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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:10 Do 25.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | | Die Menge der invertierbaren Elemente [mm] R^{\times}:=\{a\in R|\exists b\in R mit ab=1\} [/mm] ist Gruppe bzgl. * |
Hi :D
also zur Aussage oben ist der Beweis folgendermaßen:
assoziativ, da R Ring, [mm] 1=1_{R}, a\in R^{\times}\Rightarrow\exists b\in [/mm] R: [mm] ab=1\Rightarrow [/mm] ba=1 [mm] \Rightarrow b=a^{-1}\in R^{\times}
[/mm]
FRAGEN:
1. Also erst mal bei dem festgedruckten R - muss das nicht [mm] R^{\times} [/mm] sein, weil a doch auch in [mm] R^{\times}ist?
[/mm]
2. Was bedeutet dieses [mm] 1=1_{R}? [/mm] - Vor allem dieses R, das da angehängt wurde?
Gruß,
s-jojo
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> Die Menge der invertierbaren Elemente [mm]R^{\times}:=\{a\in R|\exists b\in R mit ab=1\}[/mm]
> ist Gruppe bzgl. *
> Hi :D
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> also zur Aussage oben ist der Beweis folgendermaßen:
>
> assoziativ, da R Ring, [mm]1=1_{R}, a\in R^{\times}\Rightarrow\exists b\in[/mm]
> R: [mm]ab=1\Rightarrow[/mm] ba=1 [mm]\Rightarrow b=a^{-1}\in R^{\times}[/mm]
>
> FRAGEN:
> 1. Also erst mal bei dem festgedruckten R - muss das nicht
> [mm]R^{\times}[/mm] sein, weil a doch auch in [mm]R^{\times}ist?[/mm]
Hallo,
daß dieses b tatsächlich in [mm] R^{\times} [/mm] ist, wird doch erst gezeigt. Das ist das Ziel der Bemühung!
Der Gedanke:
Wir haben einen Ring R mit 1 und nehmen uns aus diesem Ring ein invertierbares Element a, also ein [mm] a\in R^{\times}.
[/mm]
Nach Def. von [mm] R^{\times} [/mm] gibt es ein Element b aus R mit ab=1
Aus gewissen Gründen (welchen?) ist auch ba=1.
Also ist b invertierbar, dh. b ist auch in [mm] R^{\times}.
[/mm]
Was wurde erreicht: jedes a [mm] \in R^{\times} [/mm] hat ein inverses Element in [mm] R{\times}.
[/mm]
> 2. Was bedeutet dieses [mm]1=1_{R}?[/mm] - Vor allem dieses R, das
> da angehängt wurde?
Da steht: 1 ist das neutrale Element der Multiplikation im Ring R.
Gruß v. Angela
>
>
> Gruß,
> s-jojo
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Do 25.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Die Menge der invertierbaren Elemente [mm]R^{\times}:=\{a\in R|\exists b\in R mit ab=1\}[/mm]
> > ist Gruppe bzgl. *
> > Hi :D
> >
> > also zur Aussage oben ist der Beweis folgendermaßen:
> >
> > assoziativ, da R Ring, [mm]1=1_{R}, a\in R^{\times}\Rightarrow\exists b\in[/mm]
> > R: [mm]ab=1\Rightarrow[/mm] ba=1 [mm]\Rightarrow b=a^{-1}\in R^{\times}[/mm]
>
> >
> > FRAGEN:
> > 1. Also erst mal bei dem festgedruckten R - muss das nicht
> > [mm]R^{\times}[/mm] sein, weil a doch auch in [mm]R^{\times}ist?[/mm]
>
> Hallo,
>
> daß dieses b tatsächlich in [mm]R^{\times}[/mm] ist, wird doch
> erst gezeigt. Das ist das Ziel der Bemühung!
>
> Der Gedanke:
>
> Wir haben einen Ring R mit 1 und nehmen uns aus diesem Ring
> ein invertierbares Element a, also ein [mm]a\in R^{\times}.[/mm]
>
> Nach Def. von [mm]R^{\times}[/mm] gibt es ein Element b aus R mit
> ab=1
> Aus gewissen Gründen (welchen?) ist auch ba=1.
Hallo Angela,
da hab ich aber Zweifel. Beispiel:
Sei $X = [mm] l^1 [/mm] = [mm] \{(x_n): x_n \in \IR , \summe_{n=1}^{\infty}|x_n| < \infty \}$ [/mm] und R der Ring aller Endomorphismen von X. R ist ein Ring mit Einselement I = Identität auf X.
Definiere A,B [mm] \in [/mm] R wie folgt:
[mm] $A((x_n)):= (x_2,x_3,....)$
[/mm]
und
[mm] $B((x_n)):= [/mm] (0, [mm] x_1,x_1,....)$
[/mm]
Dann ist AB=I, aber BA [mm] \ne [/mm] I
s-jojo hat in seinem Post die Menge der invertierbaren Elemente [mm] R^{\times} [/mm] unvollständig wiedergegeben.
Richtig: [mm] $R^{\times} [/mm] = [mm] \{a \in R: \exists b \in R: ab=1=ba \}$
[/mm]
Vielleicht ist der Ring R als kommutativ vorausgesetzt und s-jojo hat versäumt das zu berichten
Gruß FRED
>
> Also ist b invertierbar, dh. b ist auch in [mm]R^{\times}.[/mm]
>
> Was wurde erreicht: jedes a [mm]\in R^{\times}[/mm] hat ein inverses
> Element in [mm]R{\times}.[/mm]
>
> > 2. Was bedeutet dieses [mm]1=1_{R}?[/mm] - Vor allem dieses R, das
> > da angehängt wurde?
>
> Da steht: 1 ist das neutrale Element der Multiplikation im
> Ring R.
>
> Gruß v. Angela
> >
> >
> > Gruß,
> > s-jojo
> >
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>> Aus gewissen Gründen (welchen?) ist auch ba=1.
> Vielleicht ist der Ring R als kommutativ vorausgesetzt und
> s-jojo hat versäumt das zu berichten
>
> Gruß FRED
Hallo,
davon bin ich ausgegangen, und dies wollt' ich eigentlich mal abfragen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Do 25.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Danke für eure Antworten! ;)
Hat mir echt super geholfen. :)
Lg
s-jojo
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