Riemannscher Abbildungssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Do 04.08.2005 | | Autor: | Jacko |
Hallo zusammen!!!
Nun, ich habe ein kleines Problem mit dem Abbildungssatz von Riemann, der ja wie folgt lautet:
Sei G [mm] \subset \IC [/mm] 1-fach zusammenhängendes Gebiet mit G [mm] \not= \IC. [/mm] Dann gibt's eine konforme Abbildung f:G [mm] \to \ID, [/mm] wobei [mm] \ID [/mm] = [mm] \{z | |z| < 1 \}, [/mm] also der innere Einheitskreis.
Ist [mm] z_{0} \in [/mm] G beliebig, so kann man f so wählen, dass [mm] f(z_{0})=0 [/mm] und [mm] f'(z_{0}) [/mm] > 0. Dadurch ist f dann eindeutig bestimmt.
So, nun meine Frage dazu: Warum ist es nicht möglich, etwa [mm] f'(z_{0}) [/mm] =1 zu fordern?
Zumindest der Eindeutigkeitsbeweis (mit Lemma von Schwarz) tut liefert das ohne weiteres, also kann es doch nur an der Exitsenz der Abbildung scheitern.
Einen Lösungstip hat mein Prof. los gelassen: Lässt man die Bedingung an die Ableitung einfach weg, so erhält man eine Abbildung, deren Ableitung betraglich eine Konstante ist (Warum?). [mm] f'(z_{0}) [/mm] > 0 erhält man dann angeblich durch eine Drehung des Einheitskreises.
Mit diesem Tip kann ich leider grade garn ichts anfangen, über eure Mithilfe bin ich euch um so mehr dankbar.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jacko!
Dann nehme doch mal an es gäbe zwei konforme Abbildungen [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] von $G [mm] \ne \IC$, [/mm] $G$ einfach zusammenhängend, auf [mm] $D:=\{z \in \IC\, : \, |z|<1\}$ [/mm] mit [mm] $\varphi(z_0) [/mm] = 0 = [mm] \psi(z_0)$ [/mm] und
[mm] $|\varphi'(z_0)| \ne |\psi'(z_0)|$.
[/mm]
Wenn du nun [mm] $\varphi \circ \psi^{-1} [/mm] :D [mm] \to [/mm] D$ und [mm] $\psi \circ \varphi^{-1}:D \to [/mm] D$ betrachtest... auf welchen Widerspruch kommst du dann (unter Beachtung des Lemmas von Schwarz)? 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 08.08.2005 | | Autor: | Jacko |
Hallo Stefan!!!
Danke für Deine schnelle Antwort! Ich habe einige Zeit gebraucht um dahinter zu kommen (habe wohl auf dem berühmten Schlauch gestanden!), aber dafür gefällt mir die Lösung jetzt umso besser ...
Danke Dir und mal ein riesen Lob an dieses tolle Forum! Klasse Sache!!!
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