Ringhomomprphismus, C, Kern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 Di 18.11.2008 | | Autor: | MatheFrosch |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha \in C\setminus [/mm] {0} und [mm] I(\alpha):= [/mm] { [mm] g(x)\in Q[x]:g(\alpha)=0 [/mm] } [mm] \subset [/mm] Q[x]
Nehmen Sie an, dass [mm] I(\alpha)\not=(0) [/mm] gilt. Man zeige:
(a) Phi: [mm] Q[x]->Q[\alpha] [/mm] : [mm] f(x)->f(\alpha) [/mm] ist ein Ringhomomorphismus mit [mm] I(\alpha)= [/mm] Ker(Phi)
und [mm] I(\alpha) [/mm] ist ein Hauptideal.
(b) Die induzierte Abbildung Phi: [mm] Q[x]/I(\alpha) [/mm] -> [mm] Q[\alpha] [/mm] ist ein Isomorphismus.
(c) Jedes Erzeugende h von [mm] I(\alpha) [/mm] , d.h. [mm] I(\alpha)=h*Q[x], [/mm] ist irreduzibel.
(d) Ist m = Grad h, so ist [mm] 1;\alpha,....,\alpha^{m-1} [/mm] eine Vektorraum-Basis von [mm] Q[\alpha] [/mm] über Q.
(e) [mm] Q[\alpha] [/mm] ist ein Körper. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=382765
Das ist eine Aufgabe meiner Zahlentheorie-Übung und steh da leider auf dem Schlauch. Vielleicht könnt Ihr mir auf die Sprünge helfen?!
Danke im Vorraus
MatheFraosch
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[> Sei [mm]\alpha \in C\setminus[/mm] {0} und [mm]I(\alpha):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]g(x)\in Q[x]:g(\alpha)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } [mm]\subset[/mm] Q[x]
> Nehmen Sie an, dass [mm]I(\alpha)\not=(0)[/mm] gilt. Man zeige:
>
> (a) Phi: [mm]Q[x]->Q[\alpha][/mm] : [mm]f(x)->f(\alpha)[/mm] ist ein
> Ringhomomorphismus mit [mm]I(\alpha)=[/mm] Ker(Phi)
> und [mm]I(\alpha)[/mm] ist ein Hauptideal.
> (b) Die induzierte Abbildung Phi: [mm]Q[x]/I(\alpha)[/mm] ->
> [mm]Q[\alpha][/mm] ist ein Isomorphismus.
> (c) Jedes Erzeugende h von [mm]I(\alpha)[/mm] , d.h.
> [mm]I(\alpha)=h*Q[x],[/mm] ist irreduzibel.
> (d) Ist m = Grad h, so ist [mm]1;\alpha,....,\alpha^{m-1}[/mm] eine
> Vektorraum-Basis von [mm]Q[\alpha][/mm] über Q.
> (e) [mm]Q[\alpha][/mm] ist ein Körper.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=382765
>
> Das ist eine Aufgabe meiner Zahlentheorie-Übung und steh da
> leider auf dem Schlauch. Vielleicht könnt Ihr mir auf die
> Sprünge helfen?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es bietet leider das allseits beliebte Bild des "auf-dem-Schlauch-Stehens" keinerlei Hinweis darauf, an welcher Stelle Hilfe ansetzten könnte.
Vielleicht zeigst Du mal, was Du bisher getan hast.
Du kannst ja mal mit a) beginnen. Ich gehe davon aus, daß Du doch die Homomorphismuseigenschaft nachweisen konntest. (?) Falls nicht, an welcher Stelle gibt's Probleme?
Dasselbe gilt für die anderen Teilaufgaben: sag', was Du bisher getan hast und warum es wo welche Probleme gibt.
Dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
klar, Ringhomomorphismus und Isomorphismus habe ich nachgewiesen. Auch, dass es ein Ideal ist, jetzt fehlt mir irgendwie der Schritt dazu, dass es sich um ein Hauptideal hält.
Zu c) und d) habe ich allerdings noch keinerlei Ideen.
Bei der e) hatte ich mir überlegt, dass man nur noch zeigen muss, dass [mm] Q[\alpha] [/mm] ein Inverses besitzt?!
Danke,
MatheFrosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Fr 21.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Ich gebe mal ein paar Tipps, wenn du mehr brauchst schreib noch mal:
a)Hauptideal ist sehr einfach: Polynomringe über Körpern sind euklidische Ringe, daher Hauptideal Ringe.
c)Es gilt $ [mm] \mathbb Q(\alpha)\subset \mathbb [/mm] C$, daher ist [mm] $\mathbb Q(\alpha)$ [/mm] Nullteiler frei. Wenn das Bild Nullteiler frei ist, was folgt dann für den Kern eines Ringhom? Oder anders formuliert: Falls [mm] $R/\mathfrak [/mm] a=S $ mit $S$ Nullteiler frei, R beliebiger Ring was folgt dann für das Ideal [mm] $\mathfrak [/mm] a$?
d)In Hauptidealringen gilt: Alle Primideale, die nicht trivial sind sind maximal. Was folgt dann für das Bild?
Gruß
Peter
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