Riemann-integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ihr Lieben!
Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter... Meine Idee ist, dass man es über die Substitutionsregel löst, aber so ganz sicher bin ich mir nicht.
Die Aufgabe:
Seien [mm] a,b\in \IR [/mm] mit a [mm] \le [/mm] b. Weiter sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine Riemann-integrierbare Funktion und [A,B] [mm] \subset \IR [/mm] ein beschränktes Intervall mit [mm] f([a,b])\subset[A,B].
[/mm]
Man zeige: Für jede stetig differenzierbare Funktion [mm] \phi:[A,B]\to\IR [/mm] ist die Funktion [mm] \phi \circ [/mm] f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] wieder Riemann-integrierbar.
So, meine Idee ist wie gesagt die Substitutionsregel:
[mm] f:I\to\IR [/mm] stetig, [mm] \phi:[a,b]\to\IR [/mm] stetig diffenenzierbar mit [mm] \phi ([a,b])\subset [/mm] I. Dann gilt
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) \phi '(t) dt}=\integral_{\phi (x)}^{\phi (x)}{f(x) dx}
[/mm]
Jetzt habe ich versucht [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm] so unzuschreiben, dass es aussieht, wie die linkte Seite der gleichung.. aber auch durch hinzufügen einer "fetten Null" , also [mm] \bruch{\phi '(t)}{\phi '(t)} [/mm] komme ich nicht weiter. Ich muss ja zeigen, dass die Verknüpfung der beiden Funktionen riemann-intregierbar ist, und daher dachte ich, dass ich zu [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm] kommen muss. Per definition sind [mm] \phi [/mm] ' und f integrierbar, daher wollte ich nun [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm] so umformen, dass ich auf diese beiden Teile komme, von denen ich weiß, dass sie riemann-integrierbar sind...
Ich komme da einfach nicht weiter. Hat jemand von euch eine Idee? Ich freue mich über jeden Tipp.
Liebe Grüße
pythagora
@ mod: irgendwie werden die ganzen Formeln bei mir nur als Quelltext angezeigt? Ich hoffe, dass das nur am Uni-Netz liegt... Oder habe ich was falsches getippt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo ihr Lieben!
> Ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter... Meine
> Idee ist, dass man es über die Substitutionsregel löst,
> aber so ganz sicher bin ich mir nicht.
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> Die Aufgabe:
> Seien [mm] a,b\in \IR [/mm] mit a [mm] \le [/mm] b. Weiter sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm]
> eine Riemann-integrierbare Funktion und [A,B] [mm] \subset \IR [/mm]
> ein beschränktes Intervall mit [mm] f([a,b])\subset[A,B].
[/mm]
> Man zeige: Für jede stetig differenzierbare Funktion
> [mm] \phi:[A,B] \to \IR [/mm] ist die Funktion [mm] \phi \circ [/mm] f:[a,b] [mm] \to [/mm]
> [mm] \IR [/mm] wieder Riemann-integrierbar.
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> So, meine Idee ist wie gesagt die Substitutionsregel:
> [mm] f:I\to\IR [/mm] stetig, [mm] \phi:[a,b]\to\IR [/mm] stetig diffenenzierbar
> mit [mm] \phi ([a,b])\subset [/mm] I. Dann gilt
> [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) \phi '(t) dt}=\integral_{\phi (x)}^{\phi (x)}{f(x) dx}
[/mm]
So geht das doch nicht ! Oben im linken Integral steht die Funktion f [mm] \circ \phi [/mm] , was soll das ? Du hast eine Aussage über [mm] \phi \circ [/mm] f zu beweisen !!
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> Jetzt habe ich versucht [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm]
> so unzuschreiben, dass es aussieht, wie die linkte Seite
> der gleichung.. aber auch durch hinzufügen einer "fetten
> Null" , also [mm] \bruch{\phi '(t)}{\phi '(t)} [/mm] komme ich nicht
> weiter. Ich muss ja zeigen, dass die Verknüpfung der
> beiden Funktionen riemann-intregierbar ist, und daher
> dachte ich, dass ich zu [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm]
> kommen muss. Per definition sind [mm] \phi [/mm] ' und f integrierbar,
> daher wollte ich nun [mm] \integral_{a}^{b}{f(\phi (t)) dt} [/mm] so
> umformen, dass ich auf diese beiden Teile komme, von denen
> ich weiß, dass sie riemann-integrierbar sind...
>
> Ich komme da einfach nicht weiter. Hat jemand von euch eine
> Idee? Ich freue mich über jeden Tipp.
1. Stetig differenzierbare Funktionen auf kompakten Intervallen sind Lipschitzstetig
2. Zeige also: ist [mm] \phi [/mm] Lipschitzstetig, so ist [mm] \phi \circ [/mm] f R-integrierbar. Bei dem Beweis kommst Du um Unter/Obersummen oder Riemannsummen nicht herum
FRED
>
> Liebe Grüße
> pythagora
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> @ mod: irgendwie werden die ganzen Formeln bei mir nur als
> Quelltext angezeigt? Ich hoffe, dass das nur am Uni-Netz
> liegt... Oder habe ich was falsches getippt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pythagora |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Aber lipschitz-stetitg hatten wir noch nicht und in unserem Buch zur vorlesung steht auch nichts darüber. Gibt es noch eine andere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen???
LG
pythagora
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Guten abend^^
ich habe nochmal nachgeschaut und lipschitzstetigkeit kommt bei uns erst in ANA 2 vor, wir sind aber momentan noch bei ANA 1...
Über Riemann-Summen?
Bei der Riemann-integrierbaren Funktion (f) gäbe es dann doch eine Unterteilung, durch welche es eine Treppenfunktionen "gibt", welche als Summe das Integral von f ist. Oder?
Die stetig differenzierbare Funktion ist ja in ihrer Ableitung stetig. (ist die Funktion selber dann eigentlich auch stetig? das wüsste ich gerne, aber finde leider keine Antwort). Wenn die Funktion selber stetig ist und beschränkt (was der Fall ist, da es sich ja um ein angegebenes Intervall [A,B] handelt) ist die Funktion ja integrierbar. Dh. dass man mit dem Mittelwertsatz oder auch über Riemann-Summen treppenfunktionen "erstellen" kann, die zusammen das Integral der Funktion [mm] (\phi) [/mm] bilden.
Mein Problem liegt bei der Verknüpfung der Funktionen denke ich. Ich habe Sätze und definitionen darüber wie Riemann-Integrale ADDITIV verknüpft werden und auch wieder ein Riemann-Integral ergeben. Aber mehr als Addition habe ich leider nicht. Und sonst habe ich keine idee wie ich anfangen könnte.
Kann mir jemand helfen?
Vielen dank schonmal.
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Sa 09.04.2011 | | Autor: | pythagora |
noch mal kurz eine idee von mir:
wenn [mm] \phi [/mm] stetig differenzierbar ist, dann ist [mm] \phi [/mm] selber stetig (hatten wir mal in der VL. Wenn [mm] \phi [/mm] stetig ist, ist [mm] \phi [/mm] zugleich Riemann-integrierbar (Satz aus der VL).
Also habe ich zwei r-integrierbare Funktionen (f und [mm] \phi), [/mm] also zwei Treppemfunktionen, welche ich mittels komposition verknüpfen muss.
Aber wenn ich die verknüpfe ist damit ja nicht addieren gemeint, sondern [mm] \phi \circ [/mm] f , also [mm] \phi(f(x)), [/mm] daher ist meine anfängliche Idee, dass ich das über die Riemansumme einfach zusammenziehen kann wohl quatsch.
Hat jemand eine Idee, wie ich das sonst zeigen kann, dass [mm] \phi \circ [/mm] f Riemann-integrierbar ist?
Liebe Grüße
pythagora
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> Guten abend^^
> ich habe nochmal nachgeschaut und lipschitzstetigkeit
> kommt bei uns erst in ANA 2 vor, wir sind aber momentan
> noch bei ANA 1...
Hallo,
trotzdem kann man ja mal spitzeln, was sich hinter diesem Begriff verbirgt.
Deine Funktion [mm] \phi [/mm] bildet ab aus einem abgeschlossenen Intervall.
Sie ist stetig differenzierbar, dh. ihre erste Ableitung ist stetig.
[mm] \phi':[A,B] \to \IR [/mm] ist also stetig, und über stetige Funktionen über abgeschlossenen Intervallen hast Du schon etwas gelernt.
Überleg Dir nun, daß für [mm] x_1, x_2 \in [/mm] [A,B] die Funktionswerte nicht beliebig weit auseinanderliegen können, sondern daß es eine Konstante L gibt, so daß für alle [mm] x_1, x_2\in [/mm] [A,B] gilt: [mm] |\phi(x_1)-\phi(x_2)|< L|x_1-x_2|.
[/mm]
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> Über Riemann-Summen?
> Bei der Riemann-integrierbaren Funktion (f) gäbe es dann
> doch eine Unterteilung, durch welche es eine
> Treppenfunktionen "gibt", welche als Summe das Integral von
> f ist. Oder?
Da ist was wahres dran, aber man fährt immer gut damit, mal die exakte Definition anzuschauen und auch anzugeben, hier die für "riemann-integrierbar".
Wenn Du die kennst, dann sollte ja auch klar sein, was Du für die Funktion [mm] \phi\circ [/mm] f zeigen mußt.
Ich denke, dies ist der wichtigste Schritt, der zu gehen ist.
> Die stetig differenzierbare Funktion ist ja in ihrer
> Ableitung stetig. (ist die Funktion selber dann eigentlich
> auch stetig?
Ja. Es gilt: diffbar ==> stetig.
Gruß v. Angela
> das wüsste ich gerne, aber finde leider keine
> Antwort). Wenn die Funktion selber stetig ist und
> beschränkt (was der Fall ist, da es sich ja um ein
> angegebenes Intervall [A,B] handelt) ist die Funktion ja
> integrierbar.
> Dh. dass man mit dem Mittelwertsatz oder auch
> über Riemann-Summen treppenfunktionen "erstellen" kann,
> die zusammen das Integral der Funktion [mm](\phi)[/mm] bilden.
>
> Mein Problem liegt bei der Verknüpfung der Funktionen
> denke ich. Ich habe Sätze und definitionen darüber wie
> Riemann-Integrale ADDITIV verknüpft werden und auch wieder
> ein Riemann-Integral ergeben. Aber mehr als Addition habe
> ich leider nicht. Und sonst habe ich keine idee wie ich
> anfangen könnte.
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Hallo,
lieb, dass du antwortest, danke^^ Aber wie immer muss ich nochmal nachhaken
> trotzdem kann man ja mal spitzeln, was sich hinter diesem
> Begriff verbirgt.
jop, hab ich schon und auf metrische räume freue ich mich schon sehr^^ hört sich super interessant an, weil ich auch einige sätze, die ich hatte noch mal von ner ganz anderen seite betrachten kann, aber zurück zum thema:
> Deine Funktion [mm]\phi[/mm] bildet ab aus einem abgeschlossenen
> Intervall.
> Sie ist stetig differenzierbar, dh. ihre erste Ableitung
> ist stetig.
> [mm]\phi':[A,B] \to \IR[/mm] ist also stetig, und über stetige
> Funktionen über abgeschlossenen Intervallen hast Du schon
> etwas gelernt.
riemann-integrierbar ist es niht, weil es nicht beschränkt ist, was ist mit dem zwischenwertsatz? der gilt für stetige funktionen auf abgeschlossenen intervallen. meisnt du, dass ich ein [mm] \xi [/mm] finde in diesem intervall, durch welches ich die funktion auf dem intervall "interpolieren" kann? also [mm] f(\xi)*(B-A) [/mm] als fläche unter dem graphen??
> Überleg Dir nun, daß für [mm]x_1, x_2 \in[/mm] [A,B] die
> Funktionswerte nicht beliebig weit auseinanderliegen
> können, sondern daß es eine Konstante L gibt, so daß
> für alle [mm]x_1, x_2\in[/mm] [A,B] gilt: [mm]|\phi(x_1)-\phi(x_2)|< L|x_1-x_2|.[/mm]
ja, klingt sinnvoll, weil es ja beides abgeschlossene intervalle sind (btw. das ist doch die def. von litschitz oder??) Komische Frage vielleicht: Aber wozu brauche ich das?
> >
> > Über Riemann-Summen?
> > Bei der Riemann-integrierbaren Funktion (f) gäbe es dann
> > doch eine Unterteilung, durch welche es eine
> > Treppenfunktionen "gibt", welche als Summe das Integral von
> > f ist. Oder?
>
> Da ist was wahres dran, aber man fährt immer gut damit,
> mal die exakte Definition anzuschauen und auch anzugeben,
> hier die für "riemann-integrierbar".
hmmm... also ich habe die definition, dass eine beschränkte funtion [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] r-integrierbar ist, wenn ober- und unterintegral gleich sind.
also muss ich 3 sachen checken: abgeschlossenheit, beschränktheit und die sache mit ober- und unterintegral
abgeschlossenheit ist kein problem.
beschränktheit: f ist ja riemann-integrierbar, also beschränkt. [mm] \phi [/mm] ist stetig diffbar, also selber stetig, aber wie sieht es mit beschränktheit aus? ist [mm] \phi [/mm] durch die treppenfuntionen beschränkt, die sich über den mittelwertsatz auf dem Intervall [A,B] bilden lassen?
Wenn [mm] \phi [/mm] beschränkt ist, dann ist auch [mm] \phi\circ [/mm] f beschränkt.
Ober-/Unterintegral: bei f stimmen die ja überein, weil f riemann-integrierbar ist. [mm] \phi [/mm] müsste, weil es stetig ist und auf einem abgeschlossen intervall liegt und beschränkt ist (??frage oben??) auch riemann-inegrierbar sein? ODER: da wir ein abgeschlossenes intervall haben, kann per riemann-summe das integral der treppenfunktionen zu [mm] \phi [/mm] berechnet werden. aber irgendwie bekomme ich den teil mit der komposition nicht wirklich hin an dieser stelle..
Noch mal ein großes Danke für die tolle hilfe.
pythagora
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Hallo,
die wesentlichen Puzzleteile hast Du schon in die Hand gegeben bekommen. Jetzt mußt Du sie nur noch richtig zusammensetzen.
Da [mm] $\Phi$ [/mm] und $f$ sehr allgemeine Funktionen sein können, wird uns nichts anderes übrig bleiben, als auf die Definition des Riemann-Integrals bzw. auf das daraus unmittelbar folgende Riemannsche Integrabilitätskriterim zurückzugreifen.
Zeige also, daß es für $h = [mm] \Phi \circ [/mm] f$ es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ eine Partition $P$ von $[a,b]$ gibt, so daß [mm] $\overline{S}_P(h) [/mm] - [mm] \underline{S}_P(h) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt.
Zeige zunächst, daß [mm] $|\Phi(x_2) [/mm] - [mm] \Phi(x_1)| [/mm] < [mm] L|x_2 [/mm] - [mm] x_1|$ [/mm] gilt. Das folgt sofort aus dem Mittelwertsatzt der Differentialrechnung und der Stetigkeit der Ableitung. Das schreibst Du in zwei Zeilen hin.
Bei der Berechnung von [mm] $\overline{S}_P(h) [/mm] - [mm] \underline{S}_P(h)$ [/mm] kommen die Terme [mm] $M_k(h) [/mm] - [mm] m_k(h)$ [/mm] vor (Supremum und Infimum von $h$ auf dem Intervall [mm] $[x_{k-1}, x_k]$). [/mm] Nutze die Beziehung [mm] $|\Phi(x_2) [/mm] - [mm] \Phi(x_1)| [/mm] < [mm] L|x_2 [/mm] - [mm] x_1|$, [/mm] um [mm] $M_k(h) [/mm] - [mm] m_k(h)$ [/mm] durch [mm] $M_k(f) [/mm] - [mm] m_k(f)$ [/mm] nach oben abzusätzen. Dann nutzt Du, daß $f$ Riemann-integrierbar ist und schon bist Du fertig.
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Hallo rennradler,
danke für die tollen tipps^^
> Zeige zunächst, daß [mm]|\Phi(x_2) - \Phi(x_1)| < L|x_2 - x_1|[/mm]
> gilt. Das folgt sofort aus dem Mittelwertsatzt der
> Differentialrechnung und der Stetigkeit der Ableitung. Das
ok, hab ich gemacht.
> Bei der Berechnung von [mm]\overline{S}_P(h) - \underline{S}_P(h)[/mm]
> kommen die Terme [mm]M_k(h) - m_k(h)[/mm] vor (Supremum und Infimum
> von [mm]h[/mm] auf dem Intervall [mm][x_{k-1}, x_k][/mm]).
ok, die definitionen die ich habe sind:
[mm] \overline{S}_P(h):=inf [/mm] { [mm] \integral_{a}^{b}{q(x) dx} [/mm] mit q(x) als Treppenfunktion und q(x) [mm] \ge [/mm] h(x)}
und dementsprechend auch für das Unterintegral mit supremum
ist es für [mm] \overline{S}_P(h) [/mm] - [mm] \underline{S}_P(h) [/mm] dann nicht Infimum - Supremum, also m-M??
> Nutze die Beziehung [mm]|\Phi(x_2) - \Phi(x_1)| < L|x_2 - x_1|[/mm], um
> [mm]M_k(h) - m_k(h)[/mm] durch [mm]M_k(f) - m_k(f)[/mm] nach oben
> abzusätzen.
hier scheint das supremum ja von einer der beiden funktionen abhängig zu sein, ist das durch [mm] |\Phi(x_2) [/mm] - [mm] \Phi(x_1)| [/mm] < [mm] L|x_2 [/mm] - [mm] x_1| [/mm] ??? Den Teil verstehe ich leider noch nicht. Kannst du mior da noch mal helfen?
EDIT:
So??:
[mm] |\Phi(x_2) [/mm] - [mm] \Phi(x_1)| [/mm] < [mm] L|x_2 [/mm] - [mm] x_1|
[/mm]
[mm] |\Phi(M_k(f)) [/mm] - [mm] \Phi(m_k(f))| [/mm] < [mm] L|M_k(f) [/mm] - [mm] m_k(f)|
[/mm]
bei f ist ober=unterintegral, also [mm] M_k(f) [/mm] - [mm] m_k(f)=0
[/mm]
[mm] |\Phi(M_k(f)) [/mm] - [mm] \Phi(m_k(f))| [/mm] < 0
damit ist [mm] |\Phi(M_k(f)) [/mm] - [mm] \Phi(m_k(f))| [/mm] kleiner als alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 und per def gilt [mm] (oberint-unterint<\eps) [/mm] dass [mm] \phi \circ [/mm] f Riemann-integrierbar ist
??? zufrieden bin ich immer noch ncht, glaube ich; irgendwo steh ich noch auf'm schlauch... Kann jemand helfen? Danke!
Liebe Grüße
pythagora
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Riemann-Integrall einzuführen. Ich habe mich bei meiner Antwort auf die Darbouxschen Ober- und Untersummen [mm] ($\overline{S}_P(h)$ [/mm] und [mm] $\underline{S}_P(h)$) [/mm] bezogen.
Das ist einer der gängigsten Zugänge (zu meiner Zeit sogar in der Schulmathematik verwendet). Die Definition findest Du hier (etwas andere Schreibweise mit O(Z) und U(Z) bezeichnet):
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral
bzw. hier ähnlicher der von mir verwendeten Schreibweise:
http://www.mathepedia.de/Riemann-Integral.aspx
Da hat halt jeder seine bevorzugte Schreibweise.
$ [mm] |\Phi(M_k(f)) [/mm] $ - $ [mm] \Phi(m_k(f))| [/mm] $ < $ [mm] L|M_k(f) [/mm] $ - $ [mm] m_k(f)| [/mm] $ ist schon richtig. Du solltest nur ein begründen, warum das gilt - ein oder zwei kleine Zwischenschritte würde ein Korrektor wohl sehen wollen.
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Hallo,
danke für die Links, also für z.b. obersumme einfah das supremum der funktion mal das intervall. oder?
> [mm]|\Phi(M_k(f))[/mm] - [mm]\Phi(m_k(f))|[/mm] < [mm]L|M_k(f)[/mm] - [mm]m_k(f)|[/mm] ist
> schon richtig. Du solltest nur ein begründen, warum das
> gilt - ein oder zwei kleine Zwischenschritte würde ein
> Korrektor wohl sehen wollen.
ah cool, dann ist mein schluss mit [mm] |\Phi(M_k(f))- \Phi(m_k(f))|<0< \varepsilon [/mm] --> [mm] Oberintegral(\phi \circ [/mm] f) - [mm] Unterintegral(\phi \circ [/mm] f)< [mm] \varepsilon [/mm] auch so ok? (klar kommt da noch ein bici text zwischen^^
LG
pythagora
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Ober- und Untersumme sind da klar definiert. Das Supremum und Infimum ist für jedes Teilintervall zu nehmen, dann mit der Intervallbreite zu multiplizieren und aufzusummieren.
Das mit den Zwischenschritten ist so gemeint: in der Differenz von Ober- und Untersumme steht ja $ [mm] M_k(\Phi\circ [/mm] f) - [mm] m_k(\Phi\circ [/mm] f)$. Und das willst Du zu $ < [mm] L(M_k(f) [/mm] - [mm] m_k(f)) [/mm] $ abschätzen (Beträge brauchte es keine, warum?!). Da fehlen noch ein paar Schritte dazwischen.
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> Das mit den Zwischenschritten ist so gemeint: in der
> Differenz von Ober- und Untersumme steht ja [mm]M_k(\Phi\circ f) - m_k(\Phi\circ f)[/mm].
> Und das willst Du zu [mm]< L(M_k(f) - m_k(f))[/mm] abschätzen
> (Beträge brauchte es keine, warum?!). Da fehlen noch ein
> paar Schritte dazwischen.
ich dachte ich bracuhe keine Beträge, weil ich ja ohnehin weiß, dass Obersumme> untersumme bzw. supremum > infimum...??
Muss noch mehr zwischen [mm] M_k(\Phi\circ [/mm] f) - [mm] m_k(\Phi\circ f)
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Also, das Weglassen der Beträge brauchst Du nicht zu begründen, das ist klar. Ich hatte es nur angemerkt, weil Du welche drin hattest. Begründen solltest Du aber warum $ [mm] M_k(\Phi\circ [/mm] f) - [mm] m_k(\Phi\circ [/mm] f [mm]
Bisher hast Du nur bewiesen, daß [mm] $\Phi(x_1) [/mm] - [mm] \Phi(x_2) [/mm] < [mm] L|x_2 [/mm] - [mm] x_1|$. [/mm] Daraus ist obige Ungleichung nach meinem Geschmack nicht unmittelbar ersichtlich.
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ahh ok, ich hab das so notiert:
[mm] x_1:=m_k(f)
[/mm]
[mm] x_2:=M_k(f)
[/mm]
also:
[mm] M_k(\Phi\circ [/mm] f) - [mm] m_k(\Phi\circ [/mm] f [mm] =\Phi(M_k(f) [/mm] - [mm] \Phi(m_k(f)
meinst du das? oder brauche ich sonst noch zwischenschritte?
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Denn nochmal darüber nach. Gilt den [mm] $M_k(\Phi \circ [/mm] f)) = [mm] \Phi(M_k(f))$? [/mm] Links steht das Supremum der Funktion [mm] $\Phi \circ [/mm] f$ und rechts ein Funktionswert von [mm] $\Phi$.
[/mm]
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Hm.
> Denn nochmal darüber nach. Gilt den [mm]M_k(\Phi \circ f)) = \Phi(M_k(f))[/mm]?
> Links steht das Supremum der Funktion [mm]\Phi \circ f[/mm] und
> rechts ein Funktionswert von [mm]\Phi[/mm].
ich dachte, dass ich das supremum von [mm] \Phi \circ [/mm] f)nach innen ziehen kann und dadurch [mm] \Phi(M_k(f) [/mm] erhalte :
[mm] M_k(\Phi \circ f))=M_k(\Phi( f))=M_k(\Phi( [/mm] f))= [mm] \Phi(M_k(f)
[/mm]
nicht logisch? wo ist der fehler?
LG
pythagora
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Ich nenne Dir ein Gegenbeispiel. Sei [mm] $\Phi(x) [/mm] = -x$ und $f(x) = x$, also [mm] $(\Phi \circ [/mm] f)(x) = -x$ und betrachte das Intervall $[0, 1]$. [mm] $\sup \Phi \circ [/mm] f = 0$, [mm] $\sup [/mm] f = 1$ und damit [mm] $\Phi(\sup [/mm] f) = -1$.
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Ja, stimmt, das passt so nicht, ich wollte auch gerade meinen artikel nochmal überarbeiten, aber da warst du schon schneller^^
also habe ich [mm] \phi (x_2)-\phi (x_1) [/mm] < L [mm] (x_2-x_1), [/mm] wenn ich jetzt M(f) und m(f) einsetze komme ich auf
[mm] \phi (M(f))-\phi [/mm] (m(f)) < L (M(f)-m(f))
aber von da komm eich nicht auf [mm] M(\phi(f))...und [/mm] wenn ich bei [mm] M(\phi(f)) [/mm] anfange hab ich auch keine idee, wie ich die lücke da schließen soll..
Hast du noch einen tipp für mich? Irgendwie fehlt mir da scheinbar ein gedanke...Ich finde auch keine passenden sätze, die das lösen...
LG
pythagora
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Folgender Tipp: Sei $I$ ein abgeschlossenes Intervall. Was gilt für das Bild $f(I)$ und was folgt daraus für [mm] $\sup \Phi \circ [/mm] f$ auf $I$?
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> Folgender Tipp: Sei [mm]I[/mm] ein abgeschlossenes Intervall. Was
> gilt für das Bild [mm]f(I)[/mm]
es ist wiederum abgeschlossen. (?) Also f(I) [mm] \subset [/mm] I ?
> und was folgt daraus für [mm]\sup \Phi \circ f[/mm]
> auf [mm]I[/mm]?
auch [mm] \sup \Phi \circ [/mm] f [mm] \subset [/mm] I ?
meinst du, weil das immer im selben intervall stattfindet ist es egal, ob ich [mm] \phi [/mm] (M(f)) schreibe oder [mm] M(\phi(f)) [/mm] ???????wenn ja, finde ich das komisch.
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Ich sehe schon, Du kommst nicht drauf. Es gilt doch $f(I) [mm] \subseteq [\inf [/mm] f, [mm] \sup [/mm] f]$.
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nanu? wieso das denn? ist das irgendein satz? (wir hatten das thema nicht soo lange behandelt)
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Das folgt doch direkt aus der Definition von Supremum und Infimum. [mm] $\sup [/mm] f$ ist die kleinste obere Schranke und [mm] $\inf [/mm] f$ die kleinste unteres Schranke. Also liegt kein Funktionswert außerhalb dieser Grenzen.
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jop soweit ist das schon klar^^ da hab ich wohl den wald vor lauter bäumen nicht mehr gesehen... aber wie kann ich das jetzt benutzen, damit ich von [mm] \phi(M(f))-\phi(m(f)) [/mm] auf [mm] M(\phi(f))-m(\phi(f)) [/mm] komme??
da f auf [a,b] abgeschlossen ist, liegt [mm] \phi(M(f)) [/mm] in [sup [mm] \phi, [/mm] inf [mm] \phi] [/mm] ?
oder f ([a,b]) [mm] \subset [/mm] [sup f, inf f] <--nach deinem beispiel das, aber ahhh
[mm] \phi [/mm] ist auf [A,B] abegschlossen also [mm] \phi(M(f)) \subset [M(\phi(f)),m(\phi(f))] [/mm] oder?
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Ist doch ganz einfach. Ich nenne mal $ [mm] I_f [/mm] = [mm] [\inf [/mm] f(I), [mm] \sup [/mm] f(I)]$. Da $f(I) [mm] \subseteq I_f$ [/mm] muß [mm] $\sup \Phi \circ [/mm] f(I) [mm] \le \sup \Phi(I_f)$ [/mm] gelten. Analoges gilt für das Infimum.
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ahhhhchso, jetzt leuchtet die birne. du meinst das also so:
[mm] M(\phi(f))\le \phi [/mm] (M(f))
und
[mm] m(\phi(f))\le \phi [/mm] (m(f))
und [mm] M(\phi(f))-m(\phi(f)) \le \phi (M(f))-\phi [/mm] (m(f))<0
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
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Nicht so ganz. [mm] $M(\Phi \circ [/mm] f )$ ist das Supremum auf dem Intervall $I$. [mm] $M(\Phi)$ [/mm] ist das Supremum von [mm] $\Phi$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $I_f$. [/mm] Und dafür haben wir uns gerade überlegt. daß [mm] $M(\Phi \circ [/mm] f ) [mm] \le M(\Phi)$ [/mm] gilt.
Analog gilt [mm] $m(\Phi \circ [/mm] f ) [mm] \ge m(\Phi)$.
[/mm]
Also gilt [mm] $M(\Phi \circ [/mm] f) - [mm] m(\Phi \circ [/mm] f) [mm] \le M(\Phi) [/mm] - [mm] m(\Phi) [/mm] = [mm] \Phi(\xi_1) [/mm] - [mm] \Phi(\xi_2)$ [/mm] mit [mm] $\xi_1, \xi_2 \in I_f$. [/mm] Letzteres gilt, da [mm] $\Phi$ [/mm] als stetige Funktion sein Maxiumum und Minimum auf [mm] $I_f$ [/mm] annimmt.
[mm] $\Phi(\xi_1) [/mm] - [mm] \Phi(\xi_2) [/mm] < [mm] L|\xi_1 [/mm] - [mm] \xi_2| \le [/mm] L|M(f) - m(f)|$ - siehe Definition von [mm] $I_f$. [/mm]
Edit: da war noch ein $>$-Zeichen falsch rum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 10.04.2011 | | Autor: | pythagora |
Ahhh, ok, danke für die korrektur, ich wollt gerade fragen^^
also habe ich dann ja sup [mm] (\phi \circ [/mm] f)-sup [mm] (\phi \circ [/mm] f)<0
und alles ist super^^
Ich danke dir sehr, komisch dass man manchmal an so kleinen sachen hängen bleibt, der anfang ging ja eingetlich recht fix...
LG
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pythagora!
> @ mod: irgendwie werden die ganzen Formeln bei mir nur als
> Quelltext angezeigt? Ich hoffe, dass das nur am Uni-Netz
> liegt... Oder habe ich was falsches getippt?
Du hast anstelle einiger \ jeweils ein } getippt gehabt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pythagora |
ahh, ok vielen dank. Du hast das alles korrigiert, das ist ja super lieb von dir^^ ich wollte das gerade machen..
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