Ring auf Matrizen beweisen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:00 So 01.11.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
| Aufgabe | Betrachte die Menge [mm] \IR^{2x2} [/mm] := { [mm] {\pmat{ a & b \\ c & d } | a,b,c,d } \in \IR} [/mm] der 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen. Definiere Operationen auf [mm] R^{2x2} [/mm] mittels
[mm] \IR^{2x2} [/mm] x [mm] \IR^{2x2} \to \IR^{2x2}
[/mm]
( [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }) \mapsto \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] := [mm] \pmat{ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{3} & a_{1}b_{2} + a_{2}b_{4} \\ a_{3}b_{1} + a_{4}b_{3} & a_{3}b_{2} + a_{4}b_{4} }
[/mm]
( [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }) \mapsto \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] := [mm] \pmat{ a_{1} + b_{1} & a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} & a_{4} + b_{4} }
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] R^{2x2} [/mm] mit dieser Multiplikation und Addition ein Ring ist. Ist [mm] R^{2x2} [/mm] kommutativ?
(b) Betrachte die Teilmenge
c := { [mm] \pmat{a & -b \\ b & a} \in \IR^{2x2} [/mm] | a,b [mm] \in \IR [/mm] }
Zeige, dass C ein Unterring von [mm] R^{2x2} [/mm] ist. Ist C kommutativ? |
Hey Leute,
ich bräuchte nochmals eure Hilfe, wäre nett wenn ihr mir wieder einen Schubes in die Richtung geben könntet.
Zu a)
Zunächst muss ich folgende 3 Sachen zeigen, damit es sich auch wirklich um einen Ring handelt.
R1) [mm] (\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }, [/mm] +) ist eine ablege Gruppe
R2) Die Verknüpfung "*" ist assoziativ
R3) Es gelten die Distributivgesetze, d.h.
( [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] ) * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * ( [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} } [/mm] ) = [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] * [mm] \pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }
[/mm]
-----------------------------------------------------------------------------------
Mein Lösungsvorschlag
R1) Da die Matrizenaddition komponenterweise über Körperelemente definiert ist, bildet sie automatisch eine abelsche Gruppe
R2) Zu beweisen ist, dass gilt:
M_(a) * ( M_(b) * M_(c) )= ( M_(a) * M_(b) ) * M_(c)
Ich würde dass nun per Definition zur Matrizenmultiplikation einfach zeigen dass die Aussagen Äquivalent zu einander sind.
R3) Äquivalent zu R2)
-------
Um die Kommutativität zu zeigen, fällt mir nichts ein außer zu zeigen, dass gilt:
M_(a) * M_(b) = M_(b) * M_(a)
und
M_(a) + M_(b) = M_(b) + M_(a)
Gibt es dazu vielleicht einen kürzeren Weg, sonst ist das ja nur unnötig viel Schreib-Arbeit... :S
Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.
Viele Grüße,
Hamd.44
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 So 01.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte die Menge [mm]\IR^{2x2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]{\pmat{ a & b \\ c & d } | a,b,c,d } \in \IR}[/mm]
> der 2x2 Matrizen mit reellen Einträgen. Definiere
> Operationen auf [mm]R^{2x2}[/mm] mittels
> [mm]\IR^{2x2}[/mm] x [mm]\IR^{2x2} \to \IR^{2x2}[/mm]
> ( [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }) \mapsto \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] := [mm]\pmat{ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{3} & a_{1}b_{2} + a_{2}b_{4} \\ a_{3}b_{1} + a_{4}b_{3} & a_{3}b_{2} + a_{4}b_{4} }[/mm]
>
> ( [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }, \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }) \mapsto \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
> + [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] := [mm]\pmat{ a_{1} + b_{1} & a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} & a_{4} + b_{4} }[/mm]
>
> (a) Zeige, dass [mm]R^{2x2}[/mm] mit dieser Multiplikation und
> Addition ein Ring ist. Ist [mm]R^{2x2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
kommutativ?
>
> (b) Betrachte die Teilmenge
> c := { [mm]\pmat{a & -b \\ b & a} \in \IR^{2x2}[/mm] | a,b [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Zeige, dass C ein Unterring von [mm]R^{2x2}[/mm] ist. Ist C
> kommutativ?
> Hey Leute,
>
> ich bräuchte nochmals eure Hilfe, wäre nett wenn ihr mir
> wieder einen Schubes in die Richtung geben könntet.
>
> Zu a)
> Zunächst muss ich folgende 3 Sachen zeigen, damit es sich
> auch wirklich um einen Ring handelt.
> R1) [mm](\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} },[/mm] +) ist eine
> ablege Gruppe
> R2) Die Verknüpfung "*" ist assoziativ
> R3) Es gelten die Distributivgesetze, d.h.
> ( [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm] + [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm]
> ) * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm] = [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm] + [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm]
> und
> [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm] * ( [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm]
> + [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm] ) = [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] + [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ c_{1} & c_{2} \\ c_{3} & c_{4} }[/mm]
>
> -----------------------------------------------------------------------------------
> Mein Lösungsvorschlag
> R1) Da die Matrizenaddition komponenterweise über
> Körperelemente definiert ist, bildet sie automatisch eine
> abelsche Gruppe
Das ist mir zu knapp.
>
> R2) Zu beweisen ist, dass gilt:
> M_(a) * ( M_(b) * M_(c) )= ( M_(a) * M_(b) ) * M_(c)
> Ich würde dass nun per Definition zur
> Matrizenmultiplikation einfach zeigen dass die Aussagen
> Äquivalent zu einander sind.
Du meinst obige Gleichheit ? Wenn ja, so kannst Du das so machen.
>
> R3) Äquivalent zu R2)
Was meinst Du denn damit ???
> -------
> Um die Kommutativität zu zeigen, fällt mir nichts ein
> außer zu zeigen, dass gilt:
> M_(a) * M_(b) = M_(b) * M_(a)
Das wird Dir nicht gelingen, denn die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ
> und
> M_(a) + M_(b) = M_(b) + M_(a)
Das kannst Du zeigen
Fred
> Gibt es dazu vielleicht einen kürzeren Weg, sonst ist das
> ja nur unnötig viel Schreib-Arbeit... :S
>
> Über eine Rückmeldung würde ich mich freuen.
>
>
> Viele Grüße,
> Hamd.44
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mo 02.11.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
Hmmmm, ich habe nun R2) und R3) komplett gezeigt, jedoch bin ich bei R1) noch etwas unsicher. Ich soll zeigen dass (R, +) albesch bzw. kommutativ ist.
D.h.:
[mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }
[/mm]
Stimmt das so?
Vg,
Hamd.44
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:31 Mo 02.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hmmmm, ich habe nun R2) und R3) komplett gezeigt, jedoch
> bin ich bei R1) noch etwas unsicher. Ich soll zeigen dass
> (R, +) albesch bzw. kommutativ ist.
> D.h.:
> [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm] + [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} }[/mm] + [mm]\pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }[/mm]
>
> Stimmt das so?
ja, das stimmt. warum ?
fred
>
> Vg,
> Hamd.44
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:40 Mo 02.11.2015 | | Autor: | Hamd.44 |
[mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1} + b_{1} & a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} & a_{4} + b_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ b_{1} + a_{1} & b_{2} + a_{2} \\ b_{3} + a_{3} & b_{4} + a_{4} } [/mm] = [mm] \pmat{ b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4} } [/mm] + [mm] \pmat{ a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} }
[/mm]
Das sollte so als Beweis für die abelsche Gruppe reichen, oder?
Hat jemand vielleicht noch einen Ansatz für b) Zur Untergruppe und wie ich zeigen kann, dass es sich um einen Unterring handelt. :S
Wüsste jetzt keinen wirklichen Ansatz.
Vg,
Hamd.44
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 04.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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