Ring zeigen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Es seien [mm] (R_1, [/mm] $+_{1}$, [mm] \*_1) [/mm] und [mm] (R_2, [/mm] $+_{2}$, [mm] \*_2) [/mm] zwei Ringe. Die Menge M stellt das kartesische Produkt der Mengen [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] dar mit Elementen [mm] (r_1, r_2). [/mm] Auf M sind folgende Verknüpfungen definiert: [mm] (r_1, r_2) \circledcirc (\tilde{r}_1, \tilde{r}_2) [/mm] := [mm] (r_1 [/mm] $+_{1}$ [mm] \tilde{r}_1, r_2 [/mm] $+_{2}$ [mm] \tilde{r}_2) [/mm] und [mm] (r_1, r_2) \circledast (\tilde{r}_1, \tilde{r}_2) [/mm] := [mm] (r_1 \*_1 \tilde{r}_1, r_2 \*_2 \tilde{r}_2).
[/mm]
Zeigen Sie, dass (M, [mm] \circledcirc, \circledast) [/mm] ein Ring ist. |
Hallo,
diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen.
Grundsätzlich weiß ich ja was zu zeigen ist, damit M ein Ring ist. Es muss gelten:
(1) (M, [mm] \circledcirc) [/mm] ist eine kommutative Gruppe
(2) (M, [mm] \circledast) [/mm] ist eine Halbgruppe
(3) Distributivgesetz
Für (1) muss also gelten dass die Verknüpfung assoziativ ist, ein neutrales/inverses Element existiert und die verknüpfung kommuativ ist. Bei (2) muss nur gelten dass die Verknüpfung assoziativ ist
Das Zeigen des Assoziativ-, Distributiv- und Kommutativgesetzes stellt mich nun vor die meisten Probleme. Ich weiß zwar was die Gesetze besagen, aber nicht wie ich das mit der oben genannten - für mich sehr undurchsichtig wirkenden - Verknüpfung zeigen kann.
Mein erster Ansatz für das Assoziativgesetz sah so aus dass ich einfach beide Richtungen aufgelöst habe, also (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c). Da kamen aber unterschiedliche Dinge heraus, aber ich würde mir durchaus einen trivialen Rechenfehler bei der Verknüpfung zutrauen. Mich verwirrt vorallem der Index beim Plus- und Malzeichen, was für mich irgendwie heißt dass das nicht unbedingt das normale Plus ist, oder? Diese Frage geht Hand in Hand mit dem neutralen Element: Würde es sich um "das normale" Plus handeln, hätte ich das neut. Element mit (0,0) angegeben. Aber da wir keine Zahlmenge definiert haben bin ich mir da nicht sicher.
€dit: Hier ist mein Ansatz für das Assoziativgesetz:
Seien (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] M. Zu zeigen:
((a,b) [mm] \circledcirc [/mm] (c,d)) [mm] \circledcirc [/mm] (e,f) = (a,b) [mm] \circledcirc [/mm] ((c,d) [mm] \circledcirc [/mm] (e,f))
[mm] \gdw [/mm] (a $+_{1}$ c, b $+_{2}$ d) [mm] \circledcirc [/mm] (e,f) = (a,b) [mm] \circledcirc [/mm] (c $+_{1}$ e, d $+_{2}$ f)
[mm] \gdw [/mm] (a $+_{1}$ c $+_{1}$ e, b $+_{2}$ d $+_{2}$ f) = (c $+_{1}$ e $+_{1}$ a, d $+_{2}$ f $+_{2}$ b)
[mm] \Rightarrow [/mm] assoziativ
Ist das schon alles?
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das anhand der o.g. Verknüpfungen zeigen kann (diese Frage gilt eigentlich für alle Gesetze, aber die Vorgehensweise ist vermutlich die selbe).
Liebe Grüße und Danke,
Ceriana
P.S.: Ich habe verzweifelt versucht in LaTeX ein "+" mit Index darzustellen, wie auf dem Aufgabenblatt, aber das gewohnte "+_{1}" funktioniert da nicht (nur mit den $-Zeichen drum). Wie kann ich das darstellen? Die Frage betrifft nur das Forum hier, wenn ich das +_{1} durch MikTeX jage funktioniert das.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 20.05.2015 | | Autor: | statler |
> Es seien [mm](R_1,[/mm] [mm]+_{1}[/mm], [mm]\*_1)[/mm] und [mm](R_2,[/mm] [mm]+_{2}[/mm], [mm]\*_2)[/mm] zwei
> Ringe. Die Menge M stellt das kartesische Produkt der
> Mengen [mm]R_1[/mm] und [mm]R_2[/mm] dar mit Elementen [mm](r_1, r_2).[/mm] Auf M sind
> folgende Verknüpfungen definiert: [mm](r_1, r_2) \circledcirc (\tilde{r}_1, \tilde{r}_2)[/mm]
> := [mm](r_1[/mm] [mm]+_{1}[/mm] [mm]\tilde{r}_1, r_2[/mm] [mm]+_{2}[/mm] [mm]\tilde{r}_2)[/mm] und
> [mm](r_1, r_2) \circledast (\tilde{r}_1, \tilde{r}_2)[/mm] := [mm](r_1 \*_1 \tilde{r}_1, r_2 \*_2 \tilde{r}_2).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass (M, [mm]\circledcirc, \circledast)[/mm] ein Ring
> ist.
>
>
>
>
Auch hallo!
> diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen.
>
> Grundsätzlich weiß ich ja was zu zeigen ist, damit M ein
> Ring ist. Es muss gelten:
>
> (1) (M, [mm]\circledcirc)[/mm] ist eine kommutative Gruppe
> (2) (M, [mm]\circledast)[/mm] ist eine Halbgruppe
> (3) Distributivgesetz
>
> Für (1) muss also gelten dass die Verknüpfung assoziativ
> ist, ein neutrales/inverses Element existiert und die
> verknüpfung kommuativ ist. Bei (2) muss nur gelten dass
> die Verknüpfung assoziativ ist
>
> Das Zeigen des Assoziativ-, Distributiv- und
> Kommutativgesetzes stellt mich nun vor die meisten
> Probleme. Ich weiß zwar was die Gesetze besagen, aber
> nicht wie ich das mit der oben genannten - für mich sehr
> undurchsichtig wirkenden - Verknüpfung zeigen kann.
>
> Mein erster Ansatz für das Assoziativgesetz sah so aus
> dass ich einfach beide Richtungen aufgelöst habe, also (a
> [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] c = a [mm]\circ[/mm] (b [mm]\circ[/mm] c). Da kamen aber
> unterschiedliche Dinge heraus, aber ich würde mir durchaus
> einen trivialen Rechenfehler bei der Verknüpfung zutrauen.
> Mich verwirrt vorallem der Index beim Plus- und Malzeichen,
> was für mich irgendwie heißt dass das nicht unbedingt das
> normale Plus ist, oder? Diese Frage geht Hand in Hand mit
> dem neutralen Element: Würde es sich um "das normale" Plus
> handeln, hätte ich das neut. Element mit (0,0) angegeben.
> Aber da wir keine Zahlmenge definiert haben bin ich mir da
> nicht sicher.
Das ist schon alles ok, für verschiedene Plusse verschiedene Symbole zu nehmen. Ich kämpfe gerade an einer anderen Front, wo alle Plusse durch + repräsentiert werden. Das übertüncht ein bißchen die bei Beweisen auf diesem Niveau erforderliche Sorgfalt. Genau genommen ist sogar das Plus bei den natürlichen Zahlen zunächst ein anderes als das bei den ganzen Zahlen. Falls du allerdigs Grundschullehrer werden willst, solltest du das zwar wissen, aber auf keinen Fall an deine SchülerInnen weitergeben.
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> €dit: Hier ist mein Ansatz für das Assoziativgesetz:
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> Seien (a,b), (c,d), (e,f) [mm]\in[/mm] M. Zu zeigen:
> ((a,b) [mm]\circledcirc[/mm] (c,d)) [mm]\circledcirc[/mm] (e,f) = (a,b)
> [mm]\circledcirc[/mm] ((c,d) [mm]\circledcirc[/mm] (e,f))
>
> [mm]\gdw[/mm] (a [mm]+_{1}[/mm] c, b [mm]+_{2}[/mm] d) [mm]\circledcirc[/mm] (e,f) = (a,b)
> [mm]\circledcirc[/mm] (c [mm]+_{1}[/mm] e, d [mm]+_{2}[/mm] f)
>
[mm]\gdw[/mm] ((a [mm]+_{1}[/mm] c) [mm]+_{1}[/mm] e, (b [mm]+_{2}[/mm] d) [mm]+_{2}[/mm] f) = (a $+_{1}$ (c [mm]+_{1}[/mm] e) , b $+_{1}$ (d [mm]+_{2}[/mm] f))
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] assoziativ
>
> Ist das schon alles?
Naja, ich würde da als Korrektor noch jedes Mal eine kurze Begründung erwarten, die sich auf die Definitionen bezieht. Mathematik ist hier eine deduktive Wissenschaft. (An der Grundschule ist sie induktiv.)
Gruß aus HH
Dieter
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