Riemann-integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Roccoco |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
[mm] f:[0,1]\to\IR
[/mm]
[mm] x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x=\bruch{1}{n} n\in\IN \\ 0, sonst \end{cases} [/mm] |
Hallo Forum,
irgendwie mache ich hier bei dieser Aufgabe etwas falsch und weiß leider nicht wie ich es anders machen kann:
Rein von der Anschauung handelt es sich um eine Funktion, die für Brüche mit "1" im Zähler x ist und für alle anderen "0".
Dann sei [mm] z={z_1,...,z_n} [/mm] eine Zerlegung von [a,b]
[mm] f([z_k,z_{k+1}])= [/mm] {0,1}
inf [mm] f([z_k,z_{k+1}])=0
[/mm]
sup [mm] f([z_k,z_{k+1}])=1
[/mm]
[mm] U(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})inf f([z_k,z_{k+1}])=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})*0=1*0=0
[/mm]
[mm] O(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})sup f([z_k,z_{k+1}])=1*1=1
[/mm]
("hä")
Wäre über eure Hilfe und eine Aufklärung sehr dankbar
Liebe Grüße
Roccoco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Di 18.01.2011 | | Autor: | skoopa |
MoinMoin!
> Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
> [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm]
> [mm]x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x=\bruch{1}{n} n\in\IN \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Forum,
> irgendwie mache ich hier bei dieser Aufgabe etwas falsch
> und weiß leider nicht wie ich es anders machen kann:
>
> Rein von der Anschauung handelt es sich um eine Funktion,
> die für Brüche mit "1" im Zähler x ist und für alle
> anderen "0".
> Dann sei [mm]z={z_1,...,z_n}[/mm] eine Zerlegung von [a,b]
> [mm]f([z_k,z_{k+1}])=[/mm] {0,1}
>
> inf [mm]f([z_k,z_{k+1}])=0[/mm]
>
> sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=1[/mm]
>
> [mm]U(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})inf f([z_k,z_{k+1}])=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})*0=1*0=0[/mm]
>
> [mm]O(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})sup f([z_k,z_{k+1}])=1*1=1[/mm]
>
> ("hä")
Also das ist soweit zwar richtig, aber um das ganze zu lösen zu ungenau.
Du nimmst dir am besten eine bestimmt Zerlegung her, weil du ja auch ein bestimmtes Intervall hast.
Überleg dir mal, dass f(x) [mm] \forall x\not=\bruch{1}{n}, n\in\IN [/mm] stetig ist. Und daraus folgt, dass f auf dem Intervall [0,1] abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat, nämlich gerade die f(x) mit [mm] x=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Welche Zerlegung nimmst du dann also?
(Du könntest an dieser Stelle auch einen Satz benutzen, den ihr sicherlich in der Vorlesung hattet. Bei uns war der als Satz von Lebesgue bekannt...)
>
> Wäre über eure Hilfe und eine Aufklärung sehr
> dankbar
>
> Liebe Grüße
> Roccoco
>
Ich hoffe es hilft und viel Erfolg!
Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> MoinMoin!
>
> > Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
> > [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm]
> > [mm]x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x=\bruch{1}{n} n\in\IN \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Hallo Forum,
> > irgendwie mache ich hier bei dieser Aufgabe etwas
> falsch
> > und weiß leider nicht wie ich es anders machen kann:
> >
> > Rein von der Anschauung handelt es sich um eine Funktion,
> > die für Brüche mit "1" im Zähler x ist und für alle
> > anderen "0".
> > Dann sei [mm]z={z_1,...,z_n}[/mm] eine Zerlegung von [a,b]
> > [mm]f([z_k,z_{k+1}])=[/mm] {0,1}
> >
> > inf [mm]f([z_k,z_{k+1}])=0[/mm]
> >
> > sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=1[/mm]
> >
> > [mm]U(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})inf f([z_k,z_{k+1}])=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})*0=1*0=0[/mm]
>
> >
> > [mm]O(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})sup f([z_k,z_{k+1}])=1*1=1[/mm]
>
> >
> > ("hä")
>
> Also das ist soweit zwar richtig
Nein. Das ist keineswegs richtig: https://matheraum.de/read?i=759952
FRED
> , aber um das ganze zu
> lösen zu ungenau.
> Du nimmst dir am besten eine bestimmt Zerlegung her, weil
> du ja auch ein bestimmtes Intervall hast.
> Überleg dir mal, dass f(x) [mm]\forall x\not=\bruch{1}{n}, n\in\IN[/mm]
> stetig ist. Und daraus folgt, dass f auf dem Intervall
> [0,1] abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat, nämlich
> gerade die f(x) mit [mm]x=\bruch{1}{n}.[/mm]
> Welche Zerlegung nimmst du dann also?
> (Du könntest an dieser Stelle auch einen Satz benutzen,
> den ihr sicherlich in der Vorlesung hattet. Bei uns war der
> als Satz von Lebesgue bekannt...)
>
> >
> > Wäre über eure Hilfe und eine Aufklärung sehr
> > dankbar
> >
> > Liebe Grüße
> > Roccoco
> >
>
> Ich hoffe es hilft und viel Erfolg!
> Grüße!
> skoopa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Di 18.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass f Riemann-integrierbar ist.
> [mm]f:[0,1]\to\IR[/mm]
> [mm]x\mapsto\begin{cases} x, & \mbox{wenn } x=\bruch{1}{n} n\in\IN \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
>
> Hallo Forum,
> irgendwie mache ich hier bei dieser Aufgabe etwas falsch
> und weiß leider nicht wie ich es anders machen kann:
>
> Rein von der Anschauung handelt es sich um eine Funktion,
> die für Brüche mit "1" im Zähler x ist und für alle
> anderen "0".
> Dann sei [mm]z={z_1,...,z_n}[/mm] eine Zerlegung von [a,b]
> [mm]f([z_k,z_{k+1}])=[/mm] {0,1}
Da stimmt dich nicht, Wenn zum Beispiel 1/3 [mm] \in [z_k,z_{k+1}], [/mm] so ist auch f(1/3)=1/3 [mm] \in f([z_k,z_{k+1}])
[/mm]
>
> inf [mm]f([z_k,z_{k+1}])=0[/mm]
Das stimmt.
>
> sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=1[/mm]
Das stimmt nicht. Ist z.b: [mm] [z_k,z_{k+1}]= [/mm] [0,1/8], so ist sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=1[/mm]=1/8
>
> [mm]U(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})inf f([z_k,z_{k+1}])=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})*0=1*0=0[/mm]
>
> [mm]O(Z,f)=\summe_{k=1}^{n}(z_k,z_{k+1})sup f([z_k,z_{k+1}])=1*1=1[/mm]
>
> ("hä")
>
> Wäre über eure Hilfe und eine Aufklärung sehr
> dankbar
Bevor wir uns weiter über diese Aufgabe unterhalten, wäre es nützlich zu wissen, was Ihr schon hattet und verwenden dürft.
Mit dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium ist die Aufgabe ruck zuck erledigt.
FRED
>
> Liebe Grüße
> Roccoco
>
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Ich schalte mich hier mal ganz dreist ein, denn ich sitze gerade vor praktisch der selben Aufgabe (nur bei mir ist es 1 sonst und nicht 0 sonst) und komm damit nicht weiter...
Mein Hauptproblem ist, dass ich bisher weder den Satz von Lebesgue noch den Satz mit "abzählbar viele Sprungstellen" hatte.
Ich habe einzig einen Satz für endlich viele Sprungstellen.
Meine Idee war zu sagen, dass wir im Intervall [h;1] (h>= 0) ja nur endlich viele Sprungstellen haben.
Nun wollte ich mein h gegen 0 laufen lassen, aber leider erhalte ich dadurch auch unendlich viele Sprungstellen in diesem Intervall.
Somit müsste ich mein h also > 0 setzen, wodurch also immer das Intervall [0;h) übrig bleibt, das wiederrum unendlich viele Sprungstellen beinhaltet (und das ich somit mit meinen bisherigen Mitteln nicht wirklich behandeln kann...).
Ich hoffe da hat jemand ne Idee, wie ich das auch ohne die beiden schönen Sätze hinkriegen könnte.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 18.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!
Meine Idee wäre, das Integral in Intervalle [mm] [\bruch{1}{k+1}, \bruch{1}{k}] k\in\IN [/mm] zu unterteilen. Diese Integrale existieren dann ja, weil sie jeweils zwei Unstetigkeitsstellen haben.
Das gesamte Integral wäre dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\integral_{\bruch{1}{k+1}}^{\bruch{1}{k}}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\integral_{\bruch{1}{k+1}}^{\bruch{1}{k}}{f(x) dx}.
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht, ob das die Lösung wäre. Deshalb mal nur als Mitteilung.
Grüße!
skoopa
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Danke erstmal für den Tipp.
Das sieht mir an sich recht vielversprechend aus...
Und nochmal als Frage: Könnte man auf diese Art vielleicht auch beweisen, dass eine Funktion mit abzählbar (wenn auch unendlich) vielen Sprungstellen integrierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Di 18.01.2011 | | Autor: | skoopa |
> Danke erstmal für den Tipp.
> Das sieht mir an sich recht vielversprechend aus...
>
> Und nochmal als Frage: Könnte man auf diese Art vielleicht
> auch beweisen, dass eine Funktion mit abzählbar (wenn auch
> unendlich) vielen Sprungstellen integrierbar ist?
Eine Funktion muss aber zusätzlich beschränkt sein, damit sie mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen Riemann-integrierbar sit.
Wenn du das also auf diese Aufgabe beziehst, dann ja. Denn hier ist f ja beschränkt und hat [mm] \forall x=\bruch{1}{n}, n\in\IN [/mm] eine Unstetigkeits- bzw. Sprungstelle, also abzählbar unendlich viele.
Die Frage ist viel mehr, ob und wie ihr mit den euch zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln folgern könnt, dass das Integral trotz dieser Unstetigkeitsstellen existiert.
Grüße!
skoopa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 18.01.2011 | | Autor: | Roccoco |
Hallo,
danke für eure Beiträge. Also in der Vorlsung hatten wir das Lebesgueschen Integrabilitätskriterium nicht. WIr hatten nur das Riemann-Kriterium mit Unter- und Obersummen bzw.
zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert eine Zerlegung Z, sd
[mm] (Z,f)-U(Z,f)<\varepsilon
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht wie ich das hier anwenden soll?
Zitiert von Fred:
sup$ [mm] f([z_k,z_{k+1}])=1 [/mm] $
Das stimmt nicht. Ist z.b: $ [mm] [z_k,z_{k+1}]= [/mm] $ [0,1/8], so ist sup $ [mm] f([z_k,z_{k+1}])=1 [/mm] $=1/8
Also wäre
sup [mm] f([z_k,z_{k+1}])=\bruch{1}{k+1}??
[/mm]
Liebe Grüße
Roccoco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 19.01.2011 | | Autor: | skoopa |
MoinMoin!
> Hallo,
> danke für eure Beiträge. Also in der Vorlsung hatten wir
> das Lebesgueschen Integrabilitätskriterium nicht. WIr
> hatten nur das Riemann-Kriterium mit Unter- und Obersummen
> bzw.
> zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert eine Zerlegung Z, sd
> [mm](Z,f)-U(Z,f)<\varepsilon[/mm]
> Ich weiß allerdings nicht wie ich das hier anwenden
> soll?
> Zitiert von Fred:
> sup[mm] f([z_k,z_{k+1}])=1[/mm]
> Das stimmt nicht. Ist z.b:
> [mm][z_k,z_{k+1}]=[/mm] [0,1/8], so ist sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=1 [/mm]=1/8
>
> Also wäre
> sup [mm]f([z_k,z_{k+1}])=\bruch{1}{k+1}??[/mm]
Das kannst du so allgemein nicht sagen. Das kommt ganz speziell auf deine Zerlegung an.
Wenn du z.B. deine Zerlegung als [mm] ([z_{k+1}, z_{k}])_{k\in\IN} [/mm] mit [mm] z_{k}=\bruch{1}{k} [/mm] wählst, dann wäre [mm] sup_{x\in[z_{k+1}, z_{k}]}f(x)=f(z_{k})=\bruch{1}{k}.
[/mm]
Mit dieser Zerlegung könnte man das Interval [0,1] auch überdecken, allerdings hat man dann eine abzählbar-unendliche Zerlegung. Für das Riemannsche Integrabilitätskriterium (so wie ich es kenne) sind jedoch nur endliche Zerlegungen zugelassen, weil die Ober-/Untersummen als endliche Summen definiert sind.
Die Krux hier ist nun genau so eine Zerlegung zu finden.
>
>
> Liebe Grüße
> Roccoco
Ich hoffe das hilft vielleicht ein wenig...
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 24.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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