Ring und Abbildung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R [mm] \not= [/mm] {0} ein kommutativer Ring. Für alle r in R sei [mm] L_{r}: [/mm] R --> R mit x --> rx definiert.
Behauptung: R ist ein Körper <=> [mm] L_{r} [/mm] ist für alle r [mm] \not [/mm] = {0} injektiv.
|
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
also die "=>" Richtung ist klar. Ich habe Probleme mit der Rückrichtung, sprich aus der Surjektivität auf den Körper zu schließen. An sich brauche ich dafür ja nur zeigen, dass es zu jedem r ein r' gibt, so dass r*r'= e ist. Aber wie kann ich hierfür die Surjektivität von [mm] L_{r} [/mm] ausnutzen. Habt Ihr vielleicht einen Tip.
Danke,Steffen
|
|
| |
|
>... <=> [mm]L_{r}[/mm] ist für alle r [mm]\not[/mm]
> = {0} injektiv.
> Ich habe Probleme mit der
> Rückrichtung, sprich aus der Surjektivität auf den Körper
> zu schließen.
Hallo,
was denn jetzt wo?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Di 15.05.2007 | | Autor: | steffenhst |
Ich meinte natürlich:
R ist ein Körper <=> [mm] L_{r} [/mm] ist für alle r [mm] \not= [/mm] 0 surjektiv.
Sorry, da war ich zu schnell.
Gruß, Steffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Di 15.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffen!
> Sei R [mm]\not=[/mm] {0} ein kommutativer Ring. Für alle r in R sei
> [mm]L_{r}:[/mm] R --> R mit x --> rx definiert.
> Behauptung: R ist ein Körper <=> [mm]L_{r}[/mm] ist für alle r [mm]\not[/mm]
> = 0 surjektiv.
>
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
>
> also die "=>" Richtung ist klar. Ich habe Probleme mit der
> Rückrichtung, sprich aus der Surjektivität auf den Körper
> zu schließen. An sich brauche ich dafür ja nur zeigen, dass
> es zu jedem r ein r' gibt, so dass r*r'= e ist. Aber wie
> kann ich hierfür die Surjektivität von [mm]L_{r}[/mm] ausnutzen.
Die Surjektivitaet von [mm] $L_r$ [/mm] bedeutet ja, dass es ein $r' [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $L_r(r') [/mm] = e$ gibt.
Apropos: Wenn $R$ endlich ist, koennte man oben tatsaechlich ``... injektiv'' anstelle ``... surjektiv'' schreiben. :)
LG Felix
|
|
|
|
