Riemannsche Mannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien M und N Riemannsche Mannigfaltigkeiten versehen mit den diff'baren Strukturen [mm]\{U_{\alpha},X_{\alpha}\}[/mm] bzw. [mm] \{V_{\beta},Y_{\beta} \}[/mm] . Betrachte dann auf dem kartesischen Produkt [mm]MxN[/mm] versehen mit der diff'baren Struktur [mm] \{U_{\alpha}xV_{\beta},Z_{\alpha \beta}=(X_{\alpha},Y_{\beta}) \} [/mm], das Skalarprodukt
[mm]_{(p,q)}=_{p}+_{q}[/mm]
wobei [mm](p,q) \in MxN, u,v \in T_{(p,q)}(MxN)[/mm] und den kanonischen Projektionen [mm] \pi_{1}:MxN \rightarrow M ; \pi_{2}:MxN \rightarrow N [/mm]
Zeigen sie dass hierdurch [MxN] zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wird. |
Hallo zusammen. Ich hab ein Problem mit der Definition und hoffe ihr könnt mir da helfen.
Also nach Definition reicht es zu zeigen, dass das Skalarprodukt symmetrisch, positiv definit (hab ich hinbekommen!) und diff'bar im folgenden Sinne ist:
Ist [mm] Z_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow M [/mm] eine Koordinatenumgebung von [mm]p[/mm] mit [mm] Z_{\alpha}(x_{1},....,x_{n})=q [/mm] und [mm] (\bruch{\partial}{\partial x_{1}}(q),....,\bruch{\partial}{\partial x_{n}}(q)) [/mm] die zugehörige kanonische Basis in [mm] T_{q}(M) [/mm] so sind
[mm] <\bruch{\partial}{\partial x_{i}}(q),\bruch{\partial}{\partial x_{j}}(q)>_{q} [/mm] diff'bare Funktionen.
Mein Problem ist nun diese Definition: Was ist denn [mm] (\bruch{\partial}{\partial x_{1}}(q),....,\bruch{\partial}{\partial x_{n}}(q)) [/mm] und wie schreibe ich das auf diesen Fall um?
Vielen Dank für eure Hilfe schon mal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien M und N Riemannsche Mannigfaltigkeiten versehen mit
> den diff'baren Strukturen [mm]\{U_{\alpha},X_{\alpha}\}[/mm] bzw.
> [mm]\{V_{\beta},Y_{\beta} \}[/mm] . Betrachte dann auf dem
> kartesischen Produkt [mm]MxN[/mm] versehen mit der diff'baren
> Struktur [mm]\{U_{\alpha}xV_{\beta},Z_{\alpha \beta}=(X_{\alpha},Y_{\beta}) \} [/mm],
> das Skalarprodukt
> [mm]_{(p,q)}=_{p}+_{q}[/mm]
>
> wobei [mm](p,q) \in MxN, u,v \in T_{(p,q)}(MxN)[/mm] und den
> kanonischen Projektionen [mm]\pi_{1}:MxN \rightarrow M ; \pi_{2}:MxN \rightarrow N[/mm]
>
> Zeigen sie dass hierdurch [MxN] zu einer Riemannschen
> Mannigfaltigkeit wird.
> Hallo zusammen. Ich hab ein Problem mit der Definition und
> hoffe ihr könnt mir da helfen.
>
> Also nach Definition reicht es zu zeigen, dass das
> Skalarprodukt symmetrisch, positiv definit (hab ich
> hinbekommen!) und diff'bar im folgenden Sinne ist:
>
> Ist [mm]Z_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow M[/mm] eine
> Koordinatenumgebung von [mm]p[/mm] mit
> [mm]Z_{\alpha}(x_{1},....,x_{n})=q[/mm] und
> [mm](\bruch{\partial}{\partial x_{1}}(q),....,\bruch{\partial}{\partial x_{n}}(q))[/mm]
> die zugehörige kanonische Basis in [mm]T_{q}(M)[/mm] so sind
> [mm]<\bruch{\partial}{\partial x_{i}}(q),\bruch{\partial}{\partial x_{j}}(q)>_{q}[/mm]
> diff'bare Funktionen.
>
> Mein Problem ist nun diese Definition: Was ist denn
> [mm](\bruch{\partial}{\partial x_{1}}(q),....,\bruch{\partial}{\partial x_{n}}(q))[/mm]
> und wie schreibe ich das auf diesen Fall um?
Du hast doch diese Eigenschaft schon für die beiden Riemannschen Mannigfaltigkeiten M und N. Außerdem hast du die Definition des Skalarprodukt s auf [mm] $M\times [/mm] N$:
[mm]_{(p,q)}=_{p}+_{q}[/mm]
Damit kannst du doch jedes Skalarprodukt auf dem Tangentialraum an [mm] $M\times [/mm] N$ in $(p,q)$ durch die Skalarprodukte auf [mm] $T_p(M)$ [/mm] und [mm]T_{q}(N)[/mm] ausdrücken.
(Das ist auch nichts Anderes als die direkte Summe zweier Vektorräume: der Tangentialraum [mm] $T_{(p,q)}(M\times [/mm] N)$ zerfällt in die einzelnen Tangentialräume. $d [mm] \pi_{1}$ [/mm] und [mm] $d\pi_2$ [/mm] sind die Projektionen von [mm] $T_{(p,q)}(M\times [/mm] N)$ auf [mm] $T_p(M)$ [/mm] und [mm]T_{q}(N)[/mm].)
Also nimmst du jeweils die kanonische Basis von [mm] $T_p(M)$ [/mm] und [mm]T_{q}(N)[/mm], setzt die beiden zusammen und hast eine Basis für [mm] $T_{(p,q)}(M\times [/mm] N)$, woraus die Diff'barkeit des Skalarprodukts folgt.
Viele Grüße
Rainer
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