Riemannintegral/Ober-/Unters. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | | Berechne das Riemannintegrall für [mm] f(x)=x^2 [/mm] von 0 bis 1 über die Ober- und untersumme |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Untersumme=
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * f( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] )) bis n-1, da der letzte FW ja nicht mit drin ist. Mein n ist 3.
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * 0 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] *f( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] *f(2* [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ))
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{n^2} [/mm] )= [mm] \bruch{1}{n^3} [/mm] *(1+4)= [mm] \bruch{5}{n^3}
[/mm]
Das kann ja nicht stimmen, da es nicht gegen 1/3 konvergiert.
Analog habe ich für die Obersumme
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * f( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] )) [mm] =\bruch{14}{n^3}
[/mm]
was auch nicht stimmen kann.
was mache ich falsch?
Freue mich über jeden Hinweis
Vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Sa 09.04.2016 | | Autor: | chrisno |
> Berechne das Riemannintegrall für [mm]f(x)=x^2[/mm] von 0 bis 1
> über die Ober- und untersumme
>
> Hallo,
>
> ich habe folgenden Ansatz:
>
> Untersumme=
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * f( [mm]\bruch{1}{3}[/mm] )) bis
> n-1, da der letzte FW ja nicht mit drin ist. Mein n ist 3.
Am besten räumst Du hier schon einmal auf. Du musst Dich entscheiden, ob Du die Summe für ein beliebiges n aufschreiben möchtest oder den Fall n = 3. Weiterhin erscheint der Summationsindex i nicht im Summanden. Also addierst Du einen konstanten Wert n-1 mal. Das ist sicher nicht Dein Vorhaben.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n-1}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * 0 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] *f(
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] )+ [mm]\bruch{1}{n}[/mm] *f(2* [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ))
Ähnlich wie zuvor, noch undurchsichtiger. Mir scheint, dass Du die Summe einmal ausgeschrieben und obendrein durch das Summenzeichen angegeben hast. Entscheide Dich für eine Version.
>
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * ( [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{n^2}[/mm] )=
> [mm]\bruch{1}{n^3}[/mm] *(1+4)= [mm]\bruch{5}{n^3}[/mm]
>
> Das kann ja nicht stimmen, da es nicht gegen 1/3
> konvergiert.
Das siehst Du richtig. Es wird besser, wenn Du noch einmal von vorne beginnst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
vielen dank für die schnelle rückmeldung.
ich habe es mal für die Untersumme nochmal probiert.
Für ein beliebiges n
[mm] \summe_{i=1}^{n-1} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * f (i* [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] )
(bei der Obersumme hätte ich dann i+1 in der Summation, da ich ja für das erste rechteck, den x wert an der stelle [mm] x_2, [/mm] für das zweite rechteck den x wert an der Stelle [mm] x_3 [/mm] usw. benötige) Ist das richtig? Auch von der Begründung her?)
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (f (0)+f ( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )+f (2* [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )+...+f ((n-1)* f( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) )
[mm] =(\bruch{1}{3})^{3} [/mm] * [mm] (0+1+4+...+(n-1)^{2})
[/mm]
Ich komme ab hier leider nicht mehr weiter.
Gruß Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Sa 09.04.2016 | | Autor: | hippias |
Eine generelle Warnung vorweg: da Du ja Mathematik auf Hochschulniveau lernst, möchte ich darauf hinweisen, dass Deine Rechung nicht ohne weiteres den Integralwert liefert, da Du keine beliebige Zerlegung des Integrationsintervalls benutzt. Sollstest Du es noch nicht gemacht haben, dann musst Du Dir klarmachen, weshalb Deine Vorgehensweise trotzdem hier zulässig ist.
Wie Du die Summe [mm] $0+1+4+\ldots+(n-1)^{2}$ [/mm] in den Griff bekommst, steht in jedem Schulbuch, das das Thema Integralrechnung behandelt, aber auch in vielen (allen?) Einfuehrungen in die Analysis, etwa in dem Buch von Heuser.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
danke auch für deine Rückmeldung:
> Eine generelle Warnung vorweg: da Du ja Mathematik auf
> Hochschulniveau lernst, möchte ich darauf hinweisen, dass
> Deine Rechung nicht ohne weiteres den Integralwert liefert,
> da Du keine beliebige Zerlegung des Integrationsintervalls
> benutzt.
Die Zerlegung habe ich gemacht, aber nicht sauber hingeschrieben. Sry mein Fehler.
Also ich teile in n intervalle (i* [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ,(i+1)* [mm] \bruch{1}{n} [/mm] )
Das meinte ich eigentlich mit der Frage:
>
> (bei der Obersumme hätte ich dann i+1 in den Summanten, da
> ich ja für das erste rechteck, den x wert an der stelle
> [mm]x_2,[/mm] für das zweite rechteck den x wert an der Stelle [mm]x_3[/mm]
> usw. benötige) Ist das richtig? Auch von der Begründung
> her?)
Kann ich das als Begründung für meine Zerlegung nehmen?
>
> Wie Du die Summe [mm]0+1+4+\ldots+(n-1)^{2}[/mm] in den Griff
> bekommst, steht in jedem Schulbuch, das das Thema
> Integralrechnung behandelt, aber auch in vielen (allen?)
> Einfuehrungen in die Analysis, etwa in dem Buch von
> Heuser.
>
Danke für den Hinweis. Habs jz raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Sa 09.04.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> danke auch für deine Rückmeldung:
>
> > Eine generelle Warnung vorweg: da Du ja Mathematik auf
> > Hochschulniveau lernst, möchte ich darauf hinweisen, dass
> > Deine Rechung nicht ohne weiteres den Integralwert liefert,
> > da Du keine beliebige Zerlegung des Integrationsintervalls
> > benutzt.
>
>
> Die Zerlegung habe ich gemacht, aber nicht sauber
> hingeschrieben. Sry mein Fehler.
>
> Also ich teile in n intervalle (i* [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ,(i+1)*
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] )
> Das meinte ich eigentlich mit der Frage:
>
> >
> > (bei der Obersumme hätte ich dann i+1 in den Summanten, da
> > ich ja für das erste rechteck, den x wert an der stelle
> > [mm]x_2,[/mm] für das zweite rechteck den x wert an der Stelle [mm]x_3[/mm]
> > usw. benötige) Ist das richtig? Auch von der Begründung
> > her?)
>
> Kann ich das als Begründung für meine Zerlegung nehmen?
Was soll "Begründung für eine Zerlegung" bedeuten?
Du benutzt keine beliebige Zerlegung des Integrationsintervalls, sondern eine ganz spezielle, nämlich eine äquidistante Zerlegung. Auch hierzu empfehle ich einmal in die Fachliteratur zu schauen was Riemannsummen sind.
>
> >
> > Wie Du die Summe [mm]0+1+4+\ldots+(n-1)^{2}[/mm] in den Griff
> > bekommst, steht in jedem Schulbuch, das das Thema
> > Integralrechnung behandelt, aber auch in vielen (allen?)
> > Einfuehrungen in die Analysis, etwa in dem Buch von
> > Heuser.
> >
>
> Danke für den Hinweis. Habs jz raus.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Laura87 |
Meinst du mit beliebiger Zerlegung, dass ich das Infimum für die Obersumme und das Supremum für die Untersumme betrachten muss?
Meine Funktion ist ja nach unten beschränkt und monoton wachsend. Daher geht es hier auch mit einer äquidistanten Zerlegung. Oder habe ich hier was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 09.04.2016 | | Autor: | hippias |
> Meinst du mit beliebiger Zerlegung, dass ich das Infimum
> für die Obersumme und das Supremum für die Untersumme
> betrachten muss?
Nein, das meinte ich nicht.
>
> Meine Funktion ist ja nach unten beschränkt und monoton
> wachsend. Daher geht es hier auch mit einer äquidistanten
> Zerlegung. Oder habe ich hier was falsch verstanden?
Nein, hast Du wohl nicht - obwohl ich bezweifle, dass es so in Deiner Vorlesung oder sonstwo gelehrt wurde. Ich hatte angeregt: "Sollstest Du es noch nicht gemacht haben, dann musst Du Dir klarmachen, weshalb Deine Vorgehensweise trotzdem hier zulässig ist."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 09.04.2016 | | Autor: | Laura87 |
Kannst du mir dann bitte die allgemeine Zerlegung nennen? Ich Versuch das seit Stunden über die Literatur zu verstehen.
Und sry das ich nochmal Nachfrage, aber ist meine Begründung, warum ich das hier so machen kann jz falsch? Da du geschrieben hast, dass du bezweifelst, dass mir das so gelehrt wurde.
Gruß Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 So 10.04.2016 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs so:
Sei s das Supremum über alle Untersummen und S das Infimum über alle Obersummen.
Du gehst nun her und betrachtest, wie Du es oben gemacht hast, die äquividistante Zerlegung [mm] Z_n [/mm] von [0,1].
1. Berechne die zugeh. Untersumme [mm] U(Z_n) [/mm] und die zugehörige Obersumme [mm] O(Z_n).
[/mm]
2. Zeige, dass die Folgen [mm] (U(Z_n)) [/mm] und [mm] (O(Z_n)) [/mm] beide gegen 1/3 konvergieren.
3. Überlege Dir warum
(*) $s [mm] \le U(Z_n) \le O(Z_n)) \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt.
4. Mit 2. und 3. bekommen wir, mit n [mm] \to \infty:
[/mm]
s=S=1/3.
Damit ist die Funktion integrierbar und das Integral=1/3.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 So 10.04.2016 | | Autor: | hippias |
Es ist nicht meine Absicht Dich zu verunsichern. Jedoch ist mein Eindruck, dass Du gruendlicher an das Problem herangehen koenntest und solltest - wobei ich mir bewusst bin, dass ich Dir vielleicht unrecht tue, in welchem Fall ich schon jetzt um Entschuldigung bitte.
Meine Zweifel an Deiner Begruendung wuerdest Du ausraeumen, wenn Du den Satz vollstaendig zitieren wuerdest, auf den Du Dich stuetzt, der Dir garantiert, dass aequidistante Zerlegungen des Integrationintervalls den Integralwert liefern.
Aber wenn Dir das alles eh schon klar ist, dann kannst Du meine diesbezueglichen Bemerkungen getrost ignorieren.
Wenn Du konkret fragst, was Du bei Deiner Auseinandersetzung mit der Fachliteratur nicht verstehst, dann wird Dir sicher jemand die Frage beantworten.
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