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| Aufgabe | | Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion $f(z) = [mm] z^3+1$ [/mm] und Weg [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \Delta [/mm] (1+i, -1+i, -i)$ |
Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte eure Hilfe.
Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i die Eckpunkte darstellen.
Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen finden..
Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft besitzt doch folgende Geradengleichung:
[mm] \gamma_1 [/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
[mm] \gamma_2 [/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
[mm] \gamma_3 [/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)
Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition mit folgenden Grenzen auf:
[mm] \gamma_1 [/mm] -> Integration von -1 bis 0
[mm] \gamma_2 [/mm] -> Integration von -1 bis 1
[mm] \gamma_3 [/mm] -> Integration von 0 bis 1
mfg
Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Do 19.04.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion [mm]f(z) = z^3+1[/mm]
> und Weg [mm]\gamma = \Delta (1+i, -1+i, -i)[/mm]
>
> Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte
> eure Hilfe.
>
> Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i
> die Eckpunkte darstellen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen
> finden..
>
> Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft
> besitzt doch folgende Geradengleichung:
>
> [mm]\gamma_1[/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
> [mm]\gamma_2[/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
> [mm]\gamma_3[/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)
Das ist schon der richtige Ansatz, aber Deine [mm] $\gamma_i$-Funktionen
[/mm]
geben nur den imaginären Anteil der Zahlen,
die auf den Verbindungsgeraden liegen.
Als reeller Anteil fehlt noch das x.
z.B.: [mm]\gamma_1(x)[/mm] = x-2*i*x-i, x [mm] \in [/mm] [-1;0] Verbindungsgerade der Punkte (-1+i/0-i),
>
> Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition mit
> folgenden Grenzen auf:
> [mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von -1 bis 0
> [mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1
> [mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 0 bis 1
Wichtig ist, dass Du bei einem Punkt des Dreiecks beginnst, und das
Dreieck einmal umläufst. Das bedeutet für die Integrationsgrenzen:
[mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von 0 bis -1
[mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1
[mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 1 bis 0
>
> mfg
>
> Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?
Sieh mal ![[]](/images/popup.gif) Residuensatz.
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das Ringintegral mit gegebener Funktion [mm]f(z) = z^3+1[/mm]
> und Weg [mm]\gamma = \Delta (1+i, -1+i, -i)[/mm]
>
> Hallo, steh grad etwas auf der Leitung und bräuchte bitte
> eure Hilfe.
>
> Der Weg beschreibt doch ein Dreieck, wobei 1+i, -1+i und -i
> die Eckpunkte darstellen.
> Von diesem Dreieck muss ich nun die Geradengleichungen
> finden..
>
> Jene Gerade die vom Punkt -1+i zum Punkt 0-i verläuft
> besitzt doch folgende Geradengleichung:
>
> [mm]\gamma_1[/mm] = -2*i*x-i, Gerade der Punkte (-1+i/0-i),
> [mm]\gamma_2[/mm] = i, Gerade der Punkte (-1+i/1+i)
> [mm]\gamma_3[/mm] = 2*i*x-i, Gerade der Punkte (-i/1+i)
>
> Danach ich stelle ich die Integrale laut Definition mit
> folgenden Grenzen auf:
> [mm]\gamma_1[/mm] -> Integration von -1 bis 0
> [mm]\gamma_2[/mm] -> Integration von -1 bis 1
> [mm]\gamma_3[/mm] -> Integration von 0 bis 1
>
> mfg
>
> Als Ergebnis bekomme ich 0 raus. Stimmt das?
Ja, das folgt aus dem Lemma von Goursat.
FRED
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