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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Folgender Ring ist gegeben:
[mm] $\IZ[i]:=\{x+iy:x,y\in \IZ\}\subseteq \IC$
[/mm]
Bestimmen Sie die multiplikative Einheitengruppe [mm] \IZ[i]*, [/mm] indem sie mit dem Betrag einer komplexen Zahl |x+iy| arbeiten. |
Hallo.
Ich habe hier leider keine Ahnung
Ich weiß wohl, dass der Betrag einer komplexen Zahl als |z| als [mm] \sqrt{a^2+b^2} [/mm] definiert ist. Wenn z nun aber gleich x+iy wäre, dann kann ich damit aber auch nichts anfangen, ich meine
[mm] $\IZ[i]:=\{z:x,y\in \IZ\}\subseteq \IC$
[/mm]
hä? und was kann man da mit dem Betrag machen?
Kann mal jemand eine Anleitung geben? Danke!
Grüße von Johann
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Hallo,
Sei [mm] z=x+iy\in \IZ[i]. [/mm] Wenn z invertierbar in [mm] \IZ[i], [/mm] gibt es a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit
(x+iy)(a+ib)=1.
Also muß gelten
1=|(x+iy)(a+ib)|=|(x+iy)||(a+ib)|=(...)(...)
Bedenke nun, daß x,y,a,b [mm] \in \IZ. [/mm] Da gibt es verflixt wenig Möglichkeiten für positive zahlen, die miteinander multipliziert 1 ergeben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Sehr schön erklärt! Vielen Dank.
Ich glaube, jetzt kommt eine dumme Frage, aber um das ganze entsprechend aufzulösen, muss ich doch den Betrag wieder wegmachen (aber ich vermute, dass das Unsinn ist, weil sonst hätten wir ihn gleich weggelassen)
Ich kenne die Formel vom Abstand von a bis b [mm] $((a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2)$
[/mm]
Aber damit kann ich auch nicht arbeiten, oder?
Dann versuche ich mal zu folgern:
$|(x+iy)||(a+ib)| = 1$
Wenn das gleich 1 sein soll, dann muss doch
x+iy = -1
oder
x+iy = 1
und
a-ib = -1
oder
a-ib = 1
sein, oder?
Da kann ich aber erst einmal so nichts mit auflösen.
Also würde ich versuchen, zwei Gleichungssysteme aufzustellen
a-ib = -1
a-ib = +1
Und das mal versuchen, aufzulösen.
Entsprechend für das obige.
Und dann kann ich alle Lösungen sozusagen aufeinander anwenden.
a-ib = +1 und x+iy = 1 oder x+iy = -1
a-ib = -1 und x+iy = 1 oder x+iy = -1
Das wären dann 6 Lösungen!?
Ich glaube, ich mache schon wieder Unsinn?
Viele Grüße
Phoney
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Hallo,
wir waren stehengeblieben bei
"(x+iy)(a+ib)=1.
Also muß gelten
1=|(x+iy)(a+ib)|=|(x+iy)||(a+ib)| "
> aber um das ganze
> entsprechend aufzulösen, muss ich doch den Betrag wieder
> wegmachen (aber ich vermute, dass das Unsinn ist, weil
> sonst hätten wir ihn gleich weggelassen)
>
> Ich kenne die Formel vom Abstand von a bis b
> [mm]((a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2)[/mm]
Oh! Ich vergaß, etwas zu erklären, was ich hätte erklären sollen.
Wenn z:=x+iy, dann ist [mm] |z|=\wurzel{z*\overline{z}}=\wurzel{(x+iy)(x-iy)}=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
Am besten quadrierst Du das hier
1=|(x+iy)(a+ib)|=|(x+iy)||(a+ib)| erstmal,
dann die Beträge "ausrechnen" - also hinschrieben.
(Möglicherweise ist auch noch [mm] \IZ[i] [/mm] erklärungsbedürftig? Das ist die Teilmenge der komplexen Zahlen, welche sich schreiben läßt als Summe einer ganzen Zahl und einem ganzzahligen Vielfachen von i.)
Deine a,b,x,y sind also ganze Zahlen.
Kommst Du nun ins Ziel?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ne, ich schaffe es nicht ganz und wollte auch nicht quadrieren, stattdessen habe ich dann gemacht
1=|(x+iy)||(a+ib)|
Dann mit dem Betrag
[mm] 1=\sqrt{x^2+y^2}*\sqrt{a^2+b^2}
[/mm]
quadriert und ausmultipliziert
1 = [mm] x^2a^2+x^2b^2+a^2y^2+b^2y^2
[/mm]
Auch ausklammern bringt mich nicht weiter (und Wurzel ziehen)
[mm] \pm1 [/mm] = [mm] \sqrt{x^2(a^2+b^2)+y^2(a^2+b^2)}
[/mm]
Der Term unter der Wurzel sollte Eins werden, damit das erfüllt ist.
Nur keine Ahnung, wie es weiter geht.
Entschuldigung, dass ich nicht quadriert habe, wie es gesagt worden ist, aber dann hätte ich das mit dem Betrag nicht geschafft.
Sorry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Do 21.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (a^2+b^2)*(x^2+y^2)=1
[/mm]
jetzt sollen x,y,a,b ganze Zahlen sein, [mm] a^2+b^2>0 [/mm] wenn a und b>0 wenn eines von beiden [mm] \ne0 [/mm] folgt [mm] a^2+b^2\ge [/mm] 1
ebenso [mm] x^2+y^2 [/mm] also bleibt nur [mm] x^2+y^2=1 [/mm] und [mm] a^2+b^2=1
[/mm]
daraus folgt [mm] x=\pm [/mm] 1,ODER [mm] y=\pm [/mm] 1
also hast du z=1;z=-1, die ihre eigenen Inversen sind und z=i mit -i als inversen und umgekehrt.
(Man kann das auch schneller sehen, weil auf dem Einheitskreis ausser den vier Schnittpunkten mit den Achsen keine ganzen Gausschen Zahlen liegen!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Do 21.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Okay, danke.
Ich habe damit dann als Lösung also
[mm] \IZ [i]^{\*} [/mm] = [mm] \{\pm 1, \pm i\}
[/mm]
Vielen Dank an euch!!!!
Schöne Grüße
Johann
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