Ringisomorphismus, endl.Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $p$ eine Primzahl und betrachte den Ringisomorphismus
[mm] $\tau:\mathbb{F}_p[X]\to\mathbb{F}_p[X]
[/mm]
gegeben durch [mm] $\tau(X)=X+1$. [/mm] Wir setzen [mm] $g:=X^p-X-1\in\mathbb{F}_p[X]$
[/mm]
a) Man zeige, dass [mm] $\tau^p(f)=f$ [/mm] gilt für alle [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$.
[/mm]
b) Man zeige, dass $g$ von [mm] $\tau$ [/mm] fixiert wird, d.h. [mm] $\tau(g)=g$.
[/mm]
c) Man zeige, dass [mm] $\tau(h)\neq [/mm] h$ gilt für alle [mm] $h\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] mit $deg(h)<p$.
d) Man zeige, dass [mm] $g\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] irreduzibel ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere zum Aufgabenteil c).
zu a):
Sei [mm] $f\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] beliebig, dann ist
[mm] $f=\sum_{i=0}^n a_iX^i$, [/mm] da [mm] $\tau$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist, gilt
[mm] $\tau^p(f)=\sum_{i=0}^n a_i\tau^p(X)^i=\sum_{i=0}^n a_i(X+p)^i
[/mm]
Wegen p=0 in [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] also
[mm] $\sum_{i=0}^n a_iX^i=f$
[/mm]
zu b):
[mm] $\tau(X^p-X-1)=\tau(X)^p-\tau(X)-1=(X+1)^p-(X+1)-1=X^p+1-X-1-1=X^p-X-1=g$
[/mm]
zu c):
Jeder meiner Ansätze hat soweit nicht funktioniert. Ich habe versucht allgemein [mm] $h=\sum_{i=0}^{p-1} a_i X^i$ [/mm] zu betrachten, und dann einfach "ausrechnen", womit ich nicht weiter kam.
Auch ein Ansatz mittels Widerspruch und Verwendung von Eigenschaft a), hat kein Ergebnis gebracht.
Habt ihr eine bessere Idee, oder einen Tipp?
zu d):
Angenommen [mm] $g\in F_p[X]$ [/mm] ist reduzibel. Dann ist $g=fh$, mit [mm] $f,h\in\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] und $deg(f)<p$, sowie $deg(h)<p$.
Nach Eigenschaft b), gilt
[mm] $\tau(g)=\tau(fh)=\tau(f)\tau(h)=g$
[/mm]
Wegen Eigenschaft c), ist [mm] $\tau(f)\neq [/mm] f$ und [mm] $\tau(h)\neq [/mm] h$.
Da aber [mm] \tau(f)\tau(h)=g, [/mm] muss [mm] $\tau(f)=h$ [/mm] und [mm] $\tau(h)=f$.
[/mm]
Dann ist [mm] $\deg(f)=\deg(h)=a$ [/mm] und [mm] $p=\deg(g)=\deg(f)+\deg(h)=2a$.
[/mm]
Wegen p prim, ist a=1, also $p=2$.
Dann ist [mm] $g=X^2-X-1\in\mathbb{F}_2[X]$.
[/mm]
Aber $g$ hat keine Nullstellen in [mm] $\mathbb{F}_2$, [/mm] im Widerspruch zur Annahme, dass $g$ reduzibel ist.
Sind a), b) und d) so in Ordnung?
Habt ihr einen Tipp zu Aufgabenteil c)?
Vielen Dank im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Sa 08.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]p[/mm] eine Primzahl und betrachte den Ringisomorphismus
>
> [mm]$\tau:\mathbb{F}_p[X]\to\mathbb{F}_p[X][/mm]
>
> gegeben durch [mm]\tau(X)=X+1[/mm]. Wir setzen
> [mm]g:=X^p-X-1\in\mathbb{F}_p[X][/mm]
>
> a) Man zeige, dass [mm]\tau^p(f)=f[/mm] gilt für alle
> [mm]f\in\mathbb{F}_p[X][/mm].
>
> b) Man zeige, dass [mm]g[/mm] von [mm]\tau[/mm] fixiert wird, d.h.
> [mm]\tau(g)=g[/mm].
>
> c) Man zeige, dass [mm]\tau(h)\neq h[/mm] gilt für alle
> [mm]h\in\mathbb{F}_p[X][/mm] mit [mm]deg(h)
>
> d) Man zeige, dass [mm]g\in\mathbb{F}_p[X][/mm] irreduzibel ist.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Insbesondere zum
> Aufgabenteil c).
>
> zu a):
>
> Sei [mm]f\in\mathbb{F}_p[X][/mm] beliebig, dann ist
>
> [mm]f=\sum_{i=0}^n a_iX^i[/mm], da [mm]\tau[/mm] ein Ringhomomorphismus ist,
> gilt
>
> [mm]$\tau^p(f)=\sum_{i=0}^n a_i\tau^p(X)^i=\sum_{i=0}^n a_i(X+p)^i[/mm]
>
> Wegen p=0 in [mm]\mathbb{F}_p[/mm] also
>
> [mm]\sum_{i=0}^n a_iX^i=f[/mm]
O.K.
>
> zu b):
>
> [mm]\tau(X^p-X-1)=\tau(X)^p-\tau(X)-1=(X+1)^p-(X+1)-1=X^p+1-X-1-1=X^p-X-1=g[/mm]
>
O.K.
> zu c):
>
> Jeder meiner Ansätze hat soweit nicht funktioniert. Ich
> habe versucht allgemein [mm]h=\sum_{i=0}^{p-1} a_i X^i[/mm] zu
> betrachten, und dann einfach "ausrechnen", womit ich nicht
> weiter kam.
>
> Auch ein Ansatz mittels Widerspruch und Verwendung von
> Eigenschaft a), hat kein Ergebnis gebracht.
> Habt ihr eine bessere Idee, oder einen Tipp?
Überlege Dir, dass $f$ eine konstante Funktion auf den Körper induziert, wenn $f$ unter [mm] $\tau$ [/mm] invariant ist; im übrigen zeigt diese Überlegung auch, dass die Behauptung wie angegeben nicht richtig ist, denn die Polynome vom Grad $=0$ sind Fixpunkte von [mm] $\tau$.
[/mm]
>
> zu d):
>
> Angenommen [mm]g\in F_p[X][/mm] ist reduzibel. Dann ist [mm]g=fh[/mm], mit
> [mm]f,h\in\mathbb{F}_p[X][/mm] und [mm]deg(f)
>
> Nach Eigenschaft b), gilt
>
> [mm]\tau(g)=\tau(fh)=\tau(f)\tau(h)=g[/mm]
>
> Wegen Eigenschaft c), ist [mm]\tau(f)\neq f[/mm] und [mm]\tau(h)\neq h[/mm].
>
> Da aber [mm]\tau(f)\tau(h)=g,[/mm] muss [mm]\tau(f)=h[/mm] und [mm]\tau(h)=f[/mm].
Dieser Schluss voreilig, denn $g$ könnte sich auf viele Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.
> Dann ist [mm]\deg(f)=\deg(h)=a[/mm] und
> [mm]p=\deg(g)=\deg(f)+\deg(h)=2a[/mm].
>
> Wegen p prim, ist a=1, also [mm]p=2[/mm].
>
> Dann ist [mm]g=X^2-X-1\in\mathbb{F}_2[X][/mm].
> Aber [mm]g[/mm] hat keine Nullstellen in [mm]\mathbb{F}_2[/mm], im
> Widerspruch zur Annahme, dass [mm]g[/mm] reduzibel ist.
>
>
> Sind a), b) und d) so in Ordnung?
> Habt ihr einen Tipp zu Aufgabenteil c)?
>
> Vielen Dank im voraus.
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> Dieser Schluss voreilig, denn g könnte sich auf viele Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.
$g=fh$, wobei $deg(f)<p$ maximal sein soll. Dadurch ist $f$ eindeutig bestimmt. Denn wenn es weitere Polynome mit gleichen Grad gibt, könnte man sie einfach miteinander multiplizieren und erhält so das Polynom mit maximalen Grad.
Wegen [mm] $deg(f)=deg(\tau(f))$ [/mm] und [mm] $\tau(f)\neq [/mm] f$ gibt es einen Widerspruch zur Eindeutigkeit.
> Überlege Dir, dass f eine konstante Funktion auf den Körper induziert, wenn f unter $ [mm] \tau [/mm] $ invariant ist
Ich soll also überlegen, wass passiert, wenn [mm] $\tau(f)=f$ [/mm] gilt.
Mit [mm] $f=\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i$ [/mm] und
[mm] \tau(f)=f, [/mm] also
[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i=\sum_{i=0}^{p-1}a_i\tau(X)^i$, [/mm] womit
[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-\tau(X)^i)=0$
[/mm]
[mm] $\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-(X+1)^i)=0$
[/mm]
Wenn [mm] $a_j=0$ [/mm] für alle [mm] $j\geq [/mm] 0$ ist die Aussage auf jeden Fall erfüllt.
Ebenso wenn [mm] $a_j=0$ [/mm] für alle $j>0$. Dann ist $f$ konstant.
Wenn man ansonsten die Indexmenge $I$ aller Indizes [mm] $\{0,\dotso, p-1\}$ [/mm] ansieht, für die [mm] $a_j\neq [/mm] 0$, so kann man sich den größten solchen Index auswählen.
Dieser Summand würde sich jedoch nicht mit den restlichen "annulieren", weshalb die Summe dann nicht Null wäre.
Das konnte ich bisher aber nicht zeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 09.10.2016 | | Autor: | hippias |
> > Dieser Schluss voreilig, denn g könnte sich auf viele
> Arten faktorisieren lassen. Da müssen die Faktoren schon
> mit etwas mehr Fingespitzengefühl gewählt werden.
>
> [mm]g=fh[/mm], wobei [mm]deg(f)
> eindeutig bestimmt. Denn wenn es weitere Polynome mit
> gleichen Grad gibt, könnte man sie einfach miteinander
> multiplizieren und erhält so das Polynom mit maximalen
> Grad.
Das sehe ich nicht. Sei $n= [mm] \max\{\deg(f)|f|g, \deg(f)<\deg(g)\}$. [/mm] Wenn $a,b$ echte Teiler von $g$ sind mit [mm] $\deg(a)= \deg(b)= [/mm] n$, so ist zwar [mm] $\deg(ab)>n$, [/mm] aber $ab$ muss kein Teiler von $g$ sein.
> Wegen [mm]deg(f)=deg(\tau(f))[/mm] und [mm]\tau(f)\neq f[/mm] gibt es einen
> Widerspruch zur Eindeutigkeit.
>
> > Überlege Dir, dass f eine konstante Funktion auf den
> Körper induziert, wenn f unter [mm]\tau[/mm] invariant ist
>
> Ich soll also überlegen, wass passiert, wenn [mm]\tau(f)=f[/mm]
> gilt.
>
> Mit [mm]f=\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i[/mm] und
>
> [mm]\tau(f)=f,[/mm] also
>
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_iX^i=\sum_{i=0}^{p-1}a_i\tau(X)^i[/mm], womit
>
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-\tau(X)^i)=0[/mm]
>
> [mm]\sum_{i=0}^{p-1}a_i(X^i-(X+1)^i)=0[/mm]
>
> Wenn [mm]a_j=0[/mm] für alle [mm]j\geq 0[/mm] ist die Aussage auf jeden Fall
> erfüllt.
> Ebenso wenn [mm]a_j=0[/mm] für alle [mm]j>0[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] konstant.
>
> Wenn man ansonsten die Indexmenge [mm]I[/mm] aller Indizes
> [mm]\{0,\dotso, p-1\}[/mm] ansieht, für die [mm]a_j\neq 0[/mm], so kann man
> sich den größten solchen Index auswählen.
> Dieser Summand würde sich jedoch nicht mit den restlichen
> "annulieren", weshalb die Summe dann nicht Null wäre.
>
> Das konnte ich bisher aber nicht zeigen.
Und das ist natürlich der interessante Fall. Du hast wieder versäumt im obigen Term die Klammer aufzulösen. Sonst überlege Dir, wie ganz allgemein die von [mm] $\tau(f)$ [/mm] auf $K$ induzierten Funktion mit der von $f$ auf $K$ induzierten Funktion zusammenhängt.
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> Wenn $ a,b $ echte Teiler von $ g $ sind mit $ [mm] \deg(a)= \deg(b)= [/mm] n $, so ist zwar $ [mm] \deg(ab)>n [/mm] $, aber $ ab $ muss kein Teiler von $ g $ sein.
Ich sehe nur triviale Gegenbeispiele, wo das gebildete Produkt nicht mehr in der eindeutigen Primfaktorzerlegung des Polynoms $g$ liegt.
Etwa wenn $f=ab$ ist, und $a,b$ sind irreduzibel. Mit [mm] $deg(a)\geq [/mm] deg(b)$.
Dann könnte man [mm] $deg(a^2)$ [/mm] bilden, was kein Teiler mehr wäre.
Unter strengeren Voraussetzungen müsste es doch gelten, also wenn man solche Fälle ausschließt.
> Du hast wieder versäumt im obigen Term die Klammer aufzulösen. Sonst überlege Dir, wie ganz allgemein die von $ [mm] \tau(f) [/mm] $ auf $ K $ induzierten Funktion mit der von $ f $ auf $ K $ induzierten Funktion zusammenhängt.
Ich habe das getan, dann annuliert sich das [mm] $X^i$, [/mm] aber ich habe nicht gesehen in wie weit es mir das für die Rechnung hilft.
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Welche Fragen sind hier noch offen?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Ich geb vielleicht nochmal etwas input. a) und b) scheinen ja gelöst zu sein. c) Wie hippias gesagt hat, folgt aus [mm] $\tau(f)=f$, [/mm] dass $f$ die konstante Funktion definiert. Um das einzusehen, setze in die Gleichung $f(X)=f(X+1)$ einfach mal $X=0$ ein. Und dann vielleicht noch $X=1$. Und $X=2$. Um nun einzusehen, dass Polynome vom Grad $<p$ nur dann konstante Funktionen definieren können, wenn sie selbst konstant sind, denke mal an die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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