Es ist überhaupt keine Menge $A$ ausgezeichnet!
Was meinst du also mit $A$?
> sind ist Punkt a: [mm]\mathcal{A} \not= \emptyset[/mm]
> schon erfüllt
Sobald du wirklich eine Menge [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] gefunden hast, ist in der Tat [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$ [/mm] gezeigt.
> (ausser [mm]A={\emptyset},[/mm]
Auch wenn [mm] $A=\{\emptyset\}$ [/mm] ein Element von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] WÄRE, wäre [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$ [/mm] gezeigt.
> dann wäre [mm]A^{c}[/mm] eine abzählbar
> unendliche Menge
Ja, das Komplement einer endlichen Menge in der abzählbar unendlichen Menge $X$ ist stets abzählbar unendlich.
> und das dürfte als [mm]A_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ [mm]\emptyset, \Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ zu
> schreiben sein) ?!?
Was meinst du mit $\Omega$?
Was hat das gerade von dir eingeführte Mengensytem $A_1$ mit der Aufgabe zu tun?
Bei a) musst du wie gesagt ein Element $A\in\mathcal{A}$ finden.
Nach Definition leistet z.B. jede endliche Teilmenge von X das Gewünschte.
Gibt es zu jeder abzählbar unendlichen Menge X eine endliche Teilmenge von X?
Wenn ja: Nenne eine.
> >> [mm]{[a_{1},a_{j})} \Rightarrow A^{c}[/mm] := [mm][a_{j},a_{n}][/mm]
> > Mir ist ein Rätsel, was du mit diesen Notationen
> beabsichtigst.
> (1) _ b:
> > > denn ein Ringsys soll ja [mm]\cup-stabil[/mm] sein
> > Ja, Ringsysteme sind [mm]\cup[/mm]-stabil.
> > Was das jetzt mit dem von dir betrachteten Beispiel zu tun
> haben soll, erschließt sich mir nicht.
>
> Ich hätte wohl besser schreiben sollen: [mm]A \cup A^{c}[/mm]
> [mm]\in\mathcal{A}[/mm]
Wieder die Frage: Was meinst du mit $A$?
Die Menge X ist bei dir eine bestimmte?
> mit [mm][a_{1},a_{j})\in[/mm] [mm]A[/mm] [mm]\wedge[/mm] [
> [mm]a_{j},a_{n}]\in A^{c}[/mm]
Ich habe keine Ahnung, was die drei (?) Zahlen (?) [mm] $a_1$, $a_j$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] sein sollen. Sind es beliebige reelle Zahlen und [mm] $[a_1,a_j)$ [/mm] und [mm] $[a_j,a_n]$ [/mm] sollen die entsprechenden Intervalle reeller Zahlen bezeichnen?
Hat die merkwürdige Benennung der drei Zahlen mit [mm] $a_1$, $a_j$ [/mm] und [mm] $a_n$ [/mm] statt beispielsweise [mm] $a_1$, $a_2$ [/mm] und [mm] $a_3$ [/mm] für dich irgendeine Bedeutung?
> ...wobei diese Notation
> wahrscheinlich genauso falsch ist?
Ich habe jedenfalls keine Ahnung, was du mir sagen willst...
> Jedenfalls müssen meine gewählten Elemente [mm]A[/mm] und [mm]A^{c}[/mm]
> auch das Kriterium der Vereinigungs-Stabilität erfüllen
Wenn $A$ und [mm] $A^c$ [/mm] Elemente von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] sind, muss auch [mm] $A\cup A^c\in\mathcal{A}$ [/mm] gelten, wenn denn unsere Behauptung stimmt, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ein Ringsystem ist.
Es gilt [mm] $A\cup A^c=X$. [/mm] Und das [mm] $X\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt, stimmt weil [mm] $X^c=\emptyset$ [/mm] endlich ist.
> und das tun sie, denn laut Def. Ereignissystem
Was genau verstehst du unter einem Ereignissystem?
Was hat das mit der Aufgabe zu tun?
> [mm]\Omega[/mm] [mm]\cap[/mm]
> [mm]A[/mm] = [mm]A^{c}[/mm]
Quatsch. Vermutlich meinst du mit [mm] $\Omega$ [/mm] die Menge $X$? Dann gilt [mm] $\Omega\cap [/mm] A=A$.
> [mm]\in\mathcal{A}[/mm] sein muss.
> (ist das richtig/nachvollziehbar??)
Nein.
Zu b) ist zu zeigen, dass für ALLE [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] auch [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt.
Seien also [mm] $A,B\in\mathcal{A}$. [/mm] Was bedeutet das nach Definition von [mm] $\mathcal{A}$?
[/mm]
> ...Besseres Beispiel:
> Ich verwende wie von Tobi empfohlen [mm]X=\IN_0[/mm] ,
> [mm]A=\{n\in\IN\;|\;n\ge 2\}[/mm] und [mm]A^{c}=[/mm] { 0,1 }
[mm] $A^c$ [/mm] hast du für dieses Beispiel korrekt bestimmt.
> somit gilt
Du hast eben nur ein Beispiel betrachtet und möchtest nun daraus allgemeine Aussagen schlussfolgern? Das kann nicht funktionieren...
> [mm]\forall A,A^{c} \in\mathcal{A} \subsetep X[/mm]
> (1) _ c:
> [mm]A \setminus A^{c} \in \mathcal{A}[/mm] ist eigentlich schon
> selbsterklärend, da beide Mengen disjunkt sind [mm]A \cap A^{c} = \emptyset \in \mathcal{A}[/mm]
Für alle [mm] $A\subseteq [/mm] X$ sind $A$ und [mm] $A^c$ [/mm] in der Tat disjunkt; es gilt [mm] $A\cap A^c=\emptyset\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $A\setminus A^c=A$.
[/mm]
Was du mir damit sagen möchtest, erschließt sich mir nicht.
> Damit wären alle 3 Bedingungen a-c: erfüllt und
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ist ein [mm]\mathcal{R}ingsystem.[/mm] [hoffe ich :-/]
![[eek2]](/images/smileys/eek2.gif "[eek2]") Das ist doch wohl nicht dein Ernst?
Wo meinst du gezeigt zu haben, dass für alle [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] auch [mm] $A\cup B,A\setminus B\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt?
Ich kann mich nicht daran erinnern, dass ich den Text eines Fragestellers schon einmal so wenig nachvollziehen konnte. Ich bin ehrlich gesagt ratlos, wie ich dir sinnvoll weiterhelfen kann...
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 17.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
> a, b und c ergaben bei dir die Aussage, dass [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ein Ringsystem ist.
> Was hat das plötzlich mit einem Halbringsystem zu tun?
Ich habe die Definition eines Ringes in der Schreibweise gelernt: [mm] \emptyset \in \rho(\mathcal{H}) [/mm] ,usw...
und [mm] \mathcal{H} [/mm] steht für [mm] \mathcal{H}albringsystem [/mm] ...deswegen kam ich auf den Halbring.
| Aufgabe | Definition eines Ringes [mm] \mathcal{R} [/mm] (laut Vorlesung) :
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in\mathcal{H}
[/mm]
a: [mm] \emptyset \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
b: A [mm] \backslash [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
c: A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) [/mm] |
> > "also ist [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Sigma - Algebra"
> Definitiv nein.
OK, das war noch ein großes Problem das mir im Weg stand und ich hab das "klassische Maßproblem" völlig ignoriert!
Für mich als kurzer Exkurs zum Verständnis die Definition Ereignissystem [mm] \mathcal{F} [/mm] :
(unser Prof schreibt als Platzhalter für Mengensysteme immer mit [mm] \mathcal{SCHREIBSCHRIFT} [/mm] genauso wie das [mm] \mathcal{A},
[/mm]
deswegen dachte ich es sei ein Ereignissystem)
a: [mm] \Omega \in \mathcal{F} [/mm] ( [mm] \mathcal{F} [/mm] ist nicht leer)
b: [mm] \forall A\in\mathcal{F} [/mm] : [mm] A^{c}:=\Omega \backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{F} [/mm] (abgeschlossen ggüber Komplemente)
c: [mm] \forall A_{1}, A_{2}, [/mm] ... [mm] \in \mathcal{F} [/mm] : [mm] \bigcup_{j=1}A_{j} \in\mathcal{F} [/mm] (abgeschlossen ggüber allg.Vereinigungen)
...ABER ein Mengensystem ist ja noch lange keine abgeschlossene [mm] \sigma-Algebra [/mm] /oder Ereignisalgebra sondern;
Ein Halbringes ist die grobe Vorform eines (Mengen-)Ring der durch die VereinigungsStabilität das Mengensystem einschränkt (Das hat Ali quasi in der vorherigen Aufgabe $Ringsysteme I$ bewiesen).
Die Mengenhalbring können als Erzeugendensysteme von σ-Algebren eingesetzt werden.
Wenn also ein Mengensystem die Bedingungen eines Ereignissystems erfüllt kann man auch daraus folgern,
dass es die Vorraussetzungen für ein Halbring- und das Ringsystem erfüllt. (richtig?!?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Diesmal kann ich dir deutlich besser folgen.
> Definition eines Ringes [mm]\mathcal{R}[/mm] (laut Vorlesung) :
> [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in\mathcal{H}[/mm]
> a: [mm]\emptyset \in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> b: A [mm]\backslash[/mm] B
> [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> c: A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Nein, das ist nicht die Definition, wann [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] ein Ring ist.
Das ist ein Mischmasch von der Definition, wann [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Ring ist und der Definition, wann [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] ein Ring ist.
> Für mich als kurzer Exkurs zum Verständnis die
> Definition Ereignissystem [mm]\mathcal{F}[/mm] :
> (unser Prof schreibt als Platzhalter für Mengensysteme
> immer mit [mm]\mathcal{SCHREIBSCHRIFT}[/mm] genauso wie das
> [mm]\mathcal{A},[/mm]
> deswegen dachte ich es sei ein Ereignissystem)
> a: [mm]\Omega \in \mathcal{F}[/mm] (
> [mm]\mathcal{F}[/mm] ist nicht leer)
> b: [mm]\forall A\in\mathcal{F}[/mm] : [mm]A^{c}:=\Omega \backslash[/mm] A
> [mm]\in \mathcal{F}[/mm] (abgeschlossen ggüber Komplemente)
> c: [mm]\forall A_{1}, A_{2},[/mm] ... [mm]\in \mathcal{F}[/mm] :
> [mm]\bigcup_{j=1}A_{j} \in\mathcal{F}[/mm] (abgeschlossen ggüber
> allg.Vereinigungen)
Sind bei c: wirklich beliebige Vereinigungen oder nur abzählbare Vereinigungen gemeint?
Falls Ereignissystem eine andere Bezeichnung für [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] sein soll, MUSS es bei c: heißen "abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen".
> ...ABER ein Mengensystem ist ja noch lange keine
> abgeschlossene [mm]\sigma-Algebra[/mm] /oder Ereignisalgebra
> sondern;
Ja.
> Ein Halbringes ist die grobe Vorform eines (Mengen-)Ring
Ja.
> der durch die VereinigungsStabilität das Mengensystem
> einschränkt (Das hat Ali quasi in der vorherigen Aufgabe
> [mm]Ringsysteme I[/mm] bewiesen).
Nein, Halbringe sind im Allgemeinen nicht Vereinigungs-stabil.
> Die Mengenhalbring können als Erzeugendensysteme von
> σ-Algebren eingesetzt werden.
Ja.
> Wenn also ein Mengensystem die Bedingungen eines
> Ereignissystems erfüllt kann man auch daraus folgern,
> dass es die Vorraussetzungen für ein Halbring- und das
> Ringsystem erfüllt. (richtig?!?)
Das kann man folgern, muss man aber beweisen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Do 17.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
Hallo und nochmal Danke für die Bemühungen zur Aufgabe1
| Aufgabe | Sei $X$ eine abzählbar unendliche Menge.
(1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm]
Zu zeigen ist, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Ringsystem ist, also muss gelten:
a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
b: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
c: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}[/mm]
[mm]\mathcal{A}[/mm] besteht aus unendlich vielen Teilmengen von [mm]X[/mm],
nämlich aus allen endlichen Teilmengen von [mm]X[/mm] sowie allen Teilmengen von [mm]X[/mm], deren Komplement endlich ist. |
Aus der Angabe ist abzulesen, dass es um den MessRaum [mm] ($X$,\mathcal{A}) [/mm] geht.
Das Ereignis [mm] \mathcal{A} [/mm] beinhaltet Teilmengen von $X$ mit der Eigenschaft endlich zu sein oder dass zumindest deren Komplement endlich ist.
Seien nun $A , B [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] so ist klar dass $A , B [mm] \subseteq [/mm] X$ und es ergeben sich folgende Möglichkeiten:
1.Fall: $A , B$ sind endliche Mengen
2.Fall: $A , B$ sind unendliche Mengen
3.Fall: Nur $A$ oder nur $B$ ist endlich
Sollte das soweit richtig sein, würde ich diese Fälle auf a,b,c überprüfen incl. Beispiele...
lg Lud
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und nochmal Danke für die Bemühungen zur Aufgabe1
> Sei [mm]X[/mm] eine abzählbar unendliche Menge.
> (1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder
> [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm]
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Ringsystem ist, also
> muss gelten:
> a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
> b: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
> c: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}[/mm]
>
>
> [mm]\mathcal{A}[/mm] besteht aus unendlich vielen Teilmengen von [mm]X[/mm],
> nämlich aus allen endlichen Teilmengen von [mm]X[/mm] sowie allen
> Teilmengen von [mm]X[/mm], deren Komplement endlich ist.
>
>
> Aus der Angabe ist abzulesen, dass es um den MessRaum ([mm]X[/mm][mm] ,\mathcal{A})[/mm]
> geht.
> Das Ereignis [mm]\mathcal{A}[/mm] beinhaltet Teilmengen von [mm]X[/mm] mit
> der Eigenschaft endlich zu sein oder dass zumindest deren
> Komplement endlich ist.
>
> Seien nun [mm]A , B \in \mathcal{A}[/mm] so ist klar dass [mm]A , B \subseteq X[/mm]
> und es ergeben sich folgende Möglichkeiten:
> 1.Fall: [mm]A , B[/mm] sind endliche Mengen
> 2.Fall: [mm]A , B[/mm] sind unendliche Mengen
> 3.Fall: Nur [mm]A[/mm] oder nur [mm]B[/mm] ist endlich
>
> Sollte das soweit richtig sein, würde ich diese Fälle auf
> a,b,c überprüfen
Ja, die 3 Fälle kannst Du betrachten.
> incl. Beispiele...
Wie das ? Du sollst nur zeigen, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] ein Ring ist.
FRED
>
> lg Lud
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Fr 18.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | Sei [mm]X[/mm] eine abzählbar unendliche Menge.
(1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm]
Zzg.: [mm]\mathcal{A}[/mm] ist ein Ringsystem:
a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
b: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
c: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}[/mm] |
Sei [mm]A , B, C \subseteq X[/mm] und [mm]A , B \in \mathcal{A}[/mm] muss gelten:
1.Fall: [mm]A , B[/mm] sind endliche Mengen
a: $A , B [mm] \in\mathcal{A} [/mm] => [mm] \mathcal{A}\not=\emptyset$
[/mm]
b: $A [mm] \cup [/mm] B = C $ auch die Vereinigung ist endlich $ => [mm] C\in\mathcal{A}$ \wedge $A^{c}\cup B^{c} [/mm] = [mm] \overline{A\cap B} [/mm] = [mm] C^{c}\in\mathcal{A}$ \mbox{(das nicht endliche Komplement) }
[/mm]
c: $A [mm] \backslash [/mm] B = [mm] A\cap\overline{B} [/mm] = [mm] C_{endlich} \in\mathcal{A} [/mm] $ für [mm] \begin{cases} C=A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ disjunkt sind} \\ C\subset A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ sich schneiden} \\ C=\emptyset, & \mbox{falls } A = B , => C^{c}= X \end{cases}
[/mm]
[mm] \mbox{ebenso ist die abzählbar unendliche Menge }C^{c}\in\mathcal{A}
[/mm]
2.Fall: [mm]A , B[/mm] sind unendliche Mengen
a:, b:, c: [mm] \mbox{sind analog zu Fall 1 }
[/mm]
3.Fall: Nur [mm]A[/mm] oder nur [mm]B[/mm] ist endlich
a: $A , B [mm] \in\mathcal{A} [/mm] => [mm] \mathcal{A} \not= \emptyset$
[/mm]
b: $A [mm] \cup [/mm] B = [mm] C_{unendlich}\in\mathcal{A} [/mm] $ für [mm] \begin{cases} C=((A)\cup(B)) , & \mbox{falls } A, B \mbox{ sich schneiden oder disjunkt sind }...(A,B_{in Mengenklammern}) \\ C = B, & \mbox{falls } A\subset B_{unendlich} \mbox{oder } C=A, \mbox{falls }B\subset A_{unendlich} \\ C = X, & \mbox{falls } A = B^{c} \wedge B=A^{c} => C^{c} = \emptyset \in\mathcal{A} \end{cases}
[/mm]
[mm] \mbox{Die Komplemente sind alle drei abzählbar endliche Mengen: }C^{c}\in\mathcal{A}
[/mm]
c: für [mm] $A_{endlich} \backslash B_{\infty} [/mm] = [mm] A\cap\overline{B} [/mm] = [mm] C_{endlich} \in\mathcal{A} [/mm] $ für [mm] \begin{cases} C=A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ disjunkt sind} \vee A=B^{c} \\ C\subset A, & \mbox{falls } A, B \mbox{sich schneiden } \\ C=\emptyset, & \mbox{falls } A\subseteq B , => C^{c}= X\end{cases}
[/mm]
Es sieht nicht sonderlich schön aber zeigt meine Notation, wann [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Ring ist?
...oder muss ich dazu noch so explizite Beispiele wie
$X = [mm] \IN_{0}, [/mm] A, B [mm] \in\mathcal{A} [/mm] $
mit $A$= { 0, 1, 2 } und $B$= {n [mm] \in\IN [/mm] | n [mm] \ge [/mm] 2 }
nehmen und den Fällen einsetzen?
gruß LuD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Fr 18.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Das sieht ungleich besser aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei [mm]X[/mm] eine abzählbar unendliche Menge.
> (1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder
> [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm]
> Zzg.: [mm]\mathcal{A}[/mm] ist ein Ringsystem:
> a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
> b: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
> c: [mm]A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathcal{A}[/mm]
Auf deine Lösung zu a: gehe ich unten ein. Jetzt erst einmal zu b: und c:
> Sei [mm]A , B, C \subseteq X[/mm] und [mm]A , B \in \mathcal{A}[/mm] muss
> gelten:
>
> 1.Fall: [mm]A , B[/mm] sind endliche Mengen
> a: [mm]A , B \in\mathcal{A} => \mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
>
> b: [mm]A \cup B = C[/mm] auch die Vereinigung ist endlich [mm]=> C\in\mathcal{A}[/mm]
Schön!
Da $A$ und $B$ endliche Teilmengen von $X$ sind, ist auch [mm] $A\cup [/mm] B$ eine endliche Teilmenge von $X$. Also gilt [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}$.
[/mm]
Damit bist du mit b: im 1. Fall fertig. Streiche das Folgende ersatzlos.
> [mm]\wedge[/mm] [mm]A^{c}\cup B^{c} = \overline{A\cap B}[/mm]
Ja.
> = [mm] C^{c}
[/mm]
Nein.
> [mm] $\in\mathcal{A}$
[/mm]
Ja. [mm] ($C^c\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt, da [mm] $(C^c)^c=C$ [/mm] eine endliche Teilmenge von $X$ ist.)
Aber wie bereits angedeutet: Diese Überlegung tut nichts zur Sache.
> c: [mm]A \backslash B = A\cap\overline{B}[/mm]
Ja.
> [mm]= C_{endlich} \in\mathcal{A}[/mm]
Ja.
Es gilt [mm] $A\cap\overline{B}\subseteq [/mm] A$. Mit $A$ ist daher auch [mm] $A\cap\overline{B}$ [/mm] eine endliche Teilmenge von $X$. Also gilt [mm] $A\setminus B=A\cap\overline{B}\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> für [mm]\begin{cases} C=A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ disjunkt sind} \\ C\subset A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ sich schneiden} \\ C=\emptyset, & \mbox{falls } A = B , => C^{c}= X \end{cases}[/mm]
Ja.
(Diese drei Fälle schließen sich nicht alle gegenseitig aus.
Diese Fallunterscheidung ist gar nicht nötig, aber nicht falsch.)
> [mm]\mbox{ebenso ist die abzählbar unendliche Menge }C^{c}\in\mathcal{A}[/mm]
Richtig und überflüssig.
> 2.Fall: [mm]A , B[/mm] sind unendliche Mengen
> a:, b:, c: [mm]\mbox{sind analog zu Fall 1 }[/mm]
Das sehe ich nicht so. Du solltest b: und c: auch für diesen Fall ausführen.
> 3.Fall: Nur [mm]A[/mm] oder nur [mm]B[/mm] ist endlich
> a: [mm]A , B \in\mathcal{A} => \mathcal{A} \not= \emptyset[/mm]
>
> b: [mm]A \cup B = C_{unendlich}\in\mathcal{A}[/mm]
Korrekt ist, dass in diesem Fall [mm] $A\cup [/mm] B$ unendlich ist.
Um [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}$ [/mm] zu zeigen, musst du also beweisen, dass [mm] $(A\cup B)^c$ [/mm] endlich ist.
Dazu benötigst du, dass im Falle $A$ unendlich [mm] $A^c$ [/mm] endlich ist und im Falle $B$ unendlich [mm] $B^c$ [/mm] endlich ist.
> für
> [mm]\begin{cases} C=((A)\cup(B)) , & \mbox{falls } A, B \mbox{ sich schneiden oder disjunkt sind }...(A,B_{in Mengenklammern}) \\ C = B, & \mbox{falls } A\subset B_{unendlich} \mbox{oder } C=A, \mbox{falls }B\subset A_{unendlich} \\ C = X, & \mbox{falls } A = B^{c} \wedge B=A^{c} => C^{c} = \emptyset \in\mathcal{A} \end{cases}[/mm]
Die Mengenklammern um $A$ und $B$ im oberen Fall gehören da nicht hin.
Der Rest stimmt.
(Wieder schließen sich die Fälle nicht aus und die Fallunterscheidung wäre eigentlich nicht nötig, aber sie ist nicht falsch.)
Dass [mm] $A\cup B\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt, hast du noch nicht gezeigt.
> [mm]\mbox{Die Komplemente sind alle drei abzählbar endliche Mengen: }C^{c}\in\mathcal{A}[/mm]
Wenn du gezeigt hättest, dass für [mm] $C=A\cup [/mm] B$ die Menge [mm] $C^c$ [/mm] endlich ist, folgte wie gewünscht [mm] $C\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> c: für [mm]A_{endlich} \backslash B_{\infty} = A\cap\overline{B} = C_{endlich} \in\mathcal{A}[/mm]
Ja im Falle $A$ endlich ist [mm] $A\setminus [/mm] B$ auch endlich und damit [mm] $A\setminus B\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> für [mm]\begin{cases} C=A, & \mbox{falls } A, B \mbox{ disjunkt sind} \vee A=B^{c} \\ C\subset A, & \mbox{falls } A, B \mbox{sich schneiden } \\ C=\emptyset, & \mbox{falls } A\subseteq B , => C^{c}= X\end{cases}[/mm]
Stimmt.
(Wieder überschneiden sich die Fälle und die Fallunterscheidung wäre nicht nötig, ist aber nicht falsch.)
Betrachten musst du für c: noch den Fall, dass $A$ unendlich und $B$ endlich ist.
Zu a:
Du hast korrekt gezeigt: Wenn [mm] $A,B\in\mathcal{A}$ [/mm] gegeben sind, gilt [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$.
[/mm]
Zu zeigen ist aber, dass TATSÄCHLICH [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$ [/mm] gilt.
Du musst also ein Beispiel für ein Element [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] finden.
Wenn du z.B. eine beliebige endliche Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ findest, bist du fertig.
Hat jede (abzählbar unendliche) Menge $X$ eine endliche Teilmenge?
Wenn ja: Nenne eine.
> Es sieht nicht sonderlich schön aber zeigt meine Notation,
> wann [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Ring ist?
Bis auf die kleineren Lücken: Ja.
> ...oder muss ich dazu noch so explizite Beispiele wie
> [mm]X = \IN_{0}, A, B \in\mathcal{A}[/mm]
> mit [mm]A[/mm]= { 0, 1, 2 } und
> [mm]B[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$n [mm]\in\IN[/mm] | n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 $\}$
> nehmen und den Fällen einsetzen?
Nein. Du hast (abgesehen von den Lücken) allgemein gezeigt, dass $\mathcal{A}$ für jede abzählbar unendliche Menge $X$ ein Ring ist. Also gilt dies insbesondere automatisch für $X=\IN_0$.
Ich muss dir noch einmal ein Kompliment machen: So eine fundamentale Steigerung kommt selten vor! Herzlichen Glückwunsch!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 20.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | Sei [mm]X[/mm] eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
(1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm] ist ein Ringsystem. |
Vielen Dank Tobi, ich nehme mir Deine Hinweise schon zu Herzen, schließlich ist meine Mathematische Kommunikationsfähigkeit vor allem in Foren nicht sehr ausgeprägt :-S
Den Beweis habe ich deshalb nochmal etwas umstrukturiert:
a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
b: [mm]A\cup B\in\mathcal{A} \Leftarrow \begin{cases}{(i)} & A,B\in\mathcal{A} \\ (ii) & A^{c},B^{c}\in\mathcal{A} \\ {(iii)} & (A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} \end{cases}[/mm]
c: [mm]A\setminus B\in\mathcal{A} \Leftarrow \begin{cases}(i) & A,B\in\mathcal{A} \\ (ii) & A^{c},B^{c}\in\mathcal{A} \\ (iii) & (A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} \end{cases}[/mm]
(1) Sei [mm]A , B, C \subseteq X[/mm] und [mm]A , B \in \mathcal{A}[/mm]
a: [mm]A \in\mathcal{A} | \forall A:=\{a | \limes_{n\rightarrow\infty}a\ge n \wedge a,n\in\IN_{0} \} \subseteq X:=\{\mbox{ abzählbar unendliche Menge}\}: \exists A^{c} < \infty[/mm]
Für alle Elemente $A$ [mm] \in \mathcal{A} [/mm] gilt,
dass zu jeder unendlichen Teilmenge $A$ [mm] \subseteq [/mm] von jeder (abzählbar,unendlichen) Menge X
auch eine endliche Teilmenge [mm] A^{c} [/mm] als Komplement zu $A$ existiert.
Sei $X = [mm] \IN_{0}$ [/mm] so gibt es für die unendliche Teilmenge [mm] $A_{\infty}=\{a\ge n | n\in\IN_{0} \} \subseteq [/mm] X$
ein endliches Komplement [mm] A^{c}=\{a\le n | n\in\IN_{0}\}
[/mm]
und dem Grenzfall: [mm] $A=\{a\ge n | a\in\IN_{0} a \} \Rightarrow A_{\infty}=\IN_{0} [/mm] = X [mm] \Rightarrow A^{c} [/mm] = [mm] X^{c} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $.
Somit existiert mindestens eine endliche Teilmenge im Mengensystem [mm] \mathcal{A}: [/mm] $A$ [mm] \in\sigma(\IN) \subseteq \mathcal{P}(X) \subset \mathcal{A}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathcal{A}\not=\emptyset [/mm]
b: A [mm] \cup [/mm] B = C muss je nach Eigenschaft der Teilmengen A,B in 3 Kombinationen (i)-(iii) betrachtet werden:
Hierbei wird "A,B" für endliche und " [mm] A_{\infty},B_{\infty} [/mm] " für unendliche Teilmenge verwendet.
(i) [mm] A,B\in\mathcal{A}, [/mm] $ [mm] C\in\mathcal{A} \mbox{ durch die Vereinigung mehrerer endlicher Teilmengen, ist auch C eine endliche Teilmenge von } [/mm] X => [mm] A\cup B\in\mathcal{A}$
[/mm]
(ii) [mm] A^{c},B^{c}\in\mathcal{A}, [/mm] $ [mm] C_{\infty} \mbox{ Die Vereinigung zweier unendlicher Teilmengen ist ebenfalls unendlich, d.h. das Komplement ist zu überprüfen}$
[/mm]
[mm] C^{c}=\overline{A\cup B}= A^{c}\cap B^{c} [/mm] = [mm] \mbox{Die Schnittmenge über endliche Mengen ist wiederum eine endliche Teilmenge } \Rightarrow (C^{c})^{c}=C \in\mathcal{A}
[/mm]
(iii) [mm] $(A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A}$, \mbox{ Eine unendliche Teilmenge vereinigt bleibt eine unendliche Menge, auch bei umgekehrter Anordnung: } [/mm]
[mm] C_{\infty} [/mm] = [mm] \begin{cases} (A\cup B_{\infty}) \subseteq X, \\ (A_{\infty}\cup B) \subseteq X,
\end{cases} [/mm] d.h. das Komplement muss eine endliche Teilmenge von X sein:
[mm] C^{c} [/mm] = [mm] \begin{cases}(\overline{A\cup B_{\infty} }) = A^{c}_{\infty}\cap B^{c} \subseteq B^{c}, \\ \overline{A_{\infty}\cup B } = A^{c}\cap B^{c}_{\infty} \subseteq A^{c},\end{cases} [/mm] (mit [mm] A^{c},B^{c} [/mm] als endliches Komplement von [mm] A_{\infty},B_{\infty})
[/mm]
[mm] \forall A^{c},B^{c} [/mm] disjunkt: [mm] A^{c}\cap B^{c}=\emptyset \subset [/mm] X
[mm] \Rightarrow \overline{A\cup B_{\infty} }=\overline{A_{\infty}\cup B} [/mm] = [mm] C^{c} [/mm] ist endliche Teilmenge von $X$ [mm] \Rightarrow C^{c} \in\mathcal{A}
[/mm]
=> A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
c: A [mm] \setminus [/mm] B = C auch hier müssen die unterschiedlichen Anordnungen von A,B einzeln betrachtet werden:
(i) [mm] A,B\in\mathcal{A} [/mm] $ A [mm] \backslash [/mm] B = [mm] A\cap B^{c} [/mm] = C [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] C [mm] \in\mathcal{A} [/mm] $ $ [mm] (\forall [/mm] A=B : [mm] A\cap B^{c} [/mm] = [mm] \emptyset)$
[/mm]
(ii) [mm] A^{c},B^{c}\in\mathcal{A} [/mm] $ [mm] A_{\infty} \backslash B_{\infty} [/mm] = [mm] A_{\infty}\cap B^{c}_{=endliche Menge}= [/mm] C [mm] \subseteq B^{c} \Rightarrow [/mm] C [mm] \in\mathcal{A} [/mm] $
(iii) $ [mm] (A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} [/mm] $ [mm] \mbox{ es gibt zwei Möglichkeiten der Anordnung: }
[/mm]
[mm] \begin{cases}A \backslash B_{\infty} = A\cap B^{c}_{endliche Menge}= C \subseteq A \mbox{ somit wäre C endliche Teilmenge von X, anders bei Fall2 } \\ A_{\infty}\backslash B = A_{\infty}\cap B_{\infty}^{c}= C_{\infty} \not= \emptyset, \mbox{ da sich die Mengen } A_{\infty},B_{\infty}^{c} \mbox{ in }\infty\mbox{-vielen Teilmengen von X schneiden } \end{cases} [/mm]
zu Fall2: [mm] \mbox{da } C_{\infty} \not= \emptyset \mbox{ eine unendliche Menge ist, muss nun das Komplement } C^{c} \mbox{ auf Endlichkeit geprüft werden : }
[/mm]
[mm] C^{c}=\overline{A_{\infty}\backslash B }=\overline{A_{\infty}\cap B_{\infty}^{c} }=A^{c}\cup (B^{c})^{c} =A^{c}\cup$B$ \mbox{da } A^{c}\wedge [/mm] B [mm] \mbox{endliche Teilmengen von X sind, gilt nach b(i): }
[/mm]
[mm] C^{c} \mbox{ ist eine endliche Teilmenge von X } [/mm]
=> A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Mit diesen 3 Punkten a,b,c ist allgemein gezeigt, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] für jede abzählbar unendliche Menge [mm]X[/mm]
(insbesondere für [mm]X=\IN_0[/mm]) ein Ring ist.
Ich hoffe der Aufwand hat sich gelohnt, immerhin hat das schreiben viel länger gedauert als die Aufgabe zu verstehen :(
Danke schonmal fürs durchwühlen und Fehler finden.
lg LuD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]X[/mm] eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
> (1) [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A \subseteq X : A[/mm] endlich oder
> [mm]A^{c}[/mm] endlich[mm]\}[/mm] ist ein Ringsystem.
> Den Beweis habe ich deshalb nochmal etwas umstrukturiert:
>
Zu zeigen:
> a: [mm]\mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
> b: [mm]A\cup B\in\mathcal{A} \Leftarrow \begin{cases}{(i)} & A,B\in\mathcal{A} \\ (ii) & A^{c},B^{c}\in\mathcal{A} \\ {(iii)} & (A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} \end{cases}[/mm]
> c: [mm]A\setminus B\in\mathcal{A} \Leftarrow \begin{cases}(i) & A,B\in\mathcal{A} \\ (ii) & A^{c},B^{c}\in\mathcal{A} \\ (iii) & (A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} \end{cases}[/mm]
Z.B. bei b) ist zu zeigen: [mm] $A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cup B\in\mathcal{A}$. [/mm] Insofern sind ii) und iii) fehl am Platze.
> (1) Sei [mm]A , B, C \subseteq X[/mm] und [mm]A , B \in \mathcal{A}[/mm]
>
> a: [mm]A \in\mathcal{A} | \forall A:=\{a | \limes_{n\rightarrow\infty}a\ge n \wedge a,n\in\IN_{0} \}[/mm]
Meinst du [mm] $A:=\{a\in\IN_0\;|\;\lim_{m\to\infty}a\ge n\text{ für ein }n\in\IN_0\}$?
[/mm]
Für alle [mm] $a\in\IN_0$ [/mm] ist die konstante Folge [mm] $(a)_{m\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen $a$.
[mm] $\lim_{m\to\infty}a$ [/mm] ist also nur eine unnötig komplizierte Schreibweise für $a$.
Wenn meine Interpretation von $A$ stimmt, ist einfach [mm] $A=\IN_0$.
[/mm]
Warum also so kompliziert?
Wieso steht da ein [mm] $\forall$?
[/mm]
> [mm]\subseteq X:=\{\mbox{ abzählbar unendliche Menge}\}: \exists A^{c} < \infty[/mm]
Meinst du "Es existiert eine Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $A^c$ [/mm] ist endlich."?
> Für alle Elemente [mm]A[/mm] [mm]\in \mathcal{A}[/mm] gilt,
> dass zu jeder unendlichen Teilmenge [mm]A[/mm] [mm]\subseteq[/mm] von
> jeder (abzählbar,unendlichen) Menge X
> auch eine endliche Teilmenge [mm]A^{c}[/mm] als Komplement zu [mm]A[/mm]
> existiert.
Das ist Quatsch. Denke etwa an [mm] $X=\IN_0$, $A=\{n\in\IN_0\;|\;n\text{ gerade}\}$.
[/mm]
> Sei [mm]X = \IN_{0}[/mm] so gibt es für die unendliche
> Teilmenge [mm]A_{\infty}=\{a\ge n | n\in\IN_{0} \} \subseteq X[/mm]
Du meinst [mm] $A_\infty=\{a\in\IN_0\;|\;a\ge n\text{ für ein }n\in\IN_0\}$?
[/mm]
Dann gilt einfach [mm] $A_\infty=\IN_0$.
[/mm]
> ein endliches Komplement [mm]A^{c}=\{a\le n | n\in\IN_{0}\}[/mm]
Falls meine Interpretation deiner Mengennotationen stimmt, wäre dies hier falsch.
> und dem Grenzfall: [mm]A=\{a\ge n | a\in\IN_{0} a \}[/mm]
Was du mit "Grenzfall" meinst, verstehe ich nicht.
> [mm]\Rightarrow A_{\infty}=\IN_{0} = X \Rightarrow A^{c} = X^{c} = \emptyset [/mm].
Ja, [mm] $\IN_0^c=\emptyset$.
[/mm]
> Somit existiert mindestens eine endliche Teilmenge
Welche nämlich z.B.?
> im
> Mengensystem [mm]\mathcal{A}:[/mm] [mm]A[/mm] [mm]\in\sigma(\IN) \subseteq \mathcal{P}(X) \subset \mathcal{A}[/mm]
Was bedeutet [mm] $\sigma(\IN)$? [/mm] Ich kenne nur [mm] $\sigma(\mathcal{E})$ [/mm] für MENGENSYSTEME [mm] $\mathcal{E}$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{P}(X)\subset\mathcal{A}$ [/mm] ist Quatsch.
[mm] $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X)$ [/mm] würde hingegen stimmen.
> [mm]\Rightarrow \mathcal{A}\not=\emptyset[/mm]
Beachte, dass du a: für beliebiges $X$, nicht nur speziell für [mm] $X=\IN_0$ [/mm] zeigen musst.
Du kannst z.B. so argumentieren:
Für $A:=X$ ist [mm] $A^c=\emptyset$ [/mm] endlich. Also gilt [mm] $A\in\mathcal{A}$. [/mm] Damit ist [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$ [/mm] gezeigt.4
Oder:
Da [mm] $\emptyset$ [/mm] eine endliche Teilmenge von $X$ ist, gilt [mm] $\emptyset\in\mathcal{A}$. [/mm] Somit gilt [mm] $\mathcal{A}\not=\emptyset$.
[/mm]
> b: A [mm]\cup[/mm] B = C muss je nach Eigenschaft der Teilmengen
> A,B in 3 Kombinationen (i)-(iii) betrachtet werden:
> Hierbei wird "A,B" für endliche und "
> [mm]A_{\infty},B_{\infty}[/mm] " für unendliche Teilmenge
> verwendet.
>
> (i) [mm]A,B\in\mathcal{A},[/mm]
Du meinst: $A$ und $B$ endlich.
[mm]C\in\mathcal{A} \mbox{ durch die Vereinigung mehrerer endlicher Teilmengen, ist auch C eine endliche Teilmenge von } X => A\cup B\in\mathcal{A}[/mm]
Ok.
> (ii) [mm]A^{c},B^{c}\in\mathcal{A},[/mm]
Du meinst: [mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] endlich.
> [mm]C_{\infty} \mbox{ Die Vereinigung zweier unendlicher Teilmengen ist ebenfalls unendlich, d.h. das Komplement ist zu überprüfen}[/mm]
>
> [mm]C^{c}=\overline{A\cup B}= A^{c}\cap B^{c}[/mm]
> = [mm]\mbox{Die Schnittmenge über endliche Mengen ist wiederum eine endliche Teilmenge } \Rightarrow (C^{c})^{c}=C \in\mathcal{A}[/mm]
Ok.
> (iii) [mm](A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A}[/mm],
Du meinst: $A$ und [mm] $B^c$ [/mm] endlich oder [mm] $A^c$ [/mm] und $B$ endlich.
> [mm]\mbox{ Eine unendliche Teilmenge vereinigt bleibt eine unendliche Menge, auch bei umgekehrter Anordnung: }[/mm]
> [mm]C_{\infty}[/mm] = [mm]\begin{cases} (A\cup B_{\infty}) \subseteq X, \\ (A_{\infty}\cup B) \subseteq X,
\end{cases}[/mm]
> d.h. das Komplement muss eine endliche Teilmenge von X
> sein:
Zu zeigen ist, dass das Komplement eine endliche Teilmenge von $X$ ist.
> [mm]C^{c}[/mm] = [mm]\begin{cases}(\overline{A\cup B_{\infty} }) = A^{c}_{\infty}\cap B^{c} \subseteq B^{c}, \\ \overline{A_{\infty}\cup B } = A^{c}\cap B^{c}_{\infty} \subseteq A^{c},\end{cases}[/mm]
> (mit [mm]A^{c},B^{c}[/mm] als endliches Komplement von
> [mm]A_{\infty},B_{\infty})[/mm]
> [mm]\forall A^{c},B^{c}[/mm]
Ok.
> disjunkt: [mm]A^{c}\cap B^{c}=\emptyset \subset[/mm] X
Warum sollen [mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] disjunkt sein? Das stimmt im Allgemeinen nicht.
> [mm]\Rightarrow \overline{A\cup B_{\infty} }=\overline{A_{\infty}\cup B}[/mm]
> = [mm]C^{c}[/mm] ist endliche Teilmenge von [mm]X[/mm] [mm]\Rightarrow C^{c} \in\mathcal{A}[/mm]
>
> => A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> c: A [mm]\setminus[/mm] B = C auch hier müssen die
> unterschiedlichen Anordnungen von A,B einzeln betrachtet
> werden:
>
> (i) [mm]A,B\in\mathcal{A}[/mm]
$A$ und $B$ endlich meinst du.
> [mm]A \backslash B = A\cap B^{c} = C \subseteq A \Rightarrow C \in\mathcal{A}[/mm]
Da $C$ endlich ist.
> [mm](\forall A=B : A\cap B^{c} = \emptyset)[/mm]
Richtig, aber überflüssig.
> (ii) [mm]A^{c},B^{c}\in\mathcal{A}[/mm]
[mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] endlich meinst du.
> [mm]A_{\infty} \backslash B_{\infty} = A_{\infty}\cap B^{c}_{=endliche Menge}= C \subseteq B^{c} \Rightarrow C \in\mathcal{A}[/mm]
Da $C$ endlich ist.
> (iii) [mm](A,B^{c}) \vee (A^{c},B) \in\mathcal{A} [/mm]
Du meinst: $A$ und [mm] $B^c$ [/mm] endlich oder [mm] $A^c$ [/mm] und $B$ endlich.
> [mm]\mbox{ es gibt zwei Möglichkeiten der Anordnung: }[/mm]
>
> [mm]\begin{cases}A \backslash B_{\infty} = A\cap B^{c}_{endliche Menge}= C \subseteq A \mbox{ somit wäre C endliche Teilmenge von X, anders bei Fall2 } \\ A_{\infty}\backslash B = A_{\infty}\cap B_{\infty}^{c}= C_{\infty} \not= \emptyset, \mbox{ da sich die Mengen } A_{\infty},B_{\infty}^{c} \mbox{ in }\infty\mbox{-vielen Teilmengen von X schneiden } \end{cases}[/mm]
> zu Fall2: [mm]\mbox{da } C_{\infty} \not= \emptyset \mbox{ eine unendliche Menge ist, muss nun das Komplement } C^{c} \mbox{ auf Endlichkeit geprüft werden : }[/mm]
>
> [mm]C^{c}=\overline{A_{\infty}\backslash B }=\overline{A_{\infty}\cap B_{\infty}^{c} }=A^{c}\cup (B^{c})^{c} =A^{c}\cup[/mm]
> [mm]B[/mm] [mm]\mbox{da } A^{c}\wedge[/mm] B [mm]\mbox{endliche Teilmengen von X sind, gilt nach b(i): }[/mm]
>
> [mm]C^{c} \mbox{ ist eine endliche Teilmenge von X }[/mm]
> => A [mm]\setminus[/mm] B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
Ok.
> Mit diesen 3 Punkten a,b,c ist allgemein gezeigt, dass
> [mm]\mathcal{A}[/mm] für jede abzählbar unendliche Menge [mm]X[/mm]
> (insbesondere für [mm]X=\IN_0[/mm]) ein Ring ist.
Genau. (Der Verweis auf [mm] $X=\IN_0$ [/mm] ist überflüssig.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 So 20.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
| Aufgabe | Sei X eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
(2) Die Abbildung [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to \overline{\IR} [/mm] A [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ endlich ist} \\ \infty, & \mbox{falls } A^{c} \mbox{ endlich ist} \end{cases} [/mm] ist ein Inhalt aber kein Prämaß. |
Die Funktion [mm] \mu, [/mm] die jeder Menge A aus dem Mengensystem [mm] \mathcal{A} [/mm] mit [mm] \emptyset\in\mathcal{A} [/mm] über X einen Wert [mm] \mu [/mm] ( A ) zuordnet,
der in [mm] [0,\infty] [/mm] ist, heißt Inhalt,
falls für diese Abbildung gilt:
*Die leere Menge hat den Wert null: .
*Die Funktion ist endlich additiv.
Sind also endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus und
dann gilt :.
Sei [mm] $A_i \in\mathcal{A} [/mm] : [mm] \mu(A_i) [/mm] > 0 $ [mm] \begin{cases} A_i => \mu(A) = 0 , & i\in\IN \mbox{ abzählbar viele } \\ A_j => \mu(A_\infty) = \infty , & j\in\IN \mbox{ unendliche Teilmengen von } X \end{cases} [/mm] => [mm] A_i [/mm] < [mm] A_j
[/mm]
* [mm] \mu(A) [/mm] = 0 , da A := {Weder A noch [mm] A^c [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] } nach Abbildungsvorschrift = 0 ist
** [mm] A_i [/mm] := {endliche Teilmengen von X} [mm] \in\mathcal{A} [/mm] , C:= [mm] \{\mbox{Vereinigung } \bigcup_{i=1}^{n}A_i \mbox{ endlicher Teilmengen } A_1 + A_2 + ... + A_n mit n\in\mathcal{A}\} [/mm] :
[mm] \mu [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n} A_i) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} \mu(A_i) \wedge \mu(A_i)=0
[/mm]
=> [mm] \mu(C) [/mm] = 0 = [mm] \sum_{i=1}^{n}{(0)} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n}{\mu(A_i)}
[/mm]
[mm] A_j [/mm] := {unendliche Teilmengen von X} [mm] \in\mathcal{A} [/mm] , [mm] C_\infty :=\{ \bigcup_{j=1}^{\infty}A_j \mbox{ paarweise disj.(?!) unendlicher Teilmengen } A_{\infty+1} + A_{\infty+2} + ... + A_{\infty+n}; mit n\in\mathcal{A}\} [/mm] :
[mm] \mu [/mm] ( [mm] \summe_{j=1}^{n} A_j) [/mm] = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} \mu(A_j) \wedge \mu(A_j)=\infty
[/mm]
=> [mm] \mu(C_\infty) [/mm] = [mm] \infty [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}{(\infty)} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{n}{\mu(A_j)}
[/mm]
damit müsste doch eigentlich gezeigt sein dass [mm] \mu:\mathcal{A} \rightarrow \overline{\IR} [/mm] ein Inhalt ist. (Was fehlt alles noch damit das wirklich Beweistauglich wird?)
um davon jetzt auf ein Prämaß zu kommen muss ich nachweisen dass [mm] \mu [/mm] eine (/KEIN -> laut Aufgabenstellung wird dieser Punkt wahrscheinlich nicht erfüllt sein!)
Sigma-Additvität auf [mm] \mathcal{A} [/mm] besitzt.
dh.:
*** Prämaß: nicht nur [mm] n,A_1,A_2,...,A_n \in\mathcal{A} [/mm] sind paarweise disjunkt [mm] \sum_{m=1}^{n}{(A_m)}\in\mathcal{A}
[/mm]
sondern [mm] \forall A_1, A_2, [/mm] .... [mm] \in\mathcal{A} [/mm] sind paarweise disjunkt [mm] \sum_{m\in\IN}^{\infty}{(A_m)}\in\mathcal{A}
[/mm]
ich muss gestehen dass mir sowohl der Sinnhafte wie auch der Rechnerische Unterschied noch nicht ganz geläufig sind;
und deshalb komme ich auch hier gerade nicht weiter... !?
Was hat das eine was das andere nicht kann, und mit welchen Folgen für meinen Beweis,
mein Versuch: ***
[mm] A_m [/mm] ist paarweise disjunkt für m=1,...,n [mm] \in\mathcal{A} [/mm] aber erfüllt [mm] A_m [/mm] noch die Abbildung für [mm] n\to\infty [/mm] ??
Ind.Vorraus.: [mm] \mu(\sum_{m=1}^{n}{(A_m)}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\mu(\sum_{m=1}^{n}{(A_m)}) [/mm] = [mm] \mu(\sum_{m=1}^{n+1}{(A_m)})
[/mm]
I.A.: n=1: [mm] \begin{cases} A_i = paarw.disj. , & \mu(\sum_{m=1}^{1}A_i) = \mu(A_i) = 0 \\ A_j = kann doch egtl nicht disj. sein?!?, & \mu(A_j) = \infty \end{cases}
[/mm]
I.S.: [mm] n\to{n+1}: \mu(\sum_{m=1}^{n+1}A_m) [/mm] = [mm] \mu(\sum_{m=1}^{n}A_m) [/mm] + [mm] \mu(A_{n+1})
[/mm]
=> [mm] \begin{cases} A_m\subseteq A_j :, & \mu(\sum_{j=1}^{n}A_j) +\mu(A_{n+1}) =_{I.V.:} \mu(A_j) + \mu(A_{n+1}) = \infty+\mu(A_{n+1}) = \infty \mbox{ (ok.so solls sein...) } \\
A_m\subseteq A_i :, & \mu(\sum_{i=1}^{n}A_i) + \mu(A_{n+1}) =_{I.V.:} \mu(A_i) + \mu(A_{n+1}) = 0 +\infty \mbox{ (des is nich so toll, bzw dürfte das Gegenteil beweisen?!?) } \end{cases}
[/mm]
lg LuD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Sei X eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie:
> (2) Die Abbildung [mm]\mu[/mm] : [mm]\mathcal{A} \to \overline{\IR}[/mm]
> A [mm]\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ endlich ist} \\ \infty, & \mbox{falls } A^{c} \mbox{ endlich ist} \end{cases}[/mm]
> ist ein Inhalt aber kein Prämaß.
> Die
Eine
> Funktion [mm]\mu,[/mm] die jeder Menge A aus dem Mengensystem
> [mm]\mathcal{A}[/mm] mit [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm] über X einen Wert
> [mm]\mu[/mm] ( A ) zuordnet,
> der in [mm][0,\infty][/mm] ist, heißt Inhalt,
> falls für diese Abbildung
> gilt:
> *Die leere Menge hat den Wert null: .
>
> *Die Funktion ist endlich additiv.
> Sind also endlich viele paarweise
> disjunkte Mengen aus und
>
> dann gilt :.
> Sei [mm]A_i \in\mathcal{A} : \mu(A_i) > 0[/mm] [mm]\begin{cases} A_i => \mu(A) = 0 , & i\in\IN \mbox{ abzählbar viele } \\ A_j => \mu(A_\infty) = \infty , & j\in\IN \mbox{ unendliche Teilmengen von } X \end{cases}[/mm]
> => [mm]A_i[/mm] < [mm]A_j[/mm]
Was meinst du z.B. mit [mm] "$A_i\Rightarrow \mu(A)=0$ [/mm] für [mm] $i\in\IN$ [/mm] abzählbar viele"?
Was ist [mm] $A_j$?
[/mm]
Was soll [mm] $A_i
> * [mm]\mu(A)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0 , da A := $\{$Weder A noch [mm]A^c[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
$A:=\emptyset$ meinst du?
> nach
> Abbildungsvorschrift = 0 ist
Da $\emptyset$ endlich ist, gilt nach Abbildungsvorschrift $\mu(\emptyset)=0$.
> **
Seien endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus (mit ).
> [mm]A_i[/mm] := {endliche Teilmengen von X} [mm]\in\mathcal{A}[/mm]
Du meinst: Wir betrachten zunächst den Fall, dass alle [mm] $A_i$ [/mm] endlich sind.
> C:=
> [mm]\{\mbox{Vereinigung } \bigcup_{i=1}^{n}A_i \mbox{ endlicher Teilmengen } A_1 + A_2 + ... + A_n mit n\in\mathcal{A}\}[/mm]
[mm] $n\in\IN$, [/mm] nicht [mm] $n\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> [mm]\mu[/mm] ( [mm]\summe_{i=1}^{n} A_i)[/mm] =
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} \mu(A_i)[/mm]
Du vereinigst hier Zahlen [mm] $\mu(A_i)$. [/mm] Man kann aber nur Mengen vereinigen.
> [mm]\wedge \mu(A_i)=0[/mm]
> =>
> [mm]\mu(C)[/mm] = 0 = [mm]\sum_{i=1}^{n}{(0)}[/mm] =
> [mm]\sum_{i=1}^{n}{\mu(A_i)}[/mm]
Das entscheidende Argument für [mm] $\mu(C)=0$ [/mm] fehlt noch: Mit [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] ist auch [mm] $C=\bigcup_{i=1}^nA_i$ [/mm] endlich.
> [mm]A_j[/mm] := {unendliche Teilmengen von X} [mm]\in\mathcal{A}[/mm] ,
Du meinst: Wir betrachten den Fall, dass [mm] $A_1,\ldots,A_n$ [/mm] jeweils unendlich sind.
(Dieser Fall kann nur für $n=1$ eintreten.)
> [mm]C_\infty :=\{ \bigcup_{j=1}^{\infty}A_j \mbox{ paarweise disj.(?!) unendlicher Teilmengen } A_{\infty+1} + A_{\infty+2} + ... + A_{\infty+n}; mit n\in\mathcal{A}\}[/mm]
> :
> [mm]\mu[/mm] ( [mm]\summe_{j=1}^{n} A_j)[/mm] =
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} \mu(A_j)[/mm]
Du vereinigst mehrfach das Symbol [mm] $\infty$. [/mm] Man kann aber nur Mengen vereinigen.
> [mm]\wedge \mu(A_j)=\infty[/mm]
> =>
> [mm]\mu(C_\infty)[/mm] = [mm]\infty[/mm] = [mm]\sum_{j=1}^{n}{(\infty)}[/mm] =
> [mm]\sum_{j=1}^{n}{\mu(A_j)}[/mm]
Für [mm] $\mu(C_\infty)=\infty$ [/mm] benötigst du, dass [mm] $C_\infty$ [/mm] unendlich ist.
(Das stimmt für $n>0$.)
> damit müsste doch eigentlich gezeigt sein dass
> [mm]\mu:\mathcal{A} \rightarrow \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt ist.
Es fehlt noch der Fall, dass manche [mm] $A_i$ [/mm] endlich und manche [mm] $A_i$ [/mm] unendlich sind.
Am einfachsten ist folgende Fallunterscheidung:
1. Alle [mm] $A_i$ [/mm] endlich.
2. (Mindestens) ein [mm] $A_i$ [/mm] unendlich.
> um davon jetzt auf ein Prämaß zu kommen muss ich
> nachweisen dass [mm]\mu[/mm] eine (/KEIN -> laut Aufgabenstellung
> wird dieser Punkt wahrscheinlich nicht erfüllt sein!)
> Sigma-Additvität auf [mm]\mathcal{A}[/mm] besitzt.
> dh.:
>
> *** Prämaß: nicht nur [mm]n,A_1,A_2,...,A_n \in\mathcal{A}[/mm]
> sind paarweise disjunkt
> [mm]\sum_{m=1}^{n}{(A_m)}\in\mathcal{A}[/mm]
> sondern [mm]\forall A_1, A_2,[/mm] .... [mm]\in\mathcal{A}[/mm] sind
> paarweise disjunkt
mit
> [mm]\sum_{m\in\IN}^{\infty}{(A_m)}\in\mathcal{A}[/mm]
Dann gilt (im Falle [mm] $\mu$ $\sigma$-additiv) $\mu(\summe_{m=1}^\infty A_m)=\summe_{m=1}^\infty\mu(A_m)$.
[/mm]
Vermutlich hast du das Entscheidende erfasst.
> ich muss gestehen dass mir sowohl der Sinnhafte wie auch
> der Rechnerische Unterschied noch nicht ganz geläufig
> sind;
> und deshalb komme ich auch hier gerade nicht weiter... !?
> Was hat das eine was das andere nicht kann, und mit
> welchen Folgen für meinen Beweis,
Die Vereinigung ENDLICH VIELER endlicher Mengen ist wieder endlich. Das hast du bei deinem 1. Fall benötigt.
Die Vereinigung unendlich vieler endlicher Mengen ist aber im Allgemeinen nicht mehr endlich.
> mein Versuch: ***
> [mm]A_m[/mm] ist paarweise disjunkt für m=1,...,n
> [mm]\in\mathcal{A}[/mm] aber erfüllt [mm]A_m[/mm] noch die Abbildung für
> [mm]n\to\infty[/mm] ??
Was meinst du mit [mm] "$A_m$ [/mm] erfüllt die Abbildung für [mm] $n\to\infty$"?
[/mm]
Was möchtest du nun per Induktion zeigen?
> Ind.Vorraus.: [mm]\mu(\sum_{m=1}^{n}{(A_m)})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\mu(\sum_{m=1}^{n}{(A_m)})[/mm] =
> [mm]\mu(\sum_{m=1}^{n+1}{(A_m)})[/mm]
Warum sollte [mm] $\mu(\summe_{m=1}^nA_m)=\lim_{n\to\infty}\mu(\sum_{m=1}^nA_m)$ [/mm] gelten?
Im Allgemeinen ist das jedenfalls falsch.
> I.A.: n=1: [mm]\begin{cases} A_i = paarw.disj. , & \mu(\sum_{m=1}^{1}A_i) = \mu(A_i) = 0 \\ A_j = kann doch egtl nicht disj. sein?!?, & \mu(A_j) = \infty \end{cases}[/mm]
Falls [mm] $A_1$ [/mm] eine endliche Teilmenge von $X$ ist, gilt [mm] $\mu(\summe_{m=1}^1A_m)=\mu(A_1)=0$.
[/mm]
Falls [mm] $A_1$ [/mm] unendlich ist, gilt [mm] $\mu(\summe_{m=1}^1A_m)=\mu(A_1)=\infty$. [/mm]
> I.S.: [mm]n\to{n+1}: \mu(\sum_{m=1}^{n+1}A_m)[/mm] =
> [mm]\mu(\sum_{m=1}^{n}A_m)[/mm] + [mm]\mu(A_{n+1})[/mm]
Ja (im Falle [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots$ [/mm] paarweise disjunkt), da [mm] $\mu$ [/mm] endlich additiv ist.
> => [mm]\begin{cases} A_m\subseteq A_j :, & \mu(\sum_{j=1}^{n}A_j) +\mu(A_{n+1}) =_{I.V.:} \mu(A_j) + \mu(A_{n+1}) = \infty+\mu(A_{n+1}) = \infty \mbox{ (ok.so solls sein...) } \\
A_m\subseteq A_i :, & \mu(\sum_{i=1}^{n}A_i) + \mu(A_{n+1}) =_{I.V.:} \mu(A_i) + \mu(A_{n+1}) = 0 +\infty \mbox{ (des is nich so toll, bzw dürfte das Gegenteil beweisen?!?) } \end{cases}[/mm]
Was sind [mm] $A_i$ [/mm] und [mm] $A_j$?
[/mm]
Du nimmst im zweiten Fall [mm] $\mu(A_{n+1})=\infty$ [/mm] an?
Ich weiß immer noch nicht, was du eigentlich per Induktion zeigen möchtest.
Du möchtest zeigen, dass [mm] $\mu$ [/mm] nicht [mm] $\sigma$-additiv [/mm] ist.
Also musst du paarweise disjunkte Mengen [mm] $A_1,A_2,A_3,\ldots\in\mathcal{A}$ [/mm] finden, so dass [mm] $\sum_{m=1}^\infty A_m\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $\mu(\sum_{m=1}^\infty A_m)\not=\sum_{m=1}^\infty\mu(A_m)$ [/mm] gilt.
Betrachte mal die einelementigen Teilmengen von $X$, also die Mengen der Form [mm] $\{x\}$ [/mm] für [mm] $x\in [/mm] X$.
Davon gibt es abzählbar unendlich viele.
Diese sind paarweise disjunkt.
|
|
|
|
