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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich habe hier die Riemannsche Zeta-Funktion und habe zu einer Nebenrechnung eine Frage!
Die Nebenrechnung bezieht sich auf den folgenden Satz:
Satz :
1. Es gibt eine meromorphe Funktion [mm] \zeta: \mathbb C \to \mathbb C [/mm] so, dass
(*) [mm] \zeta (s) = \summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{1}{n^s} \ \forall \ s\in \mathbb C , \ Re(s) > 1 [/mm]
[mm] \zeta [/mm] hat genau einen POl, nämlich bei s = 1 mit Vielfachheit 1 und Residuum 1.
Die meromkrphe Funktion ist durch (*) eindeutig bestimmt.
2. Für [mm]s \in \mathbb C [/mm] sei [/mm] [mm] \phi [/mm] (s) = [mm] \pi^{ \bruch{-s}{2}} \Gamma [/mm] ( [mm] \bruch{s}{2} [/mm] ) [mm] \zeta(s) [/mm] [/mm]
[mm] \phi [/mm] ist eine meromorphe Funktion auf den komplexen Zahlen und erfüllt
[mm] \phi ( 1 -s ) = \phi (s) [/mm], d.h.
[mm] \zeta ( 1- s ) = \pi^{ -s + \bruch{1}{2} } \cdot \Gamma(\bruch{s}{2}) \cdot \Gamma( \bruch{1-s}{2})^{-1} \cdot \zeta (s) [/mm]
Funktionsgleichung der Zeta-Funktion.
3. [mm] \zeta (s) \ne 0 [/mm] für [mm] Re(s) >1 [/mm].
Nullstellen von [mm] \zeta (s) [/mm] in [mm] \{ s \in \mathbb C \ | \ Re(s) <0 \} [/mm] sind bei s= -2, -4, -6 ...
Nun habe ich hier eine Neberechnung zum Teil 3:
[mm] \zeta(-2) = \pi^{-2,5} \cdot \Gamma(\bruch{3}{2}) \cdot \Gamma(-1)^{-1} \zeta(3) = 0 [/mm]
( Warum ist dies 0 ? Anscheinend wurde Teit 2 dafür benutzt, aber dennoch sehe ich nicht, dass das ganze Progukt Null ist, weil kein Faktor da Null ist....)
[mm] [mm] \zeta(-1) = \pi^{-1,5} \cdot \Gamma(1) \cdot \Gamma(- \bruch{1}{2})^{-1} \cdot \zeta(2) = [/mm]
[mm] = \pi^{-1,5} \cdot 1 \cdot \Gamma( \bruch{1}{2} - 1 )^{-1} \bruch{\pi^2}{6} = \bruch{-1}{12} [/mm]
( Hier kann die Rechnung leider auch nicht nachvollziehen... )
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mi 29.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> 1. Es gibt eine meromorphe Funktion [mm]\zeta: \mathbb C \to \mathbb C[/mm]
> so, dass
>
> (*) [mm]\zeta (s) = \summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{1}{n^s} \ \forall \ s\in \mathbb C , \ Re(s) > 1[/mm]
>
> [mm]\zeta[/mm] hat genau einen POl, nämlich bei s = 1 mit
> Vielfachheit 1 und Residuum 1.
> Die meromkrphe Funktion ist durch (*) eindeutig bestimmt.
>
> 2. Für [mm]s \in \mathbb C[/mm] sei[/mm] [mm]\phi[/mm] (s) = [mm]\pi^{ \bruch{-s}{2}} \Gamma[/mm]
> ( [mm]\bruch{s}{2}[/mm] ) [mm]\zeta(s)[/mm][/mm]
> [mm]\phi[/mm] ist eine meromorphe Funktion auf den komplexen Zahlen
> und erfüllt
> [mm]\phi ( 1 -s ) = \phi (s) [/mm], d.h.
> [mm]\zeta ( 1- s ) = \pi^{ -s + \bruch{1}{2} } \cdot \Gamma(\bruch{s}{2}) \cdot \Gamma( \bruch{1-s}{2})^{-1} \cdot \zeta (s)[/mm]
>
> Funktionsgleichung der Zeta-Funktion.
>
>
> 3. [mm]\zeta (s) \ne 0 [/mm] für [mm]Re(s) >1 [/mm].
> Nullstellen von [mm]\zeta (s)[/mm] in [mm]\{ s \in \mathbb C \ | \ Re(s) <0 \}[/mm]
> sind bei s= -2, -4, -6 ...
>
>
> Nun habe ich hier eine Neberechnung zum Teil 3:
>
> [mm]\zeta(-2) = \pi^{-2,5} \cdot \Gamma(\bruch{3}{2}) \cdot \Gamma(-1)^{-1} \zeta(3) = 0[/mm]
>
> ( Warum ist dies 0 ? Anscheinend wurde Teit 2 dafür
> benutzt, aber dennoch sehe ich nicht, dass das ganze
> Progukt Null ist, weil kein Faktor da Null ist....)
Nun, [mm] $\Gamma$ [/mm] hat bei $-1$ einen Pol. Damit ist [mm] $\Gamma(-1)^{-1} [/mm] = 0$.
> [mm][mm]\zeta(-1) = \pi^{-1,5} \cdot \Gamma(1) \cdot \Gamma(- \bruch{1}{2})^{-1} \cdot \zeta(2) = [/mm]
> [mm]= \pi^{-1,5} \cdot 1 \cdot \Gamma( \bruch{1}{2} - 1 )^{-1} \bruch{\pi^2}{6} = \bruch{-1}{12}[/mm]
>
> ( Hier kann die Rechnung leider auch nicht nachvollziehen... )
Das erste Gleichheitszeichen ist die Funktionalgleichung in Teil 2, mit $s = 2$. Der zweite Teil ist etwas Wissen ueber die Gamma-Funktion, naemlich dass [mm] $\Gamma(1) [/mm] = 1$ ist und dass [mm] $\zeta(2) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{\pi^2}{6}$ [/mm] ist. Das dritte Gleichheitszeichen folgt vermutlich mit $(
frac{1}{2} - 1) [mm] \Gamma(\frac{1}{2} [/mm] - 1) = [mm] \Gamma(\frac{1}{2} [/mm] - 1 + 1) = [mm] \Gamma(\frac{1}{2})$ [/mm] (Funktionalgleichung fuer [mm] $\Gamma$) [/mm] und mit [mm] $\Gamma(\frac{1}{2}) [/mm] = [mm] \sqrt{\pi} [/mm] = [mm] \pi^{0.5}$.
[/mm]
Zu der [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] einfach mal ![[]](/images/popup.gif) hier gucken, da steht alles was du brauchst.
LG Felix
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